Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 687

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

690

Глава 9

Пример 9.5.1. Оценивание кинетических коэффициентов

методом квазилинеаризации

В работе [ 1 9 ] были проиллюстрированы результаты применения метода квазилинеаризации к реакции окиси азота с кислородом в газовой фазе. Боденштейн и Линдер для реакции

 

 

2 N O + ^ 0 2

2 N 0 2

1

 

предложили J следующую

модель:

 

 

 

 

 

- § - = ^ ( 1 2 6 , 2 - ^ ( 9 1 , 9 - ^ - ^ ,

(а)

 

 

 

У(0) = 0.

 

 

Наблюдаемые значения Y были таковы:

 

 

t

Y

t

Y

t

1

Yj

0

0

5

17,6

14

34,4

1

1,4

6

21,4

19

48,8

2

6,3

7

23,0

24

41,6

3

10,5

9

27,0

29

43,5

4

14,2

И

30,5

39

45,3

Константы

&і и к9 оценивались

методом

квазилинеаризации

 

 

 

14

 

 

 

путем минимизации ф = 2 [Y (^) — г/J2 . Матричные дифферен-

і=1

циальные уравнения, соответствующие уравнению ( 9 . 5 . 6 ) , имели вид

^ - = к і ( 1 2 6 , 2 - у О ( 9 1 , 9 - У О 2

- ^ = / „

dt

 

dk2

 

d dtf e f- = 0,.

(б)

Начальные значения для kt и к2 были приняты равными соответ­ ственно Ю - 6 и Ю - 4 . Уравнения, эквивалентные уравнению (9.5.8), имели вид

= 10-6 (126,2 — у{0)) (91,9 — у[У — Ю - 4 (г/',0')2 —

— [2 • 10"6 (126,2 — г/И ( 9 1 , 9 — О 2 +

- f 10-« (91,9 - г/Г)2 - 2 • 10-4 г/И [ У і -г/<°>],

dt '

Оценивание

параметров

обыкновенных дифференциальных

уравнений

691

Д ля этого частного случая было легко получить значение г/<0), интегрируя уравнение (а) при Л, = 10~в и к2 = 10~4 во времени. В табл. П.9.5.1 приведены оценки констант в конце каждого цикла итерирования.

 

 

Таблица

П.9.5.1

Цикл

hi

Й2

 

Ф

0

1-10-6

1.10-4

 

 

1

0,3413-10-5

0,2554-10-2

 

 

2

0,4859-10-5

0,3683-Ю-з

 

 

3

0,4578-10-5

0,2808-Ю-з

 

 

4

0,4577-10-5

0 , 2 7 9 7 - Ю - 3

0,21-10-2

Следующие итерации не привели к значимым

изменениям.

Значения после

цикла 4 можно

сравнить со значениями к^ —

= 0 , 5 3 - Ю - 5 , к2

= 0,41 -Ю~3 и

суммы квадратов

отклонений

0,55-10~2, полученными Боденштейном и Линдером.

Дисперсии оценок можно найти, как описывалось в разд. 6.4; приближенную совместную доверительную область для них можно установить, линеаризировав приближенное аналитическое реше­ ние модели.

Метод квазилинеаризации можно также использовать и для моделей с граничными значениями, заданными в двух или несколь­ ких точках. Как объяснялось в разд. 9.1, если граничные условия отделены от моделей, то вместо непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений необходимо использовать различ­ ные численные методы. Метод квазилинеаризации можно исполь­ зовать следующим образом. Рассмотрим два дифференциальных уравнения

1 Ц - = 1ЛѴиУг,І),

У і ( 0 ) = уо.і,

(9.5.12а)

dt

••к(УиУг,і),

УгЩ = УьЛ.

(9.5.126)

 

 

 

Предположим, что можно аппроксимировать исходные профили для yt и у2. Правую часть уравнения (9.5.12а) тогда можно линеа­ ризовать вблизи y[m(t) и yl20)(t):

А {уи У2, <) = Ш°\ УТ, 0 + й / і ( У - Х

X (Уі —Уі ) ï \Уг — Уг )>

аналогичное выражение можно написать для правой части урав­ нения (9.5.126).

692 Глава 9

Линеаризованная

система уравнений имеет вид

 

 

=

/ііУі +

/i2Ïfe + /іО -

/ i i ï T -

W \

(9.5.13)

d^/2 _ J „

i

* „ I *

„<0>

-f ,,<0)

 

dt

=

/21У1

-

f /22^/2 + / 2 0 — h i V T — h t V .

