Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Распределения

вероятности

и выборочная статистика

37

Ш{Х (t)} = ІІх (t) = 0.

(в)

о о

g { X 2 ( 0 } = (

e~*y2atdx = at.

(г)

38

Глава 2

dZB + aY(t)=X(t),

У(0) = 0

правилу

(2.2.16):

*ë{Y(t)} +

а Ш { у щ ^ Ш { Х { Щ ,

%{Y(0)}

=

0.

Если

обозначить

цу (t) = ${Y (і)} и

положить

цх

— Ш{Х (t)}

ное обыкновенное дифференциальное

уравнение

i u | î î L + f l n T ( 0 = l i Z ,

М 0 )

= 0.

(а)

Решение уравнения

(а)

имеет

вид

Ы * )

=

т

Ч

і

(

б

)

Это обычное детерминированное

решение,

которое приводится

в

пособиях

по

дифференциальным

уравнениям

и

анализу

детер­

минированных

процессов.

2.2 2.

Автокорреляционная

функция

Автокорреляционная

функция

случайной

функции

X

(t),

rxx

(tu

t2),

характеризует

зависимость значений

функции X

(t)

в

некоторый момент

времени

от

ее

значений

в

другой

момент

времени:

= Ш{Х (h)

rxx (h,

h)

X

(h)}

=

СО

со

=

1

1 ХІХІР

(хи

tu

tz)

dxidx2-

(2.2.5)

Заметим, что r x x {tu

t2)

ОО — O Û

не

является

случайной

функцией

и

для

обозначения еѳ принято использовать строчную латинскую

букву

(а не греческую). На

фиг. 2.2.1

изображены

автокорреляционные

-

tu

. r x x

(tu

t2)

= r x x (т) = ЦХ

(t+T)X

(t)}

=

со

oo

= r x x (—т) =

j

j

xtx2p

(ХІ, x2) t) dxi dx2.

(2.2.6)

— o o

— o o

Автокорреляционные функции r x

x (т) и r x

x (—т) являются четны­

ми функциями т.

Функция называется стационарной

в

широком

смысле слова

(или слабо

стационарной),

если

она удовлетворяет

следующим

двум

требованиям:

Ш{Х (t)} =

\іх,

(2.2.7а)

Ш{Х (t +

т) X (0} = г „ (т),

(2.2.76)

где U.JC — некоторая постоянная, а г х х

зависит только от t2

— ti =

— т. Если

случайная функция, которая может быть описана нор­

ад tu

ü>=4a

ѵ м ^ - е х р [ - ^ -

2 ^ т ^ ]

-

<а>

Заметим, что, так как величины X (£4) и X

(t2) не являются

неза­

висимыми,

произведение

плотностей распределения

вероятности

первого порядка не совпадает с выражением (а).

r x x

(tu t2)

Однако

вместо

того,

чтобы вычислять

величину

удобнее

воспользоваться тем свойством броуновской

частицы,

что изменения ее положения за два неперекрывающихся

интервала

времени

оказываются независимыми, хотя сами величины X (ti)

и

X

(t2)

являются зависимыми. В частности,

величины

X (ti)

и

[X

(t2)

— X (tj)] независимы. Таким образом,

согласно

равен-

Распределения

вероятности

и выборочная

статистика

41

Следовательно

(для t2 > ^і),

rXx (h,

h) = %{X (ti)

X (t2)} = ЦХ* (ti)} = ah.

(6)

ІІ \\

i l l .

*r

111

Ух

I M

Ф и г . 2.2.2. Распределения

случайных величин

с одинаковым средним

значением,

но различной дисперсией.

42

Глава 2

<у\ (t) = Ц[Х (t)

- ііх

(t))2}

=

Var {X

(t)}

=

=

g { X 2

(t) -

2X

(t) yiX

(t) +

цх (t)}

=

=

g { X 2 (*)} -

(0. (2.2.8)

ожидание суммы, а именно [iw

=

+ а2\Ху +

• • •» из величи­

ны

W — аіХ + a2Y

+

. . . и

возводя

полученную

разность

в квадрат,

находим

(W

-

= tat (X

-

рх)

+

a 2 ( Y - l i Y ) +

. . . ] 2 =

=

а\ (X -

u . x ) 2 +

a\{Y

-

u , r ) 2 +

. . .

+

2а,а2

(X

-

u.x ) (Y -

— ц у )

+ . . . .

Теперь вычислим дисперсию

W,

используя

это равенство

Ѵаг

{W} = % {{W — M 2 } =

=

a\ ЩХ -

цх)*}

+

à&{(Y

- Fr)2}

+

. . .

+

+

2аіагЦ(Х

-

\ix)

(Y

-

цу)}

+

(2.2.9)

Ѵаг

{W} - а\ Ѵаг {X} + а\ Ѵаг {У} + . . . .

(2.2.9а)

Положительное значение квадратного корня из дисперсии

называется

стандартным (средним квадратическим)

отклонением

функциональная зависимость от t исчезает. Относительное

откло­

нение

(коэффициент

вариации) — безразмерная форма

стандарт­

ного

отклонения,

характеризующая относительное

рассеяние

<Ухх (ti, h) =

%{[Х (h) -

[ix

(t,)] IX

(h) - p x (t2)}.

(2.2.10)

Д л я стационарного

ансамбля

<Ухх (т) =

г х х

(т) -

у?х.

(2.2.10а)

Распределения

вероятности и выборочная

статистика

43

2.2.4. Взаимная корреляционная

функция

=

j j жіф (ж, y; tu t2) dx dy.

(2.2.11)

— OO — O O

Заметим, что величина r x x

не является случайной, но может зави­

сеть от времени. Две случайные величины называются

некоррели-

Ф и г .

2.2.3.

В з а и м н а я

к о р р е л я ц и о н н а я ф у н к ц и я .

рованными

*), если rXY

(tu

t2) =

Цх (U)

(^г)> и ортогональными,

если rXY

(tu t2)

— 0.

Д л я

стационарных

ансамблей,

используя

равенство

(2.1.9), имеем

гхг

(h,

h)

=

rXY (т) =

rYX (-%).

(2.2.12)

случайных функций

X (it) и У (t). Величина rXY

(т) не обладает

максимумом при т =

0, как это имеет место для г х х

(т), и в отличие

корреляционных

функций rXY

(т) и rYX

(т) необходимо

провести

*) Две случайные величины X

и У

некоррелированы,

если

%

{XY}

=

=

%

{X}

% {У}, и

независимы, если р

(х, у)

— р (х) р (у).

Е с л и

величины

X

и

У независимы,

то

они т а к ж е

и некоррелированы (разд. 2.2.1).

Е с л и

%

{XY}

= 0, то X и Y

ортогональны . Некоррелированность — более

слабое

условие, чем независимость, потому что дл я некоррелированных

X

и

У,

вообще

говоря, % {/ (X) g (У)} ф

% {/ ( X ) } g

{g ( У ) } .

Н о

если

вели ­

чины

X

и У независимы, то g {f

(X) g (Y)}

=

S {f (X)}

<? {g

(Y)}.