Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл (30,27Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 610

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Глава 2

Требуется найти среднее значение и дисперсию Р (в кгс/см2 ), предполагая, что для воздуха

п= 1 г-моль,

а— 1,347 -106 кгс/см2 -(см3 /г-мо ль)2 ,

Ъ= 38,6 см3 /г-моль,

	Т = 300 К
и что среднее	значение	и дисперсия V равны соответственно
100 см3 и 1	см6 . Универсальная газовая постоянная
Л = 82,06		(см3 'Кгс/см^/град-г-моль.

Решение

Поскольку уравнение Ван-дер-Ваальса нелинейно относитель но V, его необходимо сначала линеаризовать. Разложим эту функцию в ряд Тейлора, опуская все члены выше первого порядка:

nRT

B 2fl-|

nRT

2 А - 1

~ | _ F 0 - « b

Fe 4 F 0 - ^ ) 2 J +

L ( F 0 - n f e ) 2 ^

j r - a - t - p i ' .

Теперь

используем

формулы

(2.4.20)

и (2.4.21):

Ш {Р} =

а +

ßg { F } ,

Var

{/>} =

ß 2

Var { F } ,

Г 82,06-300

3-1,347-10«

100-82,6-300-] _

/ Q

а ~

L Ю О - 3 8 , 6

т~ (100 -

38,6)2 J -

0 4

Г С / ° М '

82,06-300

2-1,347-10«

0 0

( Ю О - 3 8 , 6 ) 2

——3,84

кгс/см^-см3 ,

106

J "

Ш {Р} = 264 кгс/см2 ,

Var {Р}

= 14,75

(кгс/см2 )2 .

Эти результаты справедливы для небольших отклонений от F 0 .

Пример 2.4.7. Оценка ошибки коэффициента теплопередачи1 )

Рассмотрим лабораторный эксперимент по нагреву воды {неустановившийся режим) в открытом котле с паровой рубашкой. Полный эффективный коэффициент теплопередачи определяется формулой

WCP ijT_\

AkT, эфф V dt ) '

*) Взят из работы [12].

Распределения	вероятности и выборочная		статистика	91
где
W — вес воды,		кг;
Ср — удельная		теплоемкость воды,	Дж/кг - град;

А— покрытая водой площадь котла, через которую может происходить теплообмен, м2 ;

А^эфф — эффективная разность температур пара и воды в про извольный момент времени, Ts — Tw, °С;

—£t тангенс угла наклона кривой зависимости температу ры воды от времени в произвольный момент времени.

Предполагается, что все перечисленные величины являются случайными переменными. Начальная температура равна ком натной.

Требуется найти математическое ожидание коэффициента £7Эфф и определить его точность при условии, что ДГэфф = 30 °С.

Решение

Учитывая выражение (2.4.26) и считая все переменные незави симыми, запишем

/ ^эфф У*

(°Ср)2

аА

/ 0 Д г э ф ф \ 2

/ <*dT/dt

\ 2

^вфф /

~~ V W

"г \Ср

J "t" I

)

Ч" \

ЛГэфф j ~г

dT/dt

) •

Рассмотрим, как измерялся каждый из этих членов, и оценим

их

дисперсию.

o w : 80

кг воды

разбивались на

порции

по

10 кг.

Поскольку

каждая

порция

взвешивалась

с максимальной

ошибкой

в пределах

± 0 , 1 2

кг, то,

предполагая,

что

эта ошибка

равна трем выборочным стандартным отклонениям, можно

заключить,

что

^= 0,12/3 =

0,04

кг.

= Wi + W2 •+...

W8,

так что если взвешивания были независимыми, то из

соотношения

(2.2.9а)

получаем

o2w

Ss2w. =

0,0128

кг2 .

Ос

'• Теплоемкость воды

известна

достаточно

высокой

точ

ностью,

так

что

можно

считать,

что

неопределенность

в значении

Сѵ

отсутствует,

т. е. аЬ

Од : По мере нагрева имеет место увеличение объема воды, приводящее к увеличению площади смачиваемой поверх ности. Однако термин «эффективный коэффициент тепло передачи» означает, что это увеличение площади не учи тывается и используется значение площади при комнат ной температуре. При известной геометрии котла по резуль татам измерения высоты жидкости была оценена площадь

Глава

А = 0,81 м2 с неопределенностью 3sA =

0,045 м2 . Поэтому

sA = ^

= 0,015 м2 ,

a i «

4 = 0,000225 м4 .

