Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 608
Скачиваний: 2
Распределения |
вероятности и выборочная |
статистика |
85 |
Плотность распределения вероятности F определяется выра жением
Г (Ѵ* + Ѵ Л
|
n (F) = |
- |
- |
|
'— (ѵѴ/2Ѵ92/2) |
|
- |
|
• |
(2 4 17) |
||||||
|
Р К |
' |
Г (vj/2) Г (ѵ2 /2) |
^ 1 |
2 |
; |
|
|
V1+V2 |
' |
К*-1*-11) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(v2 + vtF) |
2 |
|
|
||
график этой |
функции |
приведен |
на |
фиг. 2.4.7. |
|
|
|
|||||||||
|
Среднее |
значение |
и |
дисперсия |
F |
равны |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
W |
= - ^ T 2 ' |
|
ѵ 2 > 2 , |
|
|
|
(2.4.18) |
|||||
|
|
|
|
Var {F} |
= |
2 T 2 ( V |
i t V r \ |
• |
|
|
( 2 - 4 - 1 9 ) |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
' |
|
V i ( v 2 — 2 ) 2 ( V 2 —4) |
|
|
V |
' |
||||
|
Имеет место |
полезное |
соответствие: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
величина |
F (ѵ2 , ѵ4 ) |
для |
P {F ^ |
i ^ } = & |
равна |
|
|
||||||||
|
|
1/-F (Vi, v2 ) для |
P {F < Fa) |
= 1 - k. |
|
|
||||||||||
Пример 2.4.4. Отношение |
дисперсий |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
і 3 |
Пусть Vi = |
10, |
v 2 = 4. |
Требуется найти |
значение |
F* для |
||||||||||
{0 < F < |
|
= 0,95. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если P {0 < |
F < |
F*} = 0,95, то P {F > ^ } = 0,05. Из таб |
|||||||||||||
лицы В.4 приложения |
В |
находим |
F* (10,4) = 5,96. |
|
|
|||||||||||
|
Также справедливо, |
что F* = |
1/5,96 для P {F ^ |
і^} = 0,05 |
||||||||||||
с |
Ѵу — А и |
ѵ 2 |
= 10 |
степенями |
свободы. |
|
|
|
|
|
||||||
2.4.4. «Перенос ошибок»
Важной особенностью экспериментов является то, что экспе риментальные результаты можно использовать для оценивания среднего значения и дисперсии случайной переменной, которую нельзя измерить непосредственно. Например, измерив все случай ные переменные, кроме одной, по балансу веществ можно оценить среднее значение и дисперсию оставшейся случайной переменной. Здесь и будет рассмотрен вопрос о том, как исследователь может предсказать среднее значение и дисперсию неизмеряемой пере менной, зная ,эти характеристики для измеряемых переменных.
Среднее значение линейной функции случайных переменных равно такой же линейной комбинации соответствующих средних значений, как следует из соотношения (2.2.1г). Таким образом, если Y = аХ + Ъ, то
% {Y} = а% {X} + Ь. |
(2.4.20) |
86 |
Глава 2 |
Дисперсия линейной функции случайных переменных определяет ся формулами (2.2.9) или (2.2.9а). Например, для одной случайной переменной X
Var {Y} = a2 Var {X}. |
(2.4.21) |
Теперь проиллюстрируем на примере применение формул (2.2.1г), (2.2.9а), (2.4.20) и (2.4.21).
Пример 2.4.5. Погрешность показаний расходомера
Расходомер (фиг. П.2.4.5) выдает некоторый выходной сигнал, характеризующий суммарную величину поступающих в него
Ф и г . П . 2 . 4 . 5 .
двух потоков. Величина каждого из потоков содержит некоторую ошибку; кроме того, в выходной сигнал вносит ошибку и сам
расходомер. Функциональная |
связь |
между у и xt такова: |
у = 100 + |
а^хі + |
а2х2. |
Величины xt и у измеряются в милливольтах. Ошибки в сигна лах, указанные ниже в процентах от средних значений этих сигналов, представляют собой три стандартных отклонения в еди ницах измерения х. Математическое ожидание ошибок равно нулю. Исходя из этих данных, требуется вычислить ошибку у и z, также выраженную через три стандартных отклонения. Коэффи циент усиления расходомера равен единице.
