Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 594
Скачиваний: 2
44 |
Глава 2 |
|
|
расчеты лишь |
для т > 0 из-за |
свойств симметрии этих |
функций. |
Взаимные корреляционные функции используются при анали |
|||
зе процессов в следующих целях: |
|
||
1. Проверка статистической |
независимости двух случайных |
||
функций. |
|
|
|
2. Оценка |
импульсной и частотной характеристик |
системы |
без подачи импульса или синусоидального сигнала на вход про цесса (гл. 12).
3. Предсказание величины ошибок времени запаздывания в ста ционарных процессах при контрольных замерах (взаимная корре ляционная функция для линейных процессов будет иметь макси
мум при разности времен, |
равной |
времени прохождения сигнала |
|
в системе). |
|
|
|
4. |
Оценка амплитуд и |
фурье-компонент величин, искажен |
|
ных |
некоррелированным |
шумом |
и (или) другими сигналами. |
[Шум не дает вклада в rXY |
{%).] |
|
|
5. |
Определение путей прохождения входного сигнала по боль |
шой линейной системе (в коррелограмме каждому пути соответ ствует отдельный максимум).
Пример 2.2.4- Среднее значение и автокорреляционная функция случайной переменной в обыкновенном линейном дифференциальном уравнении
Модели многих процессов, особенно относящиеся к управле нию, описываются обыкновенным дифференциальным уравнением порядка п
ап |
У<»>(*) + |
У 0 " " 1 ' (t) + . . . |
+ |
a0Y |
(t) |
= |
X (t), |
t > |
0, (a) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
(t) |
— случайная |
переменная |
на |
входе |
системы; |
|
|
||||
Y |
(t) |
— случайная переменная на выходе системы, обусловлен |
||||||||||
ная переменной X |
(t); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Y m |
|
(t) = |
— производная |
степени |
п от Y (t); |
|
|
|||||
at |
— постоянные, |
не являющиеся |
случайными величинами. |
|||||||||
В начальных условиях также присутствует элемент случайно |
||||||||||||
сти: |
|
у<п-і, |
(0) = |
y-cn-2, (g) = |
_ _ |
|
у |
(0) |
= 0. |
|
(б) |
|
|
|
= = |
|
|||||||||
Предположим, |
что требуется |
по известным |
данным |
на |
входе |
и выходе |
системы найти среднее значение Y (t) и ее автокорреля |
|
ционную |
функцию, |
поскольку плотность распределения вероят |
ности Y |
не известна. Вычисляя математическое ожидание от обе |
|
их частей |
уравнения |
(а) и равенств (б) и используя (2.2.1), полу- |
Распределения вероятности и выборочная статистика 45
чаем
|
|
а п ^ У ( п ) -Ь |
an-iVY(n-i) |
+ |
• • • |
+ |
ao^Y |
= |
Mot. |
(в) |
|||
|
|
]iro^i) |
(0) |
= |
Цу(п-2) (0) = |
. . . |
= |
[iy (0) |
= |
0, |
(г) |
||
|
|
fV»> |
(*) |
= |
ЦУ^ (t)}, |
iix (t) |
= |
ЦХ |
(t)}. |
|
|||
Уравнения |
(в) и |
(г) |
являются |
детерминированной |
моделью |
для |
|||||||
PY и |
дают искомое решение для |
цТ: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Цу (t) |
= CtUt |
(0 |
+ |
C2[l2 (0 + |
• |
• • + |
С„(ХП (0 |
+ |
|
Цр (*), |
(д) |
|
где |
(iip (t) |
— частное |
|
решение |
неоднородного |
уравнения |
(в), |
а остальные члены правой части равенства (д) представляют собой общее решение соответствующего однородного уравнения. Сле довательно, если заданы математическое ожидание переменной X (t) и значения коэффициентов в уравнении (в), можно найти
детерминированное решение моделей, |
представленных |
уравнения |
||||||||||||
ми (в) и (г). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя |
определение |
автокорреляционной |
функции |
|||||||||||
|
|
гхх |
h) |
= ЦХ |
(U) X |
(t2)}, |
|
|
|
|||||
можно показать, |
что |
|
|
дгхх |
(h, |
h) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гх-X'ih, ts)= |
|
|
gh |
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tx-z- (h, |
h) = |
g 2 r |
g ^ ' |
t z ) |
= |
% {X' |
(tt) |
X' |
(t2)}. |
(e) |
||||
Д л я стационарного |
процесса rXx |
(hi |
h) |
— ?xx |
(т) |
и |
|
|
||||||
|
|
|
|
гхх- О 0 = — 3 7 - » |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
DRXX> |
( Т ) |
|
<Prxx |
( 1 ) |
|
|
|
|
|
Вообще |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гхшу<т> |
{h, |
t2) |
= % |
<PX(ti) |
dmY(t2) |
\ |
_ d ^ r X Y ( h , |
Ч) |
||||||
\ ~ Щ |
|
dtf |
|
J |
|
dt? |
dtp |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Автокорреляционную |
функцию |
r r r |
(ti, |
t2) |
для |
Y |
(t) теперь |
можно получить следующим образом. Сначала умножим уравне
ния (а) и (б) |
для |
t = |
t2 на |
X |
(ti): |
|
|
|
|
|
X (h) [anY™ |
( г 2 |
) . + . . . |
+a0Y |
(t2)] |
= |
X (h) |
X (t2), |
(ж) |
||
X |
(h) |
Y<n-» |
(0) |
= |
. . . = |
X (h) |
Y |
(0) = |
0 |
(з) |
46 Глава 2
и вычислим почленно, используя свойство (2.2.16), математическое
ожидание |
от обеих частей |
этих |
равенств. В |
результате получим |
||||||||
„ d n r X Y |
h) |
, „ |
d^rxYJh, |
t2) |
|
, |
• |
|
|
|
|
|
ö n |
|
v a n |
- x |
Щ=і |
|
г • • |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
• ••+а0гХг(к, |
h) = |
rxx(ti, |
h), |
(и) |
|||
|
|
^ Х ? 1 ' |
0 ) |
=-..=rXY(tu |
0) = 0. |
|
(к) |
|||||
Уравнение |
(и) |
представляет |
собой |
обыкновенное |
дифференци |
|||||||
альное уравнение |
для |
rXY |
(tu t2) |
с независимой |
переменной |
tz |
||||||
и параметром |
|
Таким |
образом, |
при |
условии что автокорреля |
|||||||
ционная |
функция |
гXX (ti, |
t2) задана, уравнения |
(и) и |
(к) можно |
использовать для вычисления взаимной корреляционной функции
RXY (tu t2).
Затем умножим уравнения (а) и (б) для t = ti на Y (t2):
KY™ (*,) + . . . |
+aQY |
(t,)) |
Y |
(t2) |
= |
X |
(h) |
Y |
(t2), |
(л) |
y<»-i> (0) Y |
(t2) = |
. . . |
= |
Y |
(0) |
Y |
(t2) |
= |
0 |
(m) |
и снова вычисляя математическое ожидание от обеих частей»
получаем |
обыкновенное |
дифференциальное |
уравнение |
для |
||||||||||||
гYY |
(tu |
t2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дПгуу |
(h, |
h) |
, д |
g " - V y y |
(tj, t2) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||
U n |
Ш? |
|
+an-i |
щ=і |
|
1- • • • |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
+ аоГгу (tu |
|
t2) = rXY |
(h, |
h), |
( H ) |
||
|
|
|
|
g " - l r y y ( 0 , t2) |
|
|
|
,n |
|
n |
|
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= . . |
. = r y y ( 0 , |
h) |
= U. |
|
|
(0) |
||
|
Д л я того |
чтобы |
найти |
r Y Y (tu |
tùi |
нужно |
решить |
уравнения |
||||||||
(и) |
и (к) |
для |
rXY |
(ti, t2), |
предполагая, |
что |
функция |
г х х |
(ti, |
t2) |
||||||
известна, |
затем |
подставить |
результат |
в |
правую часть |
уравнения |
(н), которое после этого можно разрешить относительно искомой
функции r Y Y (tu |
t2) с учетом условия (о). |
В качестве |
примера использования полученных соотношений |
рассмотрим следующий процесс. Пусть в резервуар с устройством для перемешивания жидкости, изображенный на фиг. П.2.2.4, поступает раствор, концентрация которого представляет собой броуновскую случайную величину (пример 2.2.1). Д л я этого слу чая уже вычислялись среднее значение, дисперсия и автокорреля ционные функции. Следовательно, можно записать
ЦС0 |
(t)} = |
0, |
|
Ш{[С0 (h) - 0] [Со (t2) - |
0]} = |
гСос0 (к, h) = ah, |
(п) |
где а — параметр в плотности распределения вероятности для С0.
