Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 636
Скачиваний: 2
150 Глава 3
Являются ли дисперсии продуктов, полученных на двух установ ках, значимо отличными друг от друга?
Решение |
|
|
|
|
Гипотеза Н0 состоит в том, что аА |
= ав. |
Дл я каждой |
установ |
|
ки число степеней свободы равно 9. Дл я проверки |
гипотезы, |
|||
указанной в четвертой |
строке табл. 3.6.1, составим отношение |
|||
дисперсий |
|
|
|
|
Из табл. В.4 приложения |
В для а = |
0,05 |
находим FQ,g.^ (9, 9) = |
|
= 4,03; следовательно, гипотеза принимается и разница диспер сий для двух установок незначима.
Пример 3.6.2. Комбинированные критерии для дисперсии и сред него
В каталитическом реакторе распределение выходов продукта при использовании катализаторов А и В характеризуется сле дующими данными:
Катализатор А |
Катализатор В |
||
Х А = 1 , 2 1 9 |
Z B |
= 1,179 |
|
4 = 0 , 2 0 8 |
s | |
=0,19 3 |
|
s A |
= 0 , 4 5 6 |
sB |
=0,43 9 |
n A |
= 1 6 |
п в |
= 1 5 |
В качестве первой гипотезы примем, что cri = (Ув- Чтобы при менить критерий из четвертой строки табл. 3.6.1, вычислим отно шение дисперсий
|
|
|
SA |
0,2080 •=1,08. |
|
|
|
||
|
|
|
|
0,1930 |
|
|
|
|
|
|
Из табл. В.4 приложения В для а |
= |
0,05, ѵ А |
= пА — 1 = |
15 |
||||
и |
ѵ в = пв |
— 1 = |
14 находим значение Fi-a/2 |
(15, 14) = |
2,95. |
||||
Таким образом, гипотеза принимается и можно |
считать, |
что |
аА |
||||||
|
отличается значимо от |
ов. |
|
|
|
|
|
||
|
Теперь |
можно |
объединить выборочные дисперсии: |
|
|
||||
|
Sriр ~ |
(nA—l)sA+(nB~i)s% |
15.0,208+14-0,193 |
0,201, |
|
||||
|
n A - l |
+ n B - l |
~~ |
1 5 + 1 4 |
|
||||
|
Разность между выборочными средними |
|
|
|
|||||
|
|
|
D = 1,219 |
— 1,179 |
= |
0,040, |
|
|
|
а |
из соотношения |
(3.5.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵ аг{2>>*4 |
(ігГ+^г) =0,201 |
+ |
=0,026. |
|
|
|||
Статистический анализ и его применения 151
Так |
как о\ |
« |
С У ^ , |
М О Ж Н О |
использовать |
критерий, |
указанный |
|||
в табл. |
3.5.2, |
для |
проверки гипотезы^,р,Л ^=^р,в . |
|
|
|||||
|
ХА — XB\>ti-aßSP |
( |
"i^nT |
) 1 / 2 ' |
Ѵ = И А Ч - Л В |
—2, |
||||
|
0,040> 2,045-0,201 ( - ^ ) 1 7 2 , |
ѵ = 29, |
|
|
||||||
|
0,040 > |
0,145. |
|
|
|
|
|
|||
Так как 0,040 < |
0,145, гипотеза цА |
Ф ц в |
отвергается |
и можно |
||||||
заключить, что |
\іА |
= |
ц в . |
|
|
|
|
|
||
Критерий |
F |
применяется |
при |
сравнении^двух |
дисперсий. |
|||||
Для обнаружения разницы двух и большего числа дисперсий широко используется критерий Бартлетта. Бартлетт предложил критерий проверки однородности (гомогенности) двух и большего числа дисперсий, заключающийся в сравнении логарифма средней дисперсии с суммой логарифмов отдельных дисперсий. Формулы, необходимые для применения этого критерия, основаны на гипо
тезе |
Н0\ |
о\ |
= а\ |
= . . . = On = |
о 2 |
и предположении, что изме |
|||||||
ряемые переменные распределены по нормальному закону. |
Кри |
||||||||||||
тические пределы такие же, что и для критерия F, за тем исключе |
|||||||||||||
нием, что здесь используется п выборок. Если проверяемая |
гипо |
||||||||||||
теза |
правильна, |
то объединенная |
оценка |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 M |
|
|
|
2 ( p i - l ) s î |
(3.6.1) |
||||
|
|
|
|
і =n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=i |
|
t=i |
|
|
|
|
|
|
|
(где |
pi—число |
повторений |
в |
выборке) |
распределена |
как s2 |
|||||||
со |
средним |
значением |
о 2 |
и |
ѵ степенями |
свободы, |
где |
ѵ = |
|||||
|
71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= S ѵі- |
Бартлетт показал, |
что |
величина |
|
|
|
|
||||||
і=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = - 4 - J |
|
V, In 4 - |
|
|
