Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

где УІ и у2 — зависимые переменные, a х^ и х2 характеризуют внеш­ нюю загрузку каждого из агрегатов.

В некоторый момент времени, принятый за нуль, в каждый элементарный процесс было введено ступенчатое возмущение переменных хх (t) и х2 (t), которое поддерживалось до определен­ ного момента, после чего указанным переменным были приданы

первоначально установленные значения. На фиг. П.9.2.За сплош­ ной линией показаны зарегистрированные отклики z/t и у2 (в отклонениях от их первоначальных значений) в виде функций времени. Сигналы от детекторов записывались на магнитофоне. Записанная информация затем обрабатывалась по схеме, пред­ ставленной на фиг. П.9.2.36. Используемые приращения равнялись 0,05 для каждой переменной. Функциональные схемы гипотети­ ческой вычислительной машины здесь не приведены из-за того, что обработка в действительности проводилась на вычислительной машине CDC 6600 с использованием аналогового модулятора MIMIC . Все операции интегрирования, решение дифференциаль­ ных уравнений и расчет коэффициентов чувствительности можно было выполнить за несколько секунд.

Пунктирными линиями на фиг. П.9.2.За показаны предсказан­ ные отклики как функции времени для оценок коэффициентов, приведенных на фиг. П.9.2.3в. Чтобы получились приемлемые отклонения между измеренными и предсказанными откликами

Коэффициенты

чувствительности

Решение

дифференциального

уравнения

Ф и г . П.9.2.36.

О10 20 30 40 SO 60 70 SO 90 100

Врелія.мин

Ф и г . П . 9 . 2,3с .

числа параметров, которые нужно оценить. Тогда получается пере­ определенная система уравнений, которую можно было бы разре­ шить относительно оценок параметров методом наименьших квад­ ратов. Конечно, ненаблюдаемая ошибка, добавляемая к у, теперь связана с самими интегралами; следовательно, независимые пере­ менные становятся случайными переменными. Кроме того, посколь­ ку наблюдения Y производятся последовательно во времени, интегралы не являются статистически независимыми. Тем не менее для данных, взятых через равные или неравные промежутки вре­ мени, вычисления нетрудно проводить непрерывно или после изме­ рений; исследование моделирования показывает, что этот метод обладает рядом преимуществ [13].

Повторное интегрирование дифференциальных уравнений вто­ рого и более высокого порядка требует знания начальных зна­ чений производных от у более низкого порядка (и от х, если послед­ ние входят в модель). Может оказаться разумным оценивать вели­ чину [а0у0 + (dy/dt)0] в уравнении (9.2.13) в целом, однако этот метод пока еще не испытывался. Если начальные значения пере­ менной у и ее производных равны нулю, то никакой проблемы не существует.

В работе [14] авторам удалось обойти требование, чтобы все начальные условия для переменных у, а; и их производных были известны, путем умножения каждого члена дифференциального уравнения на так называемую модуль-функцию, т. е. функцию, которая вместе со своими (п — 1) производными обращается в нуль на концах интервала интегрирования.

9.3. О Ц Е Н И В А Н И Е М Е Т О Д О М М А К С И М А Л Ь Н О Г О П Р А В Д О П О Д О Б И Я

Максимально правдоподобные оценки уже описывались в нес­ кольких предыдущих главах. Они обладают желаемыми свойства­ ми асимптотической эффективности и нормальности. Ради мате­ матического удобства каждый раз они связывались с предположе­ нием о (совместном) нормальном распределении. Рассмотрим сов­ местную плотность распределения вероятности (функцию правдо­ подобия) р (ос, уо I у (*i), у (h), • . ., у (tn)) Для а и у 0 . Если можно найти максимум этой функции относительно всевозможных наборов уо и а, то оценки, полученные таким образом, и являются максимально правдоподобными оценками. Условия максимума можно сформулировать так, чтобы учесть имеющуюся априорную информацию следующим образом.

шения двух плотностей вероятности, если использовать аналог выражения (А.8) для непрерывных переменных:

Числитель в правой части этого выражения с учетом формулы (А.8а) принимает вид

Эти операции можно продолжать до тех пор, пока нѳ получится выражение

Исследование выражений (9.1.7) и (9.1.9) показывает, что пере­ менная Y (ti) зависит только от tt, у 0 , a и е (^) и не обусловлена никакими предыдущими измерениями. Следовательно, можно записать

при условии, что соотношение (9.1.9) рассматривается как некото­ рое ограничение. Таким образом, искомая совместная условная плотность распределения вероятности равна