Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 683

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Оценивание

параметров

обыкновенных

дифференциальных

уравнений

703

3,0

Ф и г . П . 9 . 6 . 2 . Оценивание методом наименьших квадратов (а) и с помощью метода ошибки уравнения (б).

Модели, которые представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с несколькими зависимыми пере­ менными, требуют использования целевой функции с весами, например

Ф і = t {ivfi\ + w^\+

. . .)dt;

о

функцию фі можно минимизировать любым из ранее описанных методов. Веса могут равняться единице или выбираться в соответ­ ствии с одной из характеристик, перечисленных в разд. 5.5 для моделей с несколькими откликами.

704

Глава 9

Задачи

9.1. Проточный реактор идеального смешения (фиг. 3.9.1) можно описать следующей детерминированной моделью для ком­ понента, обозначаемого буквой с:

V — - •F(c —c) + VE, с(0) = 0, dt ' F

где F — расход жидкости; V — объем реактора; с — концентра­ ция в реакторе; cF — концентрация в поступающем потоке; Я — = —ксп — скорость реакции; t — время.

Ф и г . 3.9.1.

Все переменные детерминированные.

а) Объясните, почему в реальном процессе каждая зависимая переменная является стохастической.

б) Является ли эта модель моделью с граничным условием или моделью с начальным условием?

в) Линейны или нелинейны: 1) модель и 2) решение модели по параметрам /. и п7

г) Какой критерий можно было бы использовать для оценива­ ния к и п по измерениям величины с в зависимости от £?

Фи г . 3.9.2.

9.2.Вода вытекает из переполненного резервуара через выем­ ку, как показано на фиг. 3.9.2. Высота уровня воды H над выемкой определяется из дифференциального уравнения

ddtH . =

F(t)-kH3'\

H (0) = о,

Оценивание

параметров

обыкновенных

дифференциальных

уравнений

705

где F (t) — расход, k — некоторый коэффициент, a t — время. Считая, что F — случайная переменная, a t — детерминированная переменная, ответьте на следующие вопросы:

а) Как выражается математическое ожидание H через матема­ тическое ожидание F (£)?

б) Линейно или нелинейно по k это уравнение? в) Какова ошибка уравнения для этой модели?

Ра

F. — A

ij<T

Рг

Задвижка

А

Задвижка В

Фи г . 3.9.3.

9.3.Уравнительный сосуд гасит колебания давления в водо­ проводе (фиг. 3.9.3). Стационарное уравнение баланса вещества имеет вид

где

 

 

а — площадь поперечного сечения сосуда;

H

— высота уровня воды;

Fi

= CA

VPI — Pi\

Fi

= с в

У pi — р3;

Pz — Po = Hp;

 

 

 

 

 

Po — атмосферное

 

давление, известная постоянная;

р — давление

в

определенной

точке;

 

р — плотность

воды, известная

величина;

 

с — коэффициент

задвижки, неизвестная

постоянная;

t

— время,

детерминированная

переменная.

 

Предполагается,

что ру — случайная переменная.

а)

Являются

ли р2

и р3 также

случайными

переменными?

б)

Является ли H случайной переменной?

 

в)

Линейно или нелинейно дифференциальное уравнение, опи­

сывающее этот процесс? Поясните, в каком смысле.

г) Какой критерий можно было бы использовать для оцени­

вания сА и св

по значениям H как функции tl

д) Можно

ли для экспериментирования разбить эту модель

на более простые подмодели? Приведите пример или объясните, почему нельзя это сделать.

706

Глава 9

9.4. Дифференциальное уравнение п-то порядка можно пред­ ставить в виде п дифференциальных уравнений первого порядка. Например, подстановка в уравнение

-Ш2- + аі^-\-а2у

= х(і)

следующих величин:

dy

~dt=W>

cfiy dw

Hfl'~~dT

дает

dt w,

dw —ацѵ—a2y-\-x(t).

(а)

(6)

Допустим, что y теперь рассматривается как стохастическая переменная Y = у + 8 . Что можно сказать о стохастической переменной w, зная математическое ожидание и дисперсию е? Какого рода критерий оказался бы наиболее полезен для оценива­ ния коэффициентов at и а2: 1) в уравнении (а) и 2) в уравнениях (б), если Y — наблюдаемая переменная? Считайте, что х (t) и t — детерминированные переменные. Помните, что как для уравнения (а), так и для уравнений (б) требуются два начальных условия.

 

L

Поток "

Неподвижный слой

насадки

Z=0

Фи г. 3.9.5.

