Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 633
Скачиваний: 2
Статистический |
анализ и его |
применения |
145 |
Предположим, что имеются выборки случайных переменных А и В, распределенных по нормальному закону с указанными ниже средними значениями и дисперсиями:
|
|
|
А |
|
в |
Выборочные |
значения |
ХАі, ХА^, |
%АПА |
^ в 4 . Хщ, |
Х В г І £ |
Среднее по |
ансамблю |
|
ц А |
|
\ів |
Дисперсия по ансамблю |
|
а А |
|
o ß |
|
Можно вычислить |
следующие |
выборочные статистики: |
|||
— |
|
1 |
П Л |
|
|
|
|
|
і=1 |
|
|
— |
|
1 |
П * |
|
|
|
|
|
і=1 |
|
|
|
|
|
|
ПА |
|
& = |
-Т7=тЪ |
|
(ХА-ХА)\ |
||
|
|
пА- |
|
і=1 |
|
|
|
|
|
|
|
^ = |
- ^ - г ^ ( х в - х в г , |
||||
|
|
п в - |
|
|
|
|
|
|
|
і=1 |
|
|
|
VA = |
пА |
— 1, |
|
|
|
ѵ Б |
= |
п в |
— 1. |
Выборочные средние |
ХА |
я X в |
распределены |
по нормальному |
||||||||
закону с параметрами |
(и.Л , оА/пА) |
|
и |
(ц.в , о-Упв ) соответственно. |
||||||||
Разность двух средних D = ХА |
— X в |
также |
распределена |
по |
||||||||
нормальному закону относительно значения Ô = |
и.А — ц,в |
с дис |
||||||||||
персией |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵаг{£} = |
- ^ - + - ^ - . |
|
|
(3.5.1) |
||||||
|
|
|
v |
' |
п А |
' |
n B |
|
|
|
v |
> |
Если sA |
значимо не |
отличается |
от s|, |
проверяются |
гипотезы |
|||||||
|
|
ц Л |
= р в |
и а\ та ав = оЛ |
|
|
|
|||||
Если эти гипотезы справедливы, то разность |
D = ХА |
— |
Хв |
|||||||||
распределена |
по нормальному |
закону |
относительно |
Ô = |
[іА |
— |
||||||
— u.B = 0 |
с |
дисперсией |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V a r { 0 H o " ( J L + |
1 L . ) . |
|
|
(3.5.2) |
||||||
146 |
Глава 3 |
Используя выражение (2.4.12), можно вычислить следующую оценку для о2 :
|
Ѵ А«А + V B S В |
|
|
|
|
|
|
4 = л, J . « |
Д л я |
ѵ = ѵ А + ѵ в = и А + п в —2. |
|||
|
Ѵ А + Ѵ В |
|
|
|
|
|
Таким |
образом, статистика |
|
|
_ |
|
|
|
* = • |
|
|
|
|
|
|
|
* B |
і |
/ |
1 4- |
1 |
|
|
|
|
|
l"A |
«В |
имеет |
^-распределение |
с ѵ = геА |
+ |
тгв |
— 2 степенями свободы. |
|
Если величина t значимо отлична от нуля, следует считать, что
И А Ф И В -
Пример 3.5.2. Сравнение двух средних
Два разных сорта бензина использовались для определения числа пройденных километров по шоссе на литр израсходованного бензина. Каждый сорт бензина (октановые числа 90 и 94) исполь зовался в пяти идентичных автопробегах по одному и тому же маршруту; были получены следующие результаты:
|
|
Октановые числа |
|
|
|
94 |
90 |
Выборочное |
среднее, км/ л |
22,7 |
21,3 |
Выборочное |
стандартное отклонение, км/ л 0,45 |
0,55 |
|
Различны ли |
эти сорта при уровне |
значимости а = 0,05? |
|
Если это так, то является ли бензин с октановым числом 94 значимо лучшим по сравнению с бензином с октановым числом 90?
