Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 685

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

694

Глава 9

изменении с течением времени значений dYldt, У и А' линия А А' поворачивается относительно точки (Ьи Ь0) и е'2 ->- 0.

Перепишем обобщенную ошибку, определяемую выражением (9.6.2), в несколько другом виде так, чтобы некоторые из парамет­

ра

А

\А

\

Ф и г . 9.6.1. Геометрическое представление ошибки уравнения,

ров могли быть

отрицательными:

 

 

 

 

q

m

 

 

 

e ' = S <*hYh +

S PA-

+ X .

(9.6.3)

 

h=0

j=l

Y h, X]

 

Если измеряются

дискретные значения

и X , то в силу

n

линейности функции параметров s' минимизация суммы 2 e î 2 п о

І = І

этим параметрам дает систему уравнений, аналогичных уравне­ ниям, описанным в разд. 5.6.

Если Yh, Xj и X—непрерывные функции времени, то, копи­ руя метод наименьших квадратов разд. 9.2, можно минимизи­ ровать функцию

ч>=-|- J е ' а Л

( 9 - 6 - 4 )

Оценивание

параметров

обыкновенных

дифференциальных

уравнений

695

методом наискорейшего спуска, вычисляя ( & > 0 ) :

ч

(9.6.5)

Чтобы упростить обозначения, положим

ч

t

ч

 

 

 

 

 

\*'-jkdt=

\*'Ук&

= (г', Yh),

k = 0,

...,q,

о

 

о

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

ч

f

ч

 

 

 

 

 

j e ' | £ - d * = j e % d * =

<e', Xj),

/ = 1,

...,m.

о

1

0

 

 

 

 

 

Ограничение,

состоящее

в

том,

что коэффициенты постоянны

в интервале

от 0 до tf,

не является строгим, ибо время накопле­

ния данных можно уменьшить до значений, соизмеримых с посто­ янными времени системы.

Разбиение ошибки е' в соотношениях (9.6.5) на отдельные члены, подстановка оценок at и bj вместо соответствующих пара­ метров а г и ß7- и представление в матричном виде дает

1

da0

 

dt

1

daq

 

dt

1

dbi

kq+2

dt

1

dbm

hq+m+i

dt _

696

( У 0 ) Го) • • •

<Yo, У, ) •

(Уо, Хі) ..

l(Y0,

Xm)

. . .

 

Глава 9

 

 

<У«, Уо) (Хи

Уо)

•••

<У? ,

У д ) <Х Ь

У,)

 

(Уд,

Xl) (Xl, Xl)

 

(Уд, X m ) (Xi, Xm)

• • •

 

 

ß 0 "

 

 

X

(Zg

1

 

 

 

Ьі

+

 

 

•bm

(Хт, Уо)

( X m , Уд)

X

(Xm, Xi)

(Xm, Xm)

(X, Уо) -,

(X,

Уд)

(9.6.6)

(X,

Xi)

 

(X, Xm >-

Уравнение (9.6.6) можно решить на аналоговой или гибридного тина вычислительной машине в натуральном масштабе времени (или в другой выбранной временной шкале), предполагая, что оценки параметров постоянны или меняются медленно. В точке минимума ф, когда tf велико,

Зг|5

л

dag

dai

0;

да0 ' да^

 

 

dt

 

 

 

в этом случае, если матрица усредненных по времени величин ока­ зывается невырожденной, оценки коэффициентов можно получить, приравнивая нулю правую часть соотношения (9.6.6). Насколько хорошо сходится этот метод оценивания, зависит от формы поверх­ ности ф в пространстве параметров.

На фиг. 9.6.2 показан процесс оценивания методом наискорей­ шего спуска двух моделей, когда ошибка с' не зависит явно от времени.

Расчет смещения и точности оценок ак и bj не является досто­ верным, поскольку статистики, связанные с различными членами соотношения (9.6.6), обычно не известны.

Астрем [20] показал, что для конкретной модели некоторой динамической системы элементы ковариационной матрицы оценок параметров можно ограничить снизу при любом методе оценива­ ния, использующем ошибку уравнения. Выражение (9.6.2) можно

Оценивание параметров обыкновенных дифференциальных уравнений 697

переписать

следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

Dh[Y(t)]

=

Dj[X(t)]

+

te'

(t),

(9.6.7>

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dh[Y{t)]

= a

q ^ L

+

 

+ «о,

 

Я — некоторая

постоянная.

 

 

 

 

Если

g { e ' ( * ) } = 0 ,

U{e'(t)e'(t)}

=

1,

а

преобразование

Лапласа

от

Z)7- не

имеет

действительных

отрицательных корней

[т. е. соотношение (9.6.7) описывает устойчивый процесс], то мож­ но поступить следующим образом.

30

2,0

о" 1,0

 

 

S,0

 

 

2,0

 

 

а

 

 

1.0

 

 

0

I ' I I '

I ' I ' I I '

 

 

60

Ф и г . 9.6.2. Оценивание параметров

с помощью

критерия ошибки у р а в ­

нения . Моделями служат обыкновенные дифференциальные уравнения пер ­ вого (а) и второго (б) порядка со ступенчатым входным сигналом.

По наблюдаемым значениям Y (t) и X (t) функций у (t) и х (t) Астрем нашел выражение логарифма функции правдоподобия для вектора параметров Ѳ (постоянная X не включена в Ѳ) в виде

Ч

l n L = — 2 X 2 " j *'*(t)dt — ^ In Х +const,

(9.6.8)

о

 

где е' = г' (t) = Dh [Y (t)] — D} [X (t)]. Он использовал теорему

Крамера — Pao [21], которая устанавливает, что если Ѳ — несме­ щенная оценка параметров Ѳ, а функция In L непрерывна по Y и X и дважды дифференцируема по Ѳ, то

g{(Ô —Ѳ) ( Ѳ — 9 ) r } > J - \

(9.6.9)

698 Глава 9

где

J — «информационная

матрица»,

определяемая выражением

т

-, Г / d\nL

\

I дЫЬ

\

т\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г <?2 I n L

 

 

c»2 ln L

д*1пЬ~

 

 

 

 

 

 

 

 

ддідді

'

'

оѲ^Ѳт

dQx дХ

 

 

 

 

 

 

 

(?2 In L

 

 

02 l n L

d^lxxL

} . (9.6.10)

 

 

 

 

 

 

 

dQm dQi

• • '

dQmdQm

dQm ô"k

 

 

 

 

 

 

 

<?2 l n L

 

 

 

 

l n

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

dX

dQm

d№

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следующие

величины:

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д* ln L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dk dQi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дПпЬI n L

_

1

С

de'

(t) de'

(t)

dt-

1

7

дЧ'

(t) dt.

 

dQi dQj

_

W J

dQ;

dQj

 

 

 

 

 

 

Любая вторая производная от е' обращается в нуль; следовательно, для математических ожиданий получаем

< 9 - 6 - И а >

«{ - иг} - ° .

«- -Vto^-w *•(9-бль>

 

 

 

 

о

 

 

 

 

В частности,

в выражение (9.6.11B)

будут

входить

математи­

ческие ожидания

типа

 

 

 

 

 

которые ранее

в примере

2.2.4 связывались с

корреляционными

и взаимными корреляционными функциями для X и

Y.

 

Вместо использования

выражения

(9.6.4) в качестве

критерия

минимума

другой

метод

требует минимизации непосредственно

величины

Ѵге'2 .

Тогда

уравнения,

эквивалентные

уравнениям

Смотрите также файлы