Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 696

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Оценивание

параметров

обыкновенных

дифференциальных

уравнений

669

записываются

 

соответственно в

виде

 

 

 

р(а*)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ( 2 я

) Р / 2 , 1 / 2 е

х Р [ - у

( « * - « * ( 0

, ) Т Q««' (а*-а*<о>)] ,

(9.3.11a)

Р (Уо) = ( 2 я ) , / 2 / 0

,i/2 е х Р [ -

Т

( У о - У о Ѵ «у-,,1

(Уо-У( о0 ) ) j , (9.3.116)

где Оа * и й У о

— ковариационные

матрицы, а верхний индекс (0)

обозначает априорные

оценки а* и у 0 . Если предположить, что

а* и уо независимы, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

In p (а*,

у о) =ïnp

(а*) + ln р (у0 ).

 

 

Подстановка априорных

распределений

(9.3.11а)

и (9.3.116)

и выражения

для К (ti)

в первые два уравнения (9.3.9) дает окон­

чательные уравнения,

из которых

можно получить

оценки

для

а* и у 0 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- ( У О - У Г ) Т Й У О - +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2

[Y (ti)-W

(а, y 0 I

ti)f

Г-i ««)

¥ (а, у0 , *,) = От ,

— (а*—а*«»Г

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.3.12)

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2 [ Y p o - Y t è , у0, ^о^г-ч^і^Ѵя у0, го=о т ,

і = 1

где символ Л обозначает оценки параметров.

Заметим, что в предположении о том, что элементы матрицы Q по существу бесконечны (априорное знание расплывчато), т. е. элементы Q - 1 равны нулю, уравнения для максимально правдо­ подобных оценок совпадают с соответствующими уравнениями метода наименьших квадратов и поэтому применимы те же самые

показатели

точности оценок. В примере 9.4.1 максимально прав­

доподобные

оценки

сравниваются с

оценками, полученными

методом наименьших

квадратов.

 

 

9.4. П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н О Е

О Ц Е Н И В А Н И Е

При последовательном оценивании используются предшествую­ щие наблюдения вместе с последним наблюдением для получения оценок параметров модели и начальных условий и (или) откликов. Запишем соотношение (9.1.8) в несколько иных обозначениях:

Y (ff ) = h (*,) TI (ß, tt) + г (tt),

(9.4.1)

670

Глава 9

где функция т| — решение

модели. Чтобы избежать путаницы

в обозначениях, определим

вектор

а а* — вектор-столбец из элементов а — был уже ранее определен выражением (9.3.10). Существенная особенность соотношения (9.4.1), которая делает его легко поддающимся дальнейшему ана­

лизу, состоит в том, что

переменная Yr (tt)

является

линейной

комбинацией элементов

TJ. При обработке

сигналов

функция ц

рассматривается как неизвестный сигнал на входе в линейную сис­

тему и основные усилия направлены на

оценивание значений t|

по наблюдениям над величиной Y . Здесь,

однако, считается, что

вид функции т| известен и требуется оценить параметры ß этой функции.

Элементы ß можно оценить по серии наблюдений с помощью метода, известного как метод Винера — Калмана, Калмана — Бачи, Шмидта и под другими названиями (см. литературу в конце этой главы) в зависимости от особенностей вывода и вычислитель­ ного алгоритма. Один из наиболее простых, но далеко не единствен­ ный вывод уравнений для оценок опирается на использование теоремы Байеса, описанной в общих чертах в разд. 3.1.3.

 

Предположим, что имеется следующая информация (см. разд.

3.1.3):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Ряд наблюдений переменной

Y в последовательные

моменты

времени

ti:

t2,

• • -,

tt,

которые

все

вместе

будут

обозначаться

Y (tt).

 

 

 

 

 

связь

между

наблюдениями,

функцией

ц

 

2.

Функциональная

и

e,

а

именно

соотношение

(9.4.1).

 

 

 

 

г,

p (t\

(tt),

 

3.

Совместная

плотность

распределения

для

т| и

e

(t{));

здесь величины и (tt)

и e (ti) являются независимыми, так

что p(i)

(ti),

e

(tt))

=

p

(t) (ti))

p (e (tt)).

Кроме

того,

парамет­

 

1) P

(ч (tt))

— плотность

гауссова

распределения

с

рами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ш{УІ

(tt)} =

I

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cov

{r,

(ti)}

= g { r ,

(tt)

цт ( ; . ) }

= Q

4 >

 

 

 

 

2)

p

(e (tt))

— плотность

гауссова

распределения

с

парамет­

рами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g{e (*«)}=

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

Cov {e (*,)} =

% {g (и)

 

(tt)}

=

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ш {ц

(tt) г?

(tt)} =

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оценивание параметров обыкновенных дифференциальных

уравнений 671

Выше в явном виде указывалась функциональная

зависимость-

некоторых матриц от времени; в дальнейшем

в целях

экономии

места временной аргумент будет опускаться.