Решение
Прежде всего проверим гипотезу, что [ І 9 4 Ф ^ І 9 0 . Предположим,
что сг9 4 « |
а 9 0 ; способ |
проверки |
этого предположения |
будет изло |
||||||||
жен |
в разд. |
3.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
I Y |
У | | ( |
|
о /І"94 + "90\ |
1 / |
2 |
|
||
|
|
|
|
\X9i-Xç)0\>ti-a,2Sp[ |
|
П ы П з |
о |
|
) |
, |
|
|
|
|
|
|
( ^ 4 + n 9 0 S l / 2 ^ / 5 + 5_n/2 = |
|
|
|
|
|
|||
|
|
S p = |
[ |
4.(0,45)11+4.(0,55). |
= { ^ 2 |
) |
m = |
^ |
|
|||
|
|
|
|
|
h-a/2 |
= 2,306, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = 5 + 5 —2 = 8, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
I X M |
- X e o |
I = 22,7-21,3 = |
|
1,4, |
|
|||
|
|
|
|
|
2,306-0,50.0,632 = 0,73. |
|
|
|
|
|||
Так |
как |
1,4 > |
0,73, |
гипотеза |
принимается |
|
и |
(л9 4 Ф |
| І 9 О . |
|||
Статистический анализ и его применения 147
Затем проверим гипотезу, утверждающую, что |
u^4 |
> Иэо, |
||
по-прежнему предполагая, что а 9 4 « |
од0. |
|
|
|
( Л 9 4 — Ä 9 0 ) > t i - a S p \ |
„ 9 4 „ 9 0 |
) . |
|
|
•Х94—Х90 = 1)4, |
|
|
|
|
ti-aSp ( - Щ - ) 1 / 2 = 1,860-0,50.0,632 = 0,59. |
|
|
||
Эта гипотеза тоже принимается. |
|
|
|
|
Все рассмотренные до сих пор критерии |
опирались |
на |
опре |
|
деленные предположения о характеристиках |
исследуемых случай |
|||
ных величин. Конечно, на практике некоторые или даже все эти предположения могут оказаться неверными. При этом для одних критериев отклонения могут быть более серьезными, чем для дру
гих. Те критерии, |
которые |
относительно менее чувствительны |
|
к отклонениям от |
предполагаемых характеристик, |
называются |
|
устойчивыми. Так как в каждом критерии используется |
несколько |
||
предположений, устойчивость |
критерия оценивается по раздель |
||
ному влиянию отклонений от нормального закона, независимости, равенства дисперсий и случайности.
Основополагающими предположениями для критерия t являют ся: 1) измеряемые случайные переменные распределены по нор мальному закону и 2) выборки являются случайными. Решение, принимаемое на основе критерия t (и других критериев), зависит, и иногда критически, от степени приближения эксперименталь ных условий к предполагаемым.
Влияние отклонения от нормального закона на критерий t Стыодента изучалось и иллюстрировалось многими исследовате лями. Согласно грубому эмпирическому правилу, критерий t, используемый при сравнении средних, относительно нечув ствителен к отклонениям исследуемой случайной переменной от нормального закона распределения.
Уолш [9] исследовал влияние отклонений от случайности выборки на критерий t Стыодента при большом числе наблюде ний. Было найдено, что даже небольшое отклонение от предпола гаемой случайности приводит к существенным изменениям уровня значимости и доверительной вероятности. В этой работе описаны модифицированные критерии, нечувствительные к условию слу чайности выборки. В разд. 3.7 обсуждаются критерии, которые можно использовать вместо критерия Ï.
3.6. П Р О В Е Р К А Г И П О Т Е З Д Л Я Д И С П Е Р С И Й
Цель этого раздела состоит в том, чтобы описать некоторые критерии, позволяющие принять определенное решение относи тельно дисперсии некоторого продукта (или переменной). В соот-
Таблица 3.6.1
Сравнение д в у х продуктов (или переменных) по и х дисперсиям [8]
Гипотеза
0-2 = 0g
О 2 > 0 §
0 - 2 < 0 §
а 2 - о 2 M
Используемый критерий |
|
Число степеней |
||||
|
свободы |
|||||
|
|
|
|
|
||
* а - 2 ^ |
|
|
<°2о<*2-^— |
|
V = n— 1 |
|
Xl - |
œ/2 |
|
X œ /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵ = |
и — 1 |
|
|
|
Х а |
|
|
|
s 2 |
2 |
V |
> oj |
|