(3-6-2) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
і=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 ѴІ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
І с |
— 4 + |
3 ( п —1) |
п |
) ' |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
і = 1 |
|
i2=l |
ѵ' |
|
|
152 Глава 3
примерно подчиняется ^-распределению |
с п — 1 степенями сво |
||||||||
боды. |
Дл я больших значений |
ѵг |
величина |
с « |
1. |
||||
Д л я |
частного случая, когда |
все ѵг- равны, |
так что |
||||||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
t-^-nVi |
( i n s 2 |
- - ^ 2 |
l n s |
i ) |
' |
(3.6.3) |
|
где с = |
1 + [(re -г 1)/3пѵг ]. |
Если |
значение |
%2, вычисленное по |
|||||
формуле |
(3.6.2) или (3.6.3), превышает значение Хі-« Д д я ге — 1 |
||||||||
степени |
свободы, то испытываемая |
гипотеза, |
утверждающая, что |
||||||
а\ = |
а\ |
= . . ., отвергается. В |
работе Хальда |
[7] |
обсуждаются |
||||
некоторые дополнительные возможности и ограничения приме нения критерия Бартлетта, из которых наиболее существенным и критичным является требование, чтобы наблюдения были рас пределены по нормальному закону.
Пример 3.6.3. Критерий непостоянства а 2
Было проведено десять повторных измерений потерь при кор розии Y для четырех различных по количественному составу сплавов X. Результаты приведены в табл. П.3.6.3 и на фиг. П.3.6.3.
Таблица П.3.6.3
Результаты экспериментов по измерению потерь при коррозии
г |
х і |
Vi |
YH |
Yi2 |
Yis |
YU |
|
1 |
1,28 |
10 |
6,34 |
6,36 |
6,41 |
6,42 |
6,80 |
2 |
1,30 |
10 |
5,95 |
6,04 |
6,11 |
6,31 |
6,36 |
3 |
1,40 |
10 |
5,23 |
5,27 |
5,32 |
5,39 |
5,40 |
4 |
1,48 |
10 |
4,55 |
4,65 |
4,68 |
4,68 |
4,72 |
г |
YU |
Yn |
YiS |
Yi9 |
YH0 |
Y i |
4 |
1 |
6,85 |
6,91 |
6,91 |
7,02 |
7,12 |
6,71 |
0,091 |
2 |
6,52 |
6,60 |
6,62 |
6,64 |
6,71 |
6,39 |
0,076 |
3 |
5,52 |
5,52 |
5,53 |
5,60 |
5,78 |
5,46 |
0,020 |
4 |
4,73 |
4,78 |
4,78 |
4,84 |
4,86 |
4,72 |
0,009 |
Чтобы убедиться, являются ли дисперсии при различных зна чениях Xt одинаковыми (однородность дисперсий), можно прове сти некотопое испытание, использѵя кпитепий Бяптлеття. Если
Статистический |
анализ и его |
применения |
153 |
величина Л превышает значение %2, найденное по таблицам при ложения В для данного значения а, то гипотеза Н0 о том, что
7,50
•
|
7,00 |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6,50 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
600 |
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
550 |
_ |
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
Эксперименталбные |
S |
|
|
|
|
|
|
||
|
5,00 |
• |
точки |
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
- -У,- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
450 |
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
• |
1 |
|
|
|
|
|
|
130 |
|
IAO |
|
|
|
1,50 |
|
|
Ф и г . П . 3 . 6 . 3 . Результаты экспериментов по изучению коррозии для |
сплавов . |
||||||||||
дисперсии |
одинаковы, отвергается. Здесь |
n = |
4, p t |
= 10, |
2 Р г |
= |
|||||
= 40, Vi = pi — 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
<=1 + и ( і і - ^ Ч = i ( 4 4 ) -*. |
|
||||||||||
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
(Pi - 1 ) *! = |
40^4 |
|
2 9s* « °'0 4 9 ' |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 P i — и |
i=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л : |
- 2 ^ |
|
l Q ^ = - 9 2 l n ô W « 1 5 , 3 . |
|
|
|||||
|
|
i=l |
|
|
i = l |
|
|
|
|
|
|
При a |
= 0,05 |
и числе степеней свободы n — 1 = |
3 значение |
у? |
|||||||
из таблиц равно 7,81; таким образом, гипотеза о равенстве диспер сий для различных Xt отвергается. На фиг. П.3.6.3 показано, как изменяется дисперсия в зависимости от X.
