Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Далее будем поступать, как и раньше, с тем исключением, что апостериорную плотность распределения теперь будем искать в виде

После интегрирования числителя и знаменателя в правой части этого соотношения по всем наблюдениям, кроме Yi + i , т. е. по всем Yj, получим

2. Получим плотность распределения p (yi+i | y,-). Эта плот­ ность не зависит от р ( е г + і ) , является нормальной и имеет пара­ метры

Подставляя соответствующие величины в плотность распреде­ ления (9.4.11), получим

Р ! УІ+І) = h exp | . — | - [ ( П і + і — Ъ * Ц І ) Т Мг~+і (Пй-i —h**U) +

+( Y i + 1 - h t i i + 1 ) T r - M Y m - h W - ( Y J + 1 - h h * ^ ) r X

x W + i ^ + rrMYi+i —hh*4*)]} . (9.4.12)

где &j — нормировочный множитель. Дополняя до полных квад­ ратов выражение в квадратных скобках, приведем плотность (9.4.12) к виду

рСПл-і|У«+і) = М х р J — Ч Ш ) Т ® Щ + І ( Ч Ш — ЧІ+І)]} ,

(9.4.13)

выражение (9.4.14), которое часто называют дискретным «филь­ тром Винера — Калмана».

Для того чтобы получить уравнения для оценивания, например ß, необходимо использовать рекуррентный метод, в котором при­ меняется линеаризованное (по ß) решение модели. Предположим,

Заметим, что соотношение (9.4.18) аналогично (9.4.8), причем ôY, соответствует переменной Yj, a oß — функции х\г. Следовательно, величину oß можно оценить с помощью выражения (9.4.14), заме­ няя в последнем оценку Т|І+І на oß,+i, если предположения, сде­ ланные относительно плотностей распределения вероятностей, , включающих ц, применимы и к oß. Будем предполагать, что они применимы.

Таким образом, если в качеств^ предшествующих оценок ß использовать ß, т. е. если положить ßi = ß> то оценка ß j + 1 опре-

в линеаризованной модели, как описано в разд. 6.4.

где х0 — постоянный входной сигнал, и выведем уравнения для оценивания с помощью каждого из трех основных методов, опи­ санных в разд. 9.2, 9.3 и 9.4. Предположим, что начальное значе­ ние і/0 и параметр а имеют гауссово распределение с параметрами

В приведенных выше соотношениях индексом і обозначалось время. Непосредственное сравнение результатов оценивания по реаль­ ным или имитированным данным может оказаться бессмысленным, ибо один метод оценивания может быть более чувствителен к дан­ ному набору ошибок данных, чем другой. По этой причине Карни и Голдвин [15] для сравнения методов оценивания использовали

и параметрам, в методе Монте-Карло использовался генератор слу­ чайных чисел. Затем с помощью имитированных значений у0 и а. проводилось итерационное решение детерминированной модели процесса. К полученным детерминированным откликам добавлялись ошибки наблюдений e (tt), выданные генератором случайных чисел. Наконец, имитированные стохастические отклики Y (tt) вводились в уравнения для оценивания и получались оценки у0 и а. Так как для любого момента времени вычислялось большое число ( ~ 200—300) значений Y, можно было также определить и оценки дисперсий оценок у0 и а.

При имитации использовались следующие значения:

оценок для 300 проб, т. е. для 300 различных пар значений у0 + + 8 У о и а + е„, для неустойчивой модели, которые характерны как для устойчивого, так и для неустойчивого случаев. Все три