Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 589
Скачиваний: 2
32 |
Глава 2 |
Заметим также, что равенство (в) остается справедливым, ибо
J [ е-(*+у> dx dy = j е-х ( - е ~ у ) dx = 1.
оо
Всилу определения р (х, у) нижний предел —оо можно заменить нулем.
Геометрический смысл распределения накопленной вероятно
сти можно пояснить с помощью фиг. П.2.1.1а. Рассмотрим сле-
Ф и г. П.2.1.1а.
дующий набор событий (Е), указанный на фиг. П.2.1.1а:
|
|
Е, |
= |
(X |
< |
а2, |
Y |
< |
6а), |
|
|
||
|
|
£2 |
|
= |
(X |
< |
О,, |
Г |
< |
6,), |
|
|
|
|
|
Е3 |
= |
(X |
< |
fl2, |
F |
< |
60. |
|
|
||
|
|
Ek |
= |
(X |
< |
oj, |
F |
< |
62 ). |
|
|
||
Инте^Т-лующее нас событие (заштрихованная площадь) можно |
|||||||||||||
записать в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е = ( Й 1 < Х < а 2 , |
6 t < F < 6 2 ) . |
|
|
|||||||||
Так как вероятность Р (Е) представляет |
собой двойной интеграл |
||||||||||||
от плотности распределения по отмеченной на фиг. П.2.1.1а |
обла |
||||||||||||
сти, можно |
заключить, |
|
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р |
(Е) |
= Р {а, |
< |
X |
< |
а2 , |
6і < |
Г |
< 62 } |
= |
|
||
|
|
= IP |
(Er) |
-Р |
(Е3)] |
+ |
[Р |
(Е2) - |
Р (Я4 )]. |
(г) |
|||
Важным понятием для случайных функций является понятие |
|||||||||||||
стационарности. |
Случайная |
функция |
называется |
стационарной |
|||||||||
в строгом смысле |
слова, |
или строго стационарной, |
если плотности |
распределения вероятности всех порядков инвариантны относи тельно переноса начала отсчета времени. В частности, если а —
Распределения |
вероятности |
и выборочная |
статистика |
33 |
X(t)
•Время
Время
Время
X(t)
Время
Ф и г . 2.1.5. Примеры стационарных и нестационарных данных .
а — стационарные данные; б —. изменяющееся со временем среднее значение; в — изме |
|||
няющееся со временем среднее значение квадрата; г — изменяющиеся со временем сред |
|||
нее значение и среднее значение квадрата (из работы [1], |
стр. 334). |
||
постоянная, положительная |
или |
отрицательная, |
и |
р (ж; t) = р |
(х; t |
+ а) = Р (ж), |
(2.1.8) |
можно заключить, что плотность распределения вероятности первого порядка некоторого стационарного процесса не зависит от времени. Исследуя плотность распределения вероятности вто-
34 |
|
|
Глава |
2 |
|
|
|
|
|
рого |
порядка, |
можно |
записать |
|
|
|
|
|
|
p |
(хи х2; ti, |
t2) = р |
(хи х2\ |
ti + |
a, |
t2 + |
а) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
р |
(хи х2; х), |
(2.1.9) |
где х |
= t2 — ti. Итак, если функция X |
(t) стационарна, плотность |
|||||||
распределения |
второго порядка |
зависит лишь от разности |
между |
моментами наблюдения и не зависит от времени начала записи. Это обстоятельство весьма важно.