9.5.Диффузионная модель реактора с неподвижным слоем катализатора (насадки), в котором идет реакция первого порядка (фиг. 3.9.5), имеет вид (в безразмерной форме):

где

D

а = ТГ>

Оценивание параметров

обыкновенных

дифференциальных

уравнений 707

D — коэффициент

продольного

перемешивания

 

у — безразмерная

концентрация;

 

 

z — безразмерная

длина вдоль оси, 0 ^ z =SC 1;

 

ß = kl;

V — линейная скорость потока; L - длина;

k - константа скорости;

t = Llv — среднее время пребывания.

Номер

 

Граничные условия

 

 

 

реше­

на входе (z = 0)

на выходе или при

ния

другом значении z

1

» =

1,0

z-*-oo, у = 0

2

» =

1,0

. - 1 . 0 . * - 0

3

»-+»•£

- 1 . 0 . ^ - 0

4

'-•+«*

z —>- оо, г/ = 0

 

 

Таблица

3.9.5

 

 

Решение модели

 

 

 

•у = еп*

 

 

_

m 2 e m V " » z — i » i e m i e m * 2

V

 

m2em^-miemi

 

_

 

m2em*emiZ—miemiem*z

 

Ѵ

( 1 - a m O m 2 e m 2 - ( l - a m 2 )

mje"1*

^1 — ami

Здесь

« 1 = 2 ^ ( 1 - V l + 4 a ß )

"»2 = 2 ^ ( 1 + Vl+4ocß)

В табл. 3.9.5 приведены решения уравнения (а) для различных возможных граничных условий. В полулогарифмическом масшта­ бе постройте график зависимости In у от ß и ответьте на следующие вопросы:

а) При каких экспериментальных условиях важно контроли­ ровать граничные условия и при каких обстоятельствах это несу­ щественно?

б) Как можно получить значения к и а на отдельных экспери­ ментальных установках?

в) Как можно получить значения к и а на одной и той же экспе­ риментальной установке?

г) Можно ли различить модель идеального вытеснения (с опу­ щенным первым членом, учитывающим диффузию или перемеши­ вание) и диффузионную модель?

708

 

Глава

9

 

 

д) Ответьте на вопросы а) — в) для модели проточного реактора

идеального

смешения (см. задачу

9.1),

 

 

е) Если бы член реакции равнялся ßi/2 , то как тогда можно было

бы оценить к?

 

 

 

 

9.6. В работе [22] измерялись

начальные скорости

(т. е. про­

изводные по времени при t

= 0)

дегидрогенизации

вторичного

бутилового

спирта при 400° С. Ниже приведены полученные дан­

ные:

 

 

 

 

 

 

Начальная скорость

Скорость

Парциальное

 

 

давление

 

 

Я, г-моль спиртаДчх

подачи F

спирта Рд,

 

 

Хг-моль катализатора)

(100% спирта)

КГС/СМ2

 

 

 

 

 

 

 

0,0392

0,01359

1,0

 

 

0,0416

0,01366

7,0

 

 

0,0416

0,01394

4,0

 

 

0,0326

0,01367

10,0

 

 

0,0247

0,01398

14,5

 

 

0,0415

0,01389

5,5

 

 

0,0376

0,01384

8,5

 

 

0,0420

0,01392

3,0

 

 

0,0295

0,01362

0,22

 

 

0,0410

0,01390

1,0

 

Оцените коэффициенты к д , kR и КА в модели

J i ^ ] - { [ * . + £ £ ^ ] , - * r .

ю

МИНИМИЗИРУЯ 2 (гі—^г-)2»

г Д е

R

t = ^ і Л~г

і •

 

 

 

 

і=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.7. Во многих областях решение дифференциального

уравнения

известно как логистическая функция

 

 

 

 

 

 

У—а

 

ъ2

 

 

 

 

 

 

=

І: * .

 

 

 

 

где

с — постоянная

интегрирования (связанная с

начальным

условием), у — зависимая

переменная,

t — время,

а

Ь ь Ь2,

а я

с — постоянные

параметры,

которые требуется

оценить.

 

Найдите наилучшие оценки параметров a, bt,

bz и с, основыва­

ясь на следующих данных, где Y — у +

е — случайная

перемен­

ная:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наблюдаемыетх.«—„

 

 

Наблюдаемые

.

 

 

 

значения У

 

 

значения Y

 

 

 

 

195

 

72

 

687

288

 

 

 

377

 

144

 

783

346

 

 

 

542

 

216

 

911

432

 

 

Смотрите также файлы