Распределения |
вероятности |
и выборочная |
статистика |
47 |
Уравнения (и) и (к) для этой модели принимают вид
drc0c (fî* |
гг) |
rc0c(ti, |
t2) = rCQc0(ti, |
h); |
|
dt-. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
rcoCoih, |
h) = atu |
rCoc(h, |
0) = |
0 |
и имеют следующее решение:
|
|
rc0c{tu t2) = |
aLti(l |
— e-b'f)t |
|
(p) |
|||
где t* |
= VIF. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения |
(н) и |
(о) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rfî^ |
>Г с с " і ' |
Гг) = |
гс0 с |
( Î I , |
*г), |
|
|
имеют |
решение |
|
гсс(0, |
іа ) = 0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
r c c |
( * i , fe) |
= |
a ( l - e - ' « / ' * ) |
( e - * |
i / * |
* _ l _ J L j . |
( с ) |
Таким образом, автокорреляционную функцию случайной функ ции на выходе резервуара можно вычислить даже в том случае,
Вход |
|
|
|
|
|
Выход |
|
|
|
|
V |
|
|
Ф и г . П . 2 . 2 . 4 . |
Модель |
аппарата |
полного |
перемешивания: |
||
V ~ |
= FCo |
- FC, |
С (0) = |
0, |
||
где Со — к о н ц е н т р а ц и я |
на |
входе, |
с л у ч а й н а я величина; С — т е к у щ а я к о н |
|||
ц е н т р а ц и я , с л у ч а й н а я величина; |
F — скорость подачи; V — объем ж и д к о с т и . |
если плотность распределения вероятности для этой функции не'известна.
2.2.5. Ковариация |
и коэффициент |
корреляции |
Исследователю часто |
требуется качественно, а если можно, |
то и количественно оценить, существует ли между двумя вели
чинами некоторая |
связь. Например, увеличивается ли давление |
в реакторе, если |
увеличить мощность. Если известно совместное |
распределение вероятности для двух величин, можно вычислить
некую меру |
линейной зависимости между ними, называемую |
||
коэффициентом |
корреляции. |
При |
этом безразлично, являются |
ли эти величины зависимыми |
или |
независимыми. |
48 Глава 2
Взаимной |
ковариационной |
функцией, |
|
или ковариацией (сокра |
|||||||
щенно |
Соѵ), двух |
случайных |
функций |
|
X (t) |
и Y |
(t) называется |
||||
функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Охт (tu |
h) |
= |
ЦІХ |
(t,) - Цх (ti)} |
lY |
(t2) |
- |
\iY |
(t2)]} |
= |
|
|
OO |
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
j |
j |
(x — Цх) (y — Цг) p |
(X, |
y, |
tu |
t2) |
dx dy. |
(2.2.13) |
—o o — o o
Дл я стационарного ансамбля
|
|
°хт (т ) = |
rxr |
(т) — |
|
(2.2.13а) |
|
Так |
как величина |
ковариации |
зависит от |
единиц измерения X |
|||
и Y, |
можно ввести две нормированные (безразмерные) |
переменные |
|||||
|
|
Х —Ѵх |
|
„ |
Y — ixy |
|
|
|
|
о х—(0) - |
и |
|
Оу(0) |
' |
|
где |
аргумент (0) |
означает |
т = |
0. |
Коэффициентом |
корреляции |
для стационарного ансамбля называется ковариация этих двух нормированных переменных
Д л я некоррелированных величин X и Y их ковариация и коэф фициент корреляции равны нулю. Если І и У независимы, их кова риация и коэффициент корреляции также равны нулю; обратное
Ф и г. |
2.2.4. Коэффициент |
к о р р е л я ц и и |
|
H его |
экстремальные |
и |
нулевое з н а |
|
чения пр и ах |
= |
су- |
X |
|
|
|
утверждение, однако, несправедливо, т. е. если pXY |
= |
0, то X и У |
|
не обязательно независимы (хотя это и возможно). |
Например, |
две случайные величины, каждая из которых распределена по нор мальному закону, могут быть некоррелированы, но зависимы друг от друга; для того чтобы они были независимы, их совместное распределение должно быть нормальным. Попарной независимости многих случайных величин, входящих в разные наборы, недоста точно для независимости этих наборов.
Коэффициент корреляции позволяет оценивать ме_ру линейной
связи между двумя величинами при помощи одного |
числаГТГоло- |
жительная корреляция означает, что величина oXY |
положительна |