Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 684

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Оценивание параметров обыкновенных дифференциальных уравнений 699

(9.6.5), будут иметь вид

,

 

 

dah

дг'2

, , ѵ

ID

 

Я ,А

(9.6.12)

dt -

К]

dfa -

я ; е л у .

В целесообразности этих уравнений можно убедиться, пред­ полагая, что в' также является явной функцией времени, ибо тогда

< ( т " )

, /

дг'

dah

 

de'

dß}

de'

\

dt

\

\

k

k

dtdt

 

+dßjd&j

dt

* dt

J '

 

 

dada

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя выражения (9.6.12) для производных от коэффи­

циентов по времени,

получаем

 

 

d(-^-e'A

Я

m

 

d t ' =

- в ' 2 ( S * * П +

2 ад) + в ' ^г-

(9.6.13)

 

fc=0

j = l

 

Хотя первый член в правой части соотношения (9.6.13) всегда отрицателен (и соответствует направлению наискорейшего спуска относительно времени), его может превзойти по абсолютной вели­ чине член е' (дг'/dt). Следовательно, сходимость будет достигаться при таком выборе kh и kj, чтобы сумма этих двух членов была всег­ да отрицательна. Сходимость можно доказать для случая, когда

параметры au

и ß;- постоянны

и она эмпирически

обнаружена

в ряде других

частных случаев.

Для доказательства

сходимости

необходимо лишь показать, что соотношение (9.6.6) асимптотиче­ ски устойчиво, используя для этого или теорию линейных систем, или функцию Ляпунова, как описано в руководствах по анализу систем. Скорость сходимости не может произвольно возрастать с увеличением к. По мере того как приращение к увеличивается или уменьшается относительно своего оптимального значения, рас­ тет время, необходимое для сходимости значений параметра, так как поверхность ѵ]з не является положительно определенной.

Пример 9.6.1. Непрерывное оценивание с использованием ошибки уравнения

Детерминированная модель реакции (первого порядка, чтобы модель была линейна) в проточном реакторе идеального смешения имеет вид (V — объем, с — концентрация, F — расход):

V^=--FC(l-Fc-Vkrc,

(а)

или

 

°Ч-§- + аоС = с0 ,

(б) ,

700 Глава 9

где

 

 

а1 =

 

 

«0

F+krV

 

 

У

и

=

Коэффициенты

сц

и а 0

нужно

оценить по наблюден иям Сд, del dt

и с; положим

=

a t и а0

= а0.

 

Ниже наблюдения deldt,

с и с0

будут считаться стохастическими

переменными.

 

 

 

 

 

 

с(0) = со

В соответствии с выражением (9.6.3) ошибка уравнения равна

 

 

 

 

 

 

е'

-

а,Уі

+

а 0 У 0

+ X,

 

(в)

где

 

 

 

 

de

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У і =

 

 

 

o = c + e 2 и Х = с0 + е3 .

 

 

 

 

1Г + е і ' y

 

Матрицы,

 

соответствующие

соотношению

(9.6.6), для этой

модели

имеют

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

1

 

da0

 

- i

(Уо,

Y0)(YU

 

У 0 ) |

Гй 0 |

Уо)

 

 

fto

 

<й

 

 

 

(г)

 

1

 

<fa4

 

[<Y0,

Yi.

 

 

 

 

і)

 

ki

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если положить

кс = ку = 1

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, 5

=

(X,

Уо)

 

 

 

l~[(Y0,Yi){Yl,Yi)

 

 

 

 

 

 

то уравнение

(г) запишется как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

da

= - І а - £ ,

а(0):

 

аоо

 

(Д)

 

 

 

 

 

 

Lß io

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где ß0 o

и Й

1

0

— выбранные начальные

значения коэффициентов.

Решение

уравнения (д)

имеет

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

=

е-Ѵ а 0

-

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«0

 

 

аоо

 

 

(X,

Уо)

 

(e)

 

 

 

 

 

ßl.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оценивание параметров обыкновенных дифференциальных уравнений 701

Устойчивость расчетов для а0 и аѵ зависит от знаков собственных значений матрицы \ .

На фиг. П.9.6.1 изображена возможная аналоговая вычисли­ тельная схема для коэффициентов. На фиг. 9.6.2,а показаны оценки параметров «о и <хх как функции времени для одного опыта, в котором непрерывно измерялись С и С0. Смещение и точность оценок неизвестны.

Производная от отклика Y,

Отклик У0

1 — - О ^

Ф и г . П.9.6.1.

Конкретные выражения для ( У ь Yj) имеют вид

 

(Уо, Уо>=

*/

^СЫі,

 

о

 

 

 

 

 

 

 

Ч

 

 

 

 

о

 

 

<г>,п

= ]

(£)•*.

 

 

 

о

 

 

(X, У 0 ) =

ч

C0Cdt,

 

(

 

 

 

Ъ

 

 

 

 

Ч

 

 

{X,Y,)=]Cu^dt.

 

 

 

 

о

 

Так как (У 0 , У,) =

(У4 ,

У0 )

=

0, то

1

I

0

 

(Уі, У.)"1 .

702

Глава 9

И

В точке минимума ф, когда (оф/<Эа0) = (dty/day) — 0,

а0 = (X, Yo) „ „

F i )

Пример 9.6.2. Сравнение оценок, полученных методом наименьших квадратов и с использованием ошибки уравнения

Имитируя эквивалентные условия, сравнивали оценки двух

параметров а 0 и ß t в модели второго порядка

 

" Ж + а О Г + а*У = ßo* + ßi I F '

<а>

причем шум аддитивно добавлялся

к производным и к величине у.

В каждом испытании приращения

(к) были одинаковы и в обоих

случаях был один и тот же входной сигнал х (t) = sin t. При уве­ личении приращения ошибка отклика становилась неустойчивой; следовательно, уменьшением приращения можно было заметно снизить время для перехода ф - > фМ ин- На фиг. П.9.6.2 показаны типичные траектории оценок, полученных соответственно при использовании уравнений (9.2.4) и (9.6.12). Эти траектории харак­ терны для уравнения (а) только для выбранных параметров; дру­ гие комбинации значений параметров дадут другие имитированные отклики и, следовательно, другие траектории в пространстве пара­ метров.

Пока оцениваемые параметры входят в уравнение модели линей­ но, модель, нелинейная по зависимой переменной или ее произ­ водным, рассматривается с помощью критерия ошибки уравнения точно таким же образом, как и линейная (по зависимой пере­ менной) модель. Например, в модели

de

a i - ^ - + a0 c + ßc2 = c0

нет основания полагать, что член, содержащий с2 , следует рас­ сматривать иначе, чем члены с с или del dt; следовательно, проце­ дура оценивания остается неизменной.

Смотрите также файлы