V = w — 1 |
|
|
Xl |
- |
ce |
|
|
|
|
î |
|
|
4 |
ѴІ = |
Л А — 1 |
|
|
|
< |
< |
||
|
|
|
v 2 = |
n B — 1 |
||
^ і - а / г ^ В - 1 ' "A - l ) |
4 |
|
|
|||
< F i - a / 2 ( " A - l . ^ - 1 ) |
|
|
|
|||
0 2 > а 2 2 ) |
- ^ - > ^ ! _ a (Vi,V2 ) |
V l = n A — 1 |
|
|
S B |
|
V 2 = W B — 1 |
1) Альтернативная гипотеза |
Ф а' |
|
|
|
2 |
' |
|
2) Альтернативная гипотеза |
= о" |
|
|
|
Решение |
|
|
|
Замечания |
|
|||
Е с л и |
неравенства с п р а |
Двусторонний |
|
крите |
|||||
ведливы, |
|
гипотеза |
рий |
X2 |
|
|
|
||
п р и н и м а е т с я |
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
проверяемое |
не |
Односторонний |
|
крите |
||||
равенство |
справедли |
рий |
X2 |
|
|
|
|||
во, |
гипотеза |
прини |
|
|
|
|
|
||
мается |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е с л и |
проверяемое |
не |
Односторонний |
|
крите |
||||
равенство |
справедли |
рий |
X2 |
|
|
|
|||
во, |
гипотеза |
п р и н и |
|
|
|
|
|
||
мается |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е с л и |
неравенства |
спра |
Двусторонний |
критерий |
|||||
ведливы, |
|
гипотеза |
F. |
Заметим, |
что |
||||
принимается |
|
|
ше |
_ а / |
всегда мень |
||||
|
|
|
|
|
единицы, |
следова |
|||
|
|
|
|
|
тельно, |
н у ж н о |
прове |
||
|
|
|
|
|
рить только |
ограниче |
|||
|
|
|
|
|
ние |
сверху |
|
|
|
Е с л и |
неравенство |
спра |
Односторонний |
|
крите |
||||
ведливо, |
|
гипотеза |
рий |
F |
|
|
|
||
п р и н и м а е т с я |
|
|
|
|
|
|
|
||
Статистический анализ |
и его применения |
149 |
ветствии с предыдущим разделом, |
используя %2 -распределение, |
|
уже описанное в разд. 2.3.2, можно проверить, отличается ли дисперсия по ансамблю нового продукта (или переменной) от стандартной дисперсии по ансамблю случайной переменной и какая из них больше. Для двух продуктов (или переменных) А и
В с |
помощью .F-распределения отношения |
дисперсий, |
рассмот |
|||
ренного в разд. 2.4.3, |
можно проверить, |
отличается |
ли |
диспер |
||
сия |
по ансамблю А |
от дисперсии В |
и |
превышает |
ли ее. |
|
В табл. 3.6.1 нулевым индексом обозначена стандартная |
дисперсия, |
|||||
тогда как у дисперсии, подлежащей проверке, индекс |
отсутствует. |
|||||
Эти критерии основаны на предположении, что наблюдения случай ны и распределены по нормальному закону. Решение принимается на основе критерия, приведенного во втором столбце табл. 3.6.1. Кривые оперативных характеристик и таблицы для определения объема выборки приведены в [8].
Для иллюстрации того, как формулируются критерии, рас смотрим критерий F из четвертой строки табл. 3.6.1. Выдвинем гипотезу, что а\ = а\, т. е. о\Іа\ = 1, и используем отношение выборочных дисперсий, чтобы проверить, является ли величина C T J / O J большей или меньшей единицы. Если гипотеза верна, то область принятия гипотезы для симметричного случая определяет ся вероятностным соотношением
Р {/"а/2 ( Ѵ І , Ѵ 2 ) < | - < Л - а 7 2 К |
Ѵ |
8 ) } = 1 — а . |
|
Так как Fa/2 (vt , v2 ) = ilFi-a/z (v2 , vt ) < |
1, левая часть |
нера |
|
венства в аргументе всегда удовлетворяется, |
и необходимо |
только |
|
проверить, действительно ли s\ls^ ^ -Fi-«/2-
Пример 3.6.1. Проверка гипотезы для дисперсии
Спроектированы и введены в действие две одинаковые опытные установки для данного процесса. Ниже приведены первые десять партий полученного продукта на каждой из установок
|
Установка А (кг) |
Установка В (кг) |
|
97,8 |
97,2 |
|
98,9 |
100,5 |
|
101,2 |
98,2 |
|
98,8 |
98,3 |
|
102,0 |
97,5 |
|
99,0 |
99,9 |
|
99,1 |
97,9 |
|
100,8 |
96,8 |
|
100,9 |
97,4 |
|
100,5 |
97,2 |
X |
99,9 |
98,1 |
s\ |
1,69 |
1,44 |