сгдТдфф: Температура

пара,

который

предполагался

насыщенным,

определялась

по

его

давлению,

измеряемому

ртутным

манометром. Давление поддерживалось вблизи установ

ленного

уровня 33 360 Н/м в

пределах

ошибок

± 2 5 мм

рт.

ст.,

т. е.

3336

Н/м. Следовательно, колебания тем

пературы

пара не

превышали

+0, 9 °С. Таким

образом,

S 2

T s =

0,09(°C)2 .

Температура воды измерялась с помощью двух термопар,

каждая из которых обладала максимальной

погрешностью

± 0 , 3 °С:

Тю — ~2 ІХWl -f-

TWi),

Следовательно, так как Л^эфф = Ts —

Tw,

оІтэфф

4 т э ф

ф =

0,09 +

0,005 =

0,095

(°C)2 .

adT/dt

'• Производная

от температуры

по времени в момент

t, при

котором

АГЭфф = 30 °С, определялась

помощью

каса

тельной, проведенной на графике зависимости температуры

воды от времени. После ряда построений, при которых

использовались различные способы проведения плавной

кривой по отдельным точкам и касательных к этим кривым,

была получена разумная оценка производной dTldt,

рав

ная

1,5

град/мин,

дисперсией

oh/dt « éridt « 0,015 (град/мин)2 .

Среднее значение общего эффективного коэффициента тепло

передачи

£7Эфф в

результате

расчета

оказалось

равным

80-4187.1,5

n/r

тэ

, г

-град,

U m

= о,81-30-60

= 3

4 5

Вт/м2

а оценка

дисперсии

Г0 '0 1 2 8

-2

/д/ел2

0,000225

0,095 , 0,015-] _

°иэфф

« 8иафф

(МО)

L -gö§

(o,81)2

-gor +

T ^ F j

= (345)2

[2. Ю - 6 + 3,45.10"4

+ 1,05 • 10"4

+ 0,00667] =

118500-0,007122 = 844.

Распределения вероятности и выборочная статистика 93

Оценка	стандартного отклонения С/Эфф
	ôu	« Su	=	29.
		эфф	эфф
Эта	оценка °"иЭфф является		лишь	приближенной, так как

сами выборочные дисперсии находились приближенно, а дис персия ивфф оценивалась по линеаризованному соотношению. Можно было бы оценить аидфф другим путем, вычисляя

по результатам повторных экспериментов. Проведенный анализ ошибок показывает, что наибольший вклад в экспериментальную ошибку вносит член с производной dTldt. Ошибку в £7Эфф можно резко уменьшить, уменьшая погрешности кривой зависимости температуры от времени и оценки углового коэффициента каса тельной к этой кривой.

Следует помнить, что проведенный в этом разделе анализ ошибок является лишь одним из этапов анализа ошибок измере

ний. Как отмечалось во введении		к этой главе, в полную ошибку
может	дать вклад некоторый постоянный сдвиг, или смещение,
и этот	вклад нельзя исключить	повторением измерений. Если

исследователь, например, хочет оценить давление по манометру Бурдона, он не может просто взять десять манометров и затем усреднить полученные десять показаний, если каждый прибор не был недавно калиброван. Без такой калибровки все приборы из одной партии могут давать смещенные показания, например завышенные. Надлежащая калибровка как путем настройки при бора, так и с помощью корректировочных констант дает уверен ность, что показания прибора не смещены. К сожалению, не

всегда удается работать с недавно калиброванными				приборами;
по этой причине не следует		забывать о	возможных	смещениях.
2.4.5.	Выборочный	коэффициент	корреляции
Выборочный	коэффициент	корреляции	р х у представляет собой

оценку коэффициента корреляции Рху> который определяется выражением (2.2.14). Выборочная ковариация случайной пере менной выражается следующим образом:

^хг = 1 ^ Т 2 V i - * ) (Yt-Y)	m	(2.4.27)
i

и может быть	также подсчитана	по формуле
s*r =	-n~T (S ntXtYt—L	2 ntXt	2 n t Y t ) , (2.4.27a)
	i	i	i

Смотрите также файлы

Хмелевский А.В. Паровоз. (Устройство, работа и ремонт) учебник для техн. шк. ж.-д. трансп.pdf

Хокс П. Электронная оптика и электронная микроскопия.pdf

Цесевич В.П. Звезды типа RW Возничего фотографические наблюдения блеска.pdf

Цифровая обработка сейсмических данных..pdf

Шишкин Н.Н. Кобальт в рудах месторождений СССР.pdf

Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно