Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 635
Скачиваний: 2
Статистический анализ и его применения 141
ветственно на Оі и ст2. Неравенство, аналогичное (3.4.4), имеет вид
2 1 n ( - J _ \ + „ l n . f | |
» |
.< |
І^У^ з.<2(хІ _и ) |
||
/ 1 _ В \ |
i=i |
|
0-2 |
|
|
Если величина р.^ неизвестна, следует принять |
|
|
S (хг-^)2^ s (хг-х)2 |
|
|
і=1 |
і=і |
|
и заменить и на п — 1 в верхнем и нижнем ограничивающих пре делах неравенства (3.4.5).
Можно провести и многие другие последовательные проверки,
которые описаны в литературе, |
приведенной в конце этой главы. |
3.5. П Р О В Е Р К А Г И П О Т Е З |
О Т Н О С И Т Е Л Ь Н О С Р Е Д Н И Х |
В табл. 3.5.1 собраны некоторые критерии, которые позво ляют сравнить среднее по ансамблю некоторого нового продукта (или некоторой переменной) со средним по ансамблю стандартного продукта (или переменной). При этом оказывается возможным определить: 1) отличаются ли эти величины и 2) превышает ли одна величина другую. В выбранных гипотезах стандартное среднее по ансамблю р,0 предполагается известным из прошлого опыта или других источников. (В последующих таблицах нулевым индексом будет обозначаться стандартное среднее, а отсутствие нулевого индекса будет означать среднее, подлежащее проверке.) После каждой проверки (третий столбец табл. 3.5.1) можно при
нять |
одно |
из следующих решений: |
1. |
Если |
неравенство оказывается справедливым, т. е. если |
вычисленная разность превышает правую часть неравенства,
гипотеза |
принимается. |
|
|
|
2. Если |
неравенство |
оказывается |
нарушенным, |
т. е. если |
вычисленная разность не |
превышает |
правую часть |
неравенства, |
|
то гипотеза |
отвергается, |
и маловероятно, что она верна. |
||
В справочнике Национального бюро стандартов [8] приведены детальные карты, упрощающие вычисление оперативных харак теристик каждого критерия, и даны таблицы, позволяющие уста новить объем выборки, необходимый для обнаружения разности с помощью каждого из критериев.
Правила принятия решения, приведенные в табл. 3.5.1, ниже иллюстрируются примерами.
142 |
|
|
|
Глава |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
3.5.1 |
К р и т е р и и д л я |
с р а в н е н и я |
среднего |
з н а ч е н и я |
нового продукта |
|
|||||
|
(или переменной) |
с некоторым |
стандартом |
[8] |
|
|||||
|
Стандартное |
|
Используемый |
критерий |
|
|
||||
Гипотеза |
|
проверки 1) (гипотеза |
Замечания |
|||||||
отклонение а |
|
принимается, |
если нера |
|||||||
|
|
|
|
венство |
удовлетворяется) |
|
|
|||
|
Неизвестно; |
исполь |
I Х |
~ И 0 І > |
h _ а / 2 |
Yn |
Двусторонний |
|||
|
к р и т е р и й |
t |
||||||||
И Ф Но |
зуется s и з |
выборки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ x - ^ \ > u i |
_ a l i |
y l |
Двусторонний |
|||||
|
Известно |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
к р и т е р и й |
U |
|
|
Неизвестно; |
исполь |
|
|
|
|
|
|
Односторонний |
|
|
|
|
|
|
|
|
к р и т е р и й |
t |
||
М > Но |
зуется s из |
выборки |
— |
|
|
ax |
|
Односторонний |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
Известно |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
к р и т е р и й |
U |
|
|
|
|
|
— |
|
|
SX |
|
Односторонний |
|
|
Неизвестно; |
исполь |
^ - X > t t |
_ a |
y - |
|
к р и т е р и й |
t |
||
|
зуется s из |
выборки |
|
— |
|
|
ax |
|
Односторонний |
|
|
|
|
н |
и |
^ |
|
||||
|
Известно |
|
- х > |
а у - |
|
к р и т е р и й |
U |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) В каждом случае находится значение t или U для выбранного уровня значимости а; число степеней свободы для t равно п — 1. Предполагается, что генеральная сово
купность имеет нормальное распределение.
Пример 3.5.1. Проверка гипотезы относительно среднего
Десять разных термометров сопротивления откалиброваны по стандартному, который показывал 1000 мВ . Ниже приведены показания этих термометров:
986 |
1002 |
1005 |
996 |
991 |
998 |
994 |
1002 |
983 |
983 |
Можно ли считать, что эти отклонения обусловлены нормаль ными вариациями случайной переменной — показаний в милли вольтах, или на их характеристики повлиял некоторый фактор (при транспортировке или изготовлении).
Статистический анализ и его применения 143
Решение
Испытаем гипотезу, состоящую в том, что среднее по ансамблю
показаний |
десяти термометров |
р. отлично от р 0 = 1000, |
выбирая |
||||||
в качестве |
Н0 первую |
гипотезу |
из табл. 3.5.1, а именно |
\і ф |
ц 0 . |
||||
Так как дисперсия ах |
неизвестна, |
нужно |
воспользоваться |
кри |
|||||
терием |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І ^ — Ы > |
* 1 - « / 2 -^7=- |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y п |
|
|
|
|
Выбирая а = 0,05, так что а/2 = 0,025, и |
* i _ a / |
2 = 2,26, |
можно |
||||||
подсчитать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х = ^ — і - = 994,0, |
|
|
|
|
||
|
|
sx |
= Л |
' |
= 64,9, |
|
|
|
|
|
|
|
ѵ = л — 1 = 9, |
|
|
|
|
||
|
|
|
| Х - і х 0 |
1 = |
6,0, |
|
|
|
|
«1-./2 t p f - - |
2,26 |
1 / 2 = 2,26-2,55 = |
5,76. |
|
|
||||
Так как 6 > |
5,76, |
можно сделать вывод, что для |
уровня |
||||||
значимости |
а = |
0,05 |
(но не для а |
= 0,01) |
гипотезу Я 0 |
следует |
|||
принять. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В табл. 3.5.2 приведены критерии проверки гипотез относи тельно средних по ансамблю двух продуктов (или переменных), для каждого из которых получена оценка по выборке. В этом
случае |
можно проверить: |
|
|
|
|
|
1. Отличаются ли средние значения каждого из продуктов |
||||||
(или переменных), не уточняя при этом, какое из них |
больше. |
|||||
2. Превосходит ли среднее значение продукта (или перемен |
||||||
ной) А |
среднее |
значение |
продукта (или переменной) |
В. |
||
Снова можно |
выделить |
подклассы |
критериев в |
зависимости |
||
от степени имеющейся информации |
о величине |
стандартного |
||||
отклонения измеряемой величины. Как и раньше, если вычислен ная разность оказывается больше правой части неравенства, то гипотеза принимается; в противном случае она отвергается.
Кривые оперативных характеристик и |
таблицы, |
позволяющие |
определить объем выборки для каждого |
критерия, |
можно найти |
в справочнике Национального бюро стандартов |
[81. |
|
Чтобы проиллюстрировать общую процедуру проведения про верки гипотез при сравнении двух средних, проследим в общих чертах, как используется первый из критериев табл. 3.5.2. Осталь ные критерии применяются аналогичным образом.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
3.5.2 |
|
К р и т е р и и |
д л я с р а в н е н и я средних значений д в у х |
продуктов |
|
|||||||
|
|
|
|
(или |
переменных) |
[8] |
|
|
|
||
|
|
Стандарт |
Используемый критерий |
|
|
|
|
||||
Гипотеза |
|
ные откло |
проверки 1) (гипотеза при |
Замечания |
|
||||||
|
|
нения |
нимается, если неравенство |
|
|||||||
|
|
для Л и В |
удовлетворяется) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
ОА « ОВ, |
| A \ A - Z B | > |
|
\(пл-1)*\ |
+ |
(пв-і)а*в- ] V . F |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
оба не |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
известны >h-a/2sp\ |
П а П |
в |
) |
V = «A + «в — 2 |
|
||||
|
|
°А ф о\в |
[ХА-ХВ\> |
|
|
|
і' —значение |
* ! _ а / 2 Д л я V |
|||
|
|
оба не |
> * ' ( А |
+ * |
) 1 |
|
степеней свободы, |
|
|||
f U Ф Ив |
известны |
Л |
(«y*A+«y*j»)a |
||||||||
|
|
ПА |
ПВ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
"A + l |
|
«B + |
l |
|
|
аА |
и о в |
\ХА-Хв\> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
известны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О"А « о-в , |
|
х А |
- х в |
> |
|
|
V - |
r ( « A - l ) s A |
+ ( « B - l ) s |
B |
l |
|||||||
оба не |
> ч - |
« ° |
|
( П |
|
|
|
) |
|
l |
„A+ |
|
rej3_2 |
J |
|
|||
известны |
Р |
А |
+ П |
в |
1 1 |
2 |
|
v = n A |
+ n B — 2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
V |
п А |
п |
в |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
°А |
0"в, |
|
ХА — ХВ^> |
|
|
г' |
— значение |
14 |
для |
|
V |
|||||||
оба не |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
степеней свободы, |
|
|
|
||||
Ѵл> Ив известны |
>*' |
( s |
i |
+ |
|
s % |
|
|
Y'2 |
|
|
(*і/»А + «Улв)а |
|
|
-2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(SA /"A)2 |
(4/лв)а |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
п в |
1 |
|
|
|
«А + 1 |
|
ПВ+1 |
|
|
|
|
|
|
|
Ѵ |
ПА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
аА |
и о в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
известны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ХА — ХВ^> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ПА |
|
|
ПВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Для получения выборок А и В проводится тгд и пв |
наблюдений; |
t берется для |
||||||||||||||||
-j- rig — 2 степеней |
свободы. s p и |
другие |
объединенные значения |
s обсуждаются |
||||||||||||||
в разделе 2.4.1. Предполагается, что генеральная совокупность имеет нормальное рас пределение.
