Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

i

1,005

1,000

uß

OA î

0,2 h

i

v.

5

Затем исследовался ряд аспектов, связанных с изменением некоторых из величин, предполагаемых «истинными». На фиг. П . 9 . 4 .ІВ показано влияние изменения дисперсии ое в интервале

от 0,0001 до 0,5 при постоянных значениях других величин для 200 проб. При малой ошибке наблюдений (шуме) для устойчивой модели метод последовательного оценивания оказался хуже дру-

1,6 |-Л

Ф и г . П.9.4.1г. Изменение нормированной дисперсии оценки в зависимости

Остальные обозначения см. на фиг. П.9.4.1B.

гих. Однако по мере увеличения ошибки наблюдений его относи­ тельная эффективность по сравнению с методом наименьших квад­ ратов возрастала в силу того, что при оценивании методом наименьших квадратов не используется априорная информация, которая по мере увеличения шума становится относительно более точной. Д л я неустойчивой модели (кривые не показаны) такая же

682 Глава 9

тенденция относительного поведения продолжала сохраняться,

однако отношение Var {а)Іа% или Ѵаг{Ь}/а| уменьшилось в 100 раз. На фиг. П . 9 . 4 . ІГ показано влияние изменения априорных стандартных отклонений начального условия и параметра для

добия и последовательное оценивание дали сравнимые результаты, тогда как оценивание методом наименьших квадратов оказалось слишком грубым, что явилось естественным следствием неучета

ратов по сравнению с другими дал лучшие результаты.

Было рассмотрено также влияние длины экспериментального интервала. Для одного и того же полного числа эксперименталь­ ных точек (20) использовались выборочные интервалы длиной 0,1, 0,2 и 0,4. Как показано на фиг. П.9.4.ІД, для устойчивой модели отношение сигнала к шуму со временем ухудшалось, так как откло­ нения от установившегося решения затухали. Однако в силу того, что установившееся решение имело вид —х0/а, устойчивая модель позволяла уточнять оценки параметра а по мере увеличения экспе­ риментального интервала. Оценивание методом максимального правдоподобия и последовательное оценивание дали сравнимые результаты, тогда как оценивание методом наименьших квадратов привело к меньшей точности оценок главным образом потому, что априорная информация становится особенно важной, когда экспе­ риментальная информация со временем уменьшается.

Для неустойчивой модели (фиг. П.9.4.le) все типы оценок по существу одинаковы и их точность улучшается с увеличением экспериментального интервала, так как шум имеет постоянное стандартное отклонение, а отклик растет с течением времени. Сле­ довательно, отношение сигнала к шуму непрерывно улучшается.

Для оценивания каждым из этих методов требуется примерно одинаковое время. Этот результат можно объяснить тем фактом, что при последовательном оценивании данные необходимо обраба­ тывать столько раз, сколько измерений в каждом цикле. Кроме того, необходимо заново вычислять ковариационную матрицу. При нелинейном оценивании одновременно обрабатывается весь набор данных, однако все же требуется итерирование, так как уравнения нелинейны.

Можно заключить, что оценивание методом максимального правдоподобия является, вообще говоря, наилучшим в том смысле, что приводит к наиболее точным оценкам. К тому же оно дает оценки, которые ни в какой мере не являются более смещенными, чем полученные другими методами. С оцениванием методом макси­ мального правдоподобия успешно конкурирует последовательное оценивание. Что касается оценивания методом наименьших квад­ ратов, то оно является вполне адекватным, кроме тех случаев, когда предполагаются известными точные априорные ошибки оце­ нок параметра и начального состояния.

С помощью некоторого предельного перехода уравнения для дискретного последовательного оценивания можно превратить в уравнения для непрерывного оценивания. В наиболее общем случае модель процесса имеет вид