Теперь

проследим

за этапами построения апостериорной плотности распределения вероятности р (т), у), указанными в разд. 3.1.3.

1. Определяется плотность распределения р (у) для случайной переменной Y. Так как Y = h и + е, а плотности распределения и для t] и для г — нормальные, то и плотность распределения дл я

Y также является нормальной;

кроме того,

 

g { Y } = h g { T i H V 4 ,

 

 

Cov {Y} = g { Y Y T } = g { ( h n + e) ( h n + sf} = hQ 4 h T

+ Г.

Поэтому плотность распределения вероятности p (у) равна

p(y) = Ä ; 1 e x p { - | ( Y - h | L l t ] ) r

( h ß t l h T + r ) - 1 ( Y - h j L i 4

) } , (9.4.2)

где ki — нормировочный множитель, который здесь несущественен -

2.

С помощью

соотношения,

приведенного

в

разд. 3.1.3,.

находится

плотность

распределения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- A ; 2 e x p [ - i - ( Y - h n ) T r - 1 ( Y - h î i ) J .

(9.4.3).

3.

По теореме Байеса находится апостериорная плотность рас­

пределения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n г™ I v^ — Р (У I л) /> (п) _ Р (с) Р (п)

_

 

 

 

 

 

Р\т)\У)-

 

р (

у )

-

р (

у )

 

 

 

 

 

 

 

= k3

exp { -

1 [ ( Y - h î i ) r Г " 1 ( Y - h î j )

+ ( Ч - Ы Т

« л 1

( П - Щ ) —

 

 

 

 

- ( Y - h | i i 4 ) T ( h î 2 4 h T

 

- h M 4 ) ] } .

(9.4.4)

Дополняя до полных квадратов

выражение в квадратных

скобках,

 

 

+ r r 4 Y

 

 

 

 

приведем

соотношение

(9.4.4) к

более

простому

виду

 

 

 

P(4\y)

= k3exp

{ - у К л - л Г п - М п - Л ) ] } ,

 

(9-4.5)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r s Q - '

+ h V ' h ,

 

 

 

(9.4.6)

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П = Й ч — Й П Ь Г ( h Q 4 h T + Г ) - 1 п й ч ,

 

 

(9.4.6а>

672

Глава 9

 

а

 

 

n =

f*4 + nhr r-1 (Y—h(in ).

(9.4.7)

Максимизация плотности р (ц | у) эквивалентна минимизации выражения в квадратных скобках в формуле (9.4.5). Минимизация этого выражения посредством дифференцирования по ц и прирав­ нивания нулю полученного выражения дает

— 2 П ( ч — ï]) = 0.

Следовательно, наилучшей оценкой к] функции т] служит величина т\, определяемая выражением (9.4.7).

Получим соотношение, пригодное для рекуррентного вычисле­ ния т| без дополнительных усилий, т. е. для вычисления значения

іг) в момент времени

по имеющейся информации в момент вре­

мени tt

и одному новому наблюдению в момент

Нижний индекс

і или і

+ 1 будет

обозначать как временную

зависимость, так

и конкретный момент времени. Предположим, что в момент вре­

мени

tt+! имеется следующая информация (см. разд. 3.1.3):

 

1.

Ряд наблюдений переменной Y в последовательные моменты

времени от tt до

Наблюдения вплоть до момента

времени tt

включительно будут

обозначаться

через Yj, а наблюдения, полу­

ченные именно в момент времени

ti+i,

— через

Y j + t .

 

 

2.

Функциональная связь

между

наблюдениями,

функцией т|

и

Е. Все еще предполагается, что в

любой момент

времени ti

и,

кроме того,

Yt =

h i 4 i

+ Et

 

 

(9.4.8)

=

Ъ*Пі

+

ѲеГ,

 

 

(9.4.9)

 

 

 

 

 

где

h* и Ѳ —заданные матрицы.

Соотношение

(9.4.9)

связывает

значение функции т) на одном временном интервале с ее значением

на

другом интервале.

 

 

 

 

 

 

 

3.

Плотность распределения p (r|, | у,)

является

нормальной;

«*

и

е — независимые

ненаблюдаемые ошибки. Кроме того,

 

 

Ш{(Г\І

! у,)}

=

r\i,

 

 

 

 

 

 

Соѵ {г,г

I у,} =

% { ( т , ,

I у») (т,,

I УІ)Т}

= Q„..

Совместная плотность распределения для

е і + і

и е* равна

и

 

P

(«?,

8|+11

Ци УІ)

= p (е*) p (е1 + 1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S{ei} = g { e i + 1 } = 0,

 

 

 

 

 

Cov{ef} = g{efefT } =

r f

 

 

 

 

 

Соѵ {еі + 1 } = g {ег + 1 е[+г} =

Г .

 

 

Смотрите также файлы