Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 596
Скачиваний: 2
902 Приложение Б
и если |
h х у 0 |
обозначить через Ь, то |
|
|
|
|||
|
|
|
|
е^* |
0 . . . |
0 |
|
|
У(<) = |
[ Ь І , h 2 , |
. . . , |
h n ] |
0 |
е*** . . . |
О |
h |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
О |
О . |
çXnt |
L b n J |
|
|
|
= |
Ъ1(?*% + |
Ъ2е**% |
+ . . . . |
+ h „ e ^ ' 6 n . |
(Б.6.19) |
|
Если корни %І комплексные, то, поскольку они являются комп лексно сопряженными, выражение (Б.6.19) можно преобразовать так, что оно будет содержать лишь действительные числа и функ ции синус и косинус.
Пример Б . 6 . 2 . Матричное решение систем дифференциальных уравнений
Решим уравнение у — Зу + 2у = е - ' с начальными условиями
у = 0 и у = 1 при t = 0.
Решение
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уі = |
У. |
«/г = |
У, г/з |
= |
• |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г/і |
= |
г/г, |
|
|
|
г/ь |
о = |
0, |
|
г/г |
= |
—2г/і + |
Зг/2 |
+ гу3, |
г/2. |
о = |
1» |
|
|
Уз |
= |
—Уз, |
|
|
|
Уз. |
о = |
1» |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
— 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
О |
|
|
|
Определитель |
матрицы |
(а—XI) |
равен |
|
|
|
|||
(О — X) |
1 |
|
|
О |
|
|
|
|
|
— 2 (3-Х) |
|
1 |
| = ( — 1 — 2 ) ( Л — 1 ) = 0 |
||||||
ОО ( — 1 - Я )
904 |
|
Приложение |
Б |
|
|
|
где %т |
q X ç-матрица (q — кратность |
корня): |
|
|||
|
> |
1 |
0 . . . |
0 |
0 1 |
|
|
! о хг 1 ... о |
о |
(Б.6.20) |
|||
|
О |
О |
О |
|
1 |
|
|
Хт |
|
||||
|
О |
О |
О |
О |
Хг] |
|
Когда все корни различны, матрицы %г |
сводятся к Хг. |
Используя |
||||
свойства |
матриц, можно |
показать, |
что |
|
||
|
|
|
|
І9-1 |
|
|
|
|
' |
Т |
( 9 - 1 )1 |
|
|
|
О |
1 |
t |
|
fArt |
(Б.6.21) |
|
|
|
|
( 9 - 2 ) ! |
|
|
|
О О О |
|
|
1 |
|
|
Исследование выражений (Б.6.18) и (Б.6.21) показывает, что решение уравнения (Б.6.7) будет содержать линейные комбинации произведений многочленов на экспоненты.
Пример Б . 6 . 3 . Случай кратных собственных значений Решим систему уравнений
УІ = |
Уг — |
У». |
УІ |
(°) = |
1. |
Уг = |
2Уг + |
У* |
Уг (0) = |
1, |
|
Уз = |
4г/і — 2г/2 + |
5г/3 , |
у3 |
(0) == —2. |
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
а = |
2 |
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
det |
(а - |
XI) |
= |
(2 - X)2 |
(3 - |
Я) |
0; собственные |
значения рав- |
|
ны 2, 2 |
и |
3. |
|
|
|
соответствующий X |
|
||
|
Собственный |
вектор hi, |
2, находится |
||||||
из |
уравнения |
(а — 21) hj = |
0: |
|
|
||||
|
|
Г — 2 |
1 |
— 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
h4 = 0, |
так что Ьі |
|
|
|
|
|
4 — 2 |
3 |
|
|
|
|
Математический аппарат 905
Так как корни совпадают, необходимо найти второй вектор, не
являющийся собственным, из |
уравнения |
|
|
||||||||
0 |
0 |
|
(а |
- |
21) h 2 |
= |
h „ |
h 2 = |
3 |
||
—r1 |
h 2 |
= |
2 |
, |
так что |
||||||
" — 2 |
1 |
|
|
|
|
• 1 " |
|
|
|
• "0" |
|
4 |
—2 |
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
Из уравнения |
( а — 3 I ) h 3 = 0 |
находим |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
'0 |
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
о- |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
- |
1 |
|
||
|
2 |
со |
1 |
|
|
]t r 1 |
|
— 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
2 |
1_ |
|
|
|
|
|
4 — 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
•2 |
1 |
|
CT |
|
|
|
|
|
- h _ 1 a h = |
0 |
2 |
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
3 |
|
|
Решение имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
у (t) = ea t y0 = he^'h^yo = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
- 1 |
0 |
о- |
|
,2t |
té ,2t |
0 |
|
1 |
0 |
- 1- |
|
2 |
3 |
1 |
|
|
,2t |
|
0 |
|
-2 |
1 |
1 |
_0 2 1_ |
|
|
|
|
„3t |
|
4 |
-2 |
_—2_ |
||
или |
|
|
|
|
|
'+ |
té,2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
г/г (*) |
= |
5e2t + 2te2t |
-4e3f |
|
|
||||
|
.Уг |
(t). |
|
2е*—4е3* |
|
|
|
|
|||
Если уравнения не являются однородными-, но неоднородные члены сами удовлетворяют однородным уравнениям, то такие уравнения можно привести к однородной системе, вводя допол нительные уравнения, которым удовлетворяют неоднородные чле ны. Рассмотрим систему уравнений вида
у = Ьу + f (х). |
(Б.6.22) |
Предположим, что функцию f (х) можно представить в виде линей ной комбинации cz из m функций z, удовлетворяющих диффе-