|
|
Сигнал |
Постоян |
Ошибка ЗОтс |
|||
|
|
ные |
|
|
|
||
|
|
|
|
5 |
100 |
5% |
|
|
|
|
|
2 |
150 |
4% |
|
|
|
Расходомер |
|
|
|
2% от среднего |
|
|
|
|
|
|
|
з н а ч е н и я |
|
|
Решение |
Xt |
= хх |
|
и Х2 = х2 + |
|
|
|
Предположим, что |
+ et |
е2> г Д е |
||||
и |
Х2 |
— статистически |
независимые |
переменные. |
Тогда Y = |
||
— |
atXi |
+ а4 8! + а2х2 -f- |
а2г2 |
+ |
100. |
|
|
|
Распределения |
вероятности |
и |
выборочная |
статистика |
87 |
|
Выходной сигнал |
расходомера |
равен |
|
|
|||
%{Y) |
= а& {Хі} + а2$Ы |
+ |
ЮО = |
|
|
||
|
|
|
= |
5-100 + 2-150 + 100 = 900 мВ. |
|||
Дисперсия переменной |
Y |
равна |
|
|
|||
Var {Y} |
= а\ Var {Xt} |
+ a\ Var {X2} |
= |
|
|
||
|
|
|
|
|
= а\ Var {et} + а\ Var {е2 }, |
||
Дисперсия |
расходомера |
равна |
|
З а р |
= 0,02-900, |
или ор=~, |
а* = ( у ) \ |
Далее, предполагая, что ошибка, вносимая расходомером, адди
тивно |
складывается |
с ошибкой у, |
получим |
|
||||
|
|
Л Т |
( Г 7 Л |
769 |
, 324 |
1093 |
D 2 |
, |
|
|
Var{Z} = |
T - + - r |
= — |
мВ2 |
|||
|
|
|
|
, |
/"ÏÔ93 |
33 |
|
|
так-что 3oz = |
33 мВ. Ошибка |
величины |
Z , выраженная в про |
|||||
центах, |
равна |
- ^ - - 1 0 0 = 3 , 7 % . |
|
|
|
|||
Если функциональная связь между переменными нелинейна, то, для того чтобы применить формулы (2.4.20) и (2.4.21) или (2.2.1г) и (2.2.9), предварительно необходимо линеаризовать функцию. Среднее значение и дисперсия, вычисленные для линеа ризованных выражений, являются приближенными и применимы лишь в малой окрестности выбранной точки, где функция заме няется линеаризованным выражением.
Основным аппаратом, используемым при линеаризации, являет ся разложение функции в ряд Тейлора относительно среднего значения или некоторого другого опорного значения в исследуе мой области. Разложение функции одной переменной / (х) в ряд
Тейлора относительно |
точки х = |
а |
имеет вид |
|
||
df(a) |
(х —а) |
ri2/ |
(а) |
(x —a)2 |
(2.4.22) |
|
/(*) = / ( а Н dx |
+ dx* |
2! |
||||
|
||||||
88 |
Глава 2 |
Линеаризация достигается отбрасыванием членов второго и более высоких порядков. Например, функция
У =е ~х
нелинейна, ее график изображен на фиг. 2.4.8. Если представ
ляют интерес |
малые значения х, т. е. |
значения х |
вблизи |
х |
= О, |
||
то |
экспоненту е ~х можно |
разложить |
по формуле |
(2.4.22) |
в |
ряд |
|
в |
окрестности |
точки х = |
0: |
|
|
|
|
е~х = 1 — х + ~ х 2 + . . . « 1 — X.
Общий метод линеаризации состоит в том, чтобы разложить'любую нелинейную функцию в ряд Тейлора относительно некоторого
О |
I |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
X |
|
|
|
Ф и г . |
2.4.8. |
|
График |
функции |
|
е~х. |
среднего или другого постоянного значения переменных и оста
вить в |
разложении лишь линейные члены. |
|
||||
Д л я |
функции |
нескольких |
переменных |
ряд Тейлора, |
оборван |
|
ный на |
членах |
первого |
порядка, имеет |
вид |
|
|
/ fail xZi |
• • • » %7і) |
/ (х^, Х2, . . ., Хп) ~Ь |
|
|
||
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
+ |
^ |
a/(*g,sj^ ... ,a&) ( ^ „ д ^ |
(2.4.23) |
|
|
|
|
і = 1 |
1 |
|
|
где нулевые верхние индексы обозначают опорную точку раз ложения.
|
Распределения |
вероятности |
и выборочная статистика |
89 |
||
Например, для функции двух переменных х и у, разложенной |
||||||
в ряд |
относительно |
значений х0 |
и у0, |
имеем |
|
|
/ (x, у) « |
/ {г* |
уо) + |
(*-*„) |
+ |
(у-уо). |
|
Следует |
иметь |
в виду, что частные производные здесь являются |
||||
некоторыми постоянными, которые вычисляются по соответствую щим выражениям, куда подставляются значения х0 и у0.
Так как функция линеаризована с помощью выражений (2.4.22) или (2.4.23), то среднее значение и дисперсия [в предположе нии, что случайные переменные независимы, так что можно-
использовать |
формулу |
(2.2.9а)] |
равны |
|
|
|
Ш{І(ХИ |
. . . , ' Х „ ) } « / « |
А ) |
+ |
|
|
|
|
|
+ 2 d f ( x |
î ' d x r x ° n ) |
Ш{(ХІ-ХТ)}, |
(2.4.24) |
|
|
|
|
і =1 |
дхі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71 |
|
|
|
|
V a r i / ^ , |
...,Xn)}«2 [дПх\х--'х°п)]2Уат{Хь}, |
(2.4.25) |
|||
где Xi, например, может быть выборочным средним значением Х І . Для частного случая, когда исходная функция имеет вид.
формула (2.4.25) |
переходит |
в |
|
Var {Y} « |
( i f )2 Var |
+ |
. . . 4- ( ^ f ) 2 Var {Xn}, |
что может быть |
записано в более |
привычном виде: |
|
Пример 2.4.6. Среднее значение и дисперсия нелинейной функции случайной переменной
Уравнение Ван-дер-Ваальса можно явно разрешить относи тельно Р следующим образом:
р _ |
nRT |
п*а |
где |
Р—давление |
(случайная переменная), |
п — число молей, |
V |
—объем |
(случайная переменная), а, |
Ъ — постоянные. |