 

 

 

 

 

 

2 1

 

где первый индекс y / обозначает номер функции, а второй — зависимую переменную, по которой эта функция дифференцирует­ ся. Уравнения (9.5.13) можно решить, например, методом Рунге — Кутта с набором начальных условий

 

Уі (°) = У ou

 

 

 

У2 (0) = аі

(предполагается),

 

 

что дает решение

при t = L , у\ (L) и у* (L).

Второй профиль

можно найти для начальных

условий

 

 

 

УІ (0) = Уоі.

 

 

 

У2 (0) = СІ2 (предполагается),

 

 

что дает значения у*+ (L) и у*+ (L).

 

 

Согласно принципу суперпозиции для линейных

уравнений,

любое решение уі можно получить как линейную

комбинацию

других решений

уу,

в данном

случае

 

 

 

 

УІ = ЩУІ

(L) + w-afi* (L).

 

Относительные веса

можно найти из начальных условий

 

 

Уоі = ЩУоі + и>2Уои

 

 

или ы?2 = 1 —wi-

Следовательно,

 

 

У2 (L) = гѵууі (L) + (1 - wy) у?

(L),

 

или

 

 

 

 

 

 

 

УіЮ-ѵГЮ'

 

( 9 - 5 Л 4 )

Функциональную связь между уу и t и между у2т& t на любом цикле расчетов после нулевого можно получить, используя веса, определяемые выражением (9.5.14), и соотношение

Ут (t) = wyyt (t) + w2yr (t), r = 1, 2.

(9.5.15)

Новые оценки y2 (0) можно получать последовательно из соотно­ шения (9.5.15) при t = 0 до тех пор, пока изменение yr(t) от этапа к этапу не станет меньше заранее выбранного числа.Точка, в кото­ рой подгоняется граничное условие при L , соответствует лишь одному циклу задачи с начальным значением; таким образом, пол­ ный расчет оказывается весьма громоздким.

Оценивание параметров обыкновенных дифференциальных уравнений 693

9.6. О Ц Е Н И В А Н И Е С И С П О Л Ь З О В А Н И Е М О Ш И Б К И У Р А В Н Е Н И Я (ОСТАТКА М О Д Е Л И )

Многие модели процессов состоят из обыкновенного дифферен­ циального уравнения д-го порядка

dWy ,

,

dy .

= * ( ' ) + ß t - ^ +

. . .

+

I

ß »

- £ £ ,

(9.6.1)

dt

i • • •

 

m

dt(m)

 

где у — переменная на выходе процесса; х — переменная на входе, коэффициенты необязательно постоянны, а могут быть некоторыми функциями от у, x, их производных или t. Для упрощения записи для наблюдаемых стохастических переменных введем обозначения

v

d^Y

d^y .

,

п

л

v

d<i>X

d<»x .

•

n

л

A i =

— =

: \-S],

7 = 0,

1, . . ., m,

(входная переменная процесса необязательно должна быть сто­ хастической). В уравнении (9.6.1) коэффициент при x (t) сделан равным 1 делением каждого члена на первоначальный коэффициент.

Итак, требуется найти наилучшие оценки параметров ak и ß7- (проведено по крайней мере m + q + 2 наблюдений) — наилуч­ шие в смысле минимизации квадрата „ошибки уравнения" е', опре­ деляемой следующим образом:

Я*. m

e' = S а ь І Ч —

S ß j X j - X .

(9.6.2)

fe=0

з=1

 

Ошибка уравнения представляет собой взвешенную сумму ошибок

е й и ( — п р и ч е м весами служат

сами параметры модели.

Квад­

рат ошибки е' в

выражении (9.6.2)

определяет некоторую

m +

+ q + 2-мерную

гиперповерхность

в координатах

e'2, ak

и ßy.

Гиперплоскость е' = 0, касающуюся этой гиперповерхности,

мож­

но найти (как функцию времени), используя метод

наискорейшего

спуска или любой другой метод

оптимизации.

 

 

В качестве простого примера рассмотрим модель

 

для которой ошибка уравнения

равна

 

 

 

e' = ß t - ^ - + ß 0 Y - X ;

 

 

поверхность е'2 в координатах ß t и ß„ изображена на фиг. 9.6.1. Поверхность касается плоскости ß 0 , ßi вдоль линии АА'. При

Смотрите также файлы