Со стационарными случайными функциями иметь дело гораздо проще, чем с нестационарными. Нестационарные данные, примеры которых приведены на фиг. 2.1.5, получаются при неустановив шихся рабочих условиях, вызываемых изменениями: 1) подводи мой мощности, 2) какого-либо параметра процесса или 3) окружаю щей обстановки. К сожалению, не существует никакого общего метода, который мог бы заменить методы, используемые при ана лизе стационарных процессов; каждый процесс или класс процес сов требует специального рассмотрения. В разд. 3.7.5 будут
обсуждаться критерии, с помощью |
которых |
можно установить, |
|||
являются ли переменные процесса |
стационарными. |
|
|||
2.2. Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И А Н С А М Б Л Я : |
С Р Е Д Н Е Е |
|
|||
З Н А Ч Е Н И Е , Д И С П Е Р С И Я , К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т К О Р Р Е Л Я Ц И И |
|||||
Прежде |
всего |
рассмотрим математическое |
ожидание |
функции |
|
/ [Х- {ty), X |
(t2), . |
. ., X (tn)] случайной переменной X (t), |
которое |
определяется как
оо со
|
= |
j . . . |
j / |
ix (h), |
|
|
X (tn)) |
X |
|
|
|
— |
oo |
— o o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
p (xt, |
. . ., |
xn; |
tu |
. . ., |
tn) dxt . . . |
dxn, |
(2.2.1) |
где p |
— совместная |
плотность |
распределения, а |
% обозначает |
||||||
математическое |
ожидание. |
Заметим, что % {/} не |
является неко |
|||||||
торой |
случайной |
величиной, |
но |
может зависеть |
от tx, |
. ., tn. |
||||
Каждое среднее по ансамблю представляет собой функцию, |
||||||||||
описывающую определенные характеристики случайной |
функции |
X (t), такие, как ее |
математическое ожидание или дисперсию, или |
|||||||||
является |
функцией, |
из |
которой |
эти характеристики |
можно |
|||||
получить. |
В соответствии |
с общепринятой практикой слово «ан |
||||||||
самбль» не будет |
каждый |
раз |
сопровождать |
название |
данной |
|||||
характеристики, а будет просто |
молчаливо подразумеваться. |
|||||||||
При выполнении операций интегрирования и дифференциро |
||||||||||
вания предполагается, что случайная функция |
X |
(t) удовлетво |
||||||||
ряет различным |
специальным |
требованиям типа |
непрерывности |
|||||||
и сходимости, которые здесь |
не |
обсуждаются. |
Однако |
с целью |
Распределения вероятности и выборочная статистика 35
уменьшения громоздкости алгебраических действий в последую щих разделах приведем несколько простых правил обращения с линейными операторами, действующими на случайные величины. Математическое обоснование этих правил можно найти в большин стве монографий по статистике и случайным процессам.
Если Ш — линейный оператор, инвариантный во времени (подробно описанный в приложении Б), X (t) — случайная вели чина и
Y (t) = SS IX (t)],
то при вычислении математического ожидания можно изменить порядок операций:
ц у (t)} = % {Si IX (t)]} = Sel %{X (t)}]. |
(2.2.1a) |
Примерами линейных операторов служат моменты, если они пред ставляют собой математические ожидания, первые производные,
определенные |
интегралы |
и |
суммы. |
|
|
|
|
|||
М а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е |
п р о и з в о д н о й : |
|||||||||
|
|
|
« |
m |
d% {Y} |
|
|
|||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< 2 ' 2 1 б > |
М а т е м а т и ч е с к о е |
о ж и д а н и е |
и н т е г р а л а . |
||||||||
Если |
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
= |
j X (t) г|> (t) |
dt, |
|
|
||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
а я|з — |
детерминированная |
функция, |
то |
|
|
|
||||
|
|
|
ь |
|
|
|
ь |
|
|
|
|
W |
= |
{ Ш |
(t)} |
1> (t) |
dt= |
j |
\ix (t) г|> (t) dt, |
(2.2.1в) |
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
где \ix |
(t) = %{X |
(t)}, как обозначено в разд. 2.2.1. |
Если |
|||||||
М а т е м а т и ч е с к о е |
о ж и д а н и е |
с у м м ы . |
||||||||
|
|
|
|
Y |
= S |
atXu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=i |
|
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
fl,g{X,} |
= |
S atV,x. |
|
(2.2.1г) |
|
|
|
|
|
i=i |
|
|
і=і |
1 |
|
36 Глава 2
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2.1. |
Среднее |
значение |
|
|
|
||||||
|
Среднее |
по ансамблю |
значение |
случайной величины |
представ |
||||||||||||||
ляет собой |
математическое ожидание |
этой |
величины г ) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рх |
(t) |
= |
% {X |
(t)} = j |
хр |
(x; t) dx. |
|
(2.2.2) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— о о |
|
|
|
|
|
|
Если |
плотность |
распределения |
р |
{x; |
t) |
не |
зависит |
от |
времени |
||||||||||
(X |
— стационарная |
величина), то величина |
цх |
(t) = |
цх |
является |
|||||||||||||
постоянной. |
Среднее |
значение |
характеризует |
положение центра |
|||||||||||||||
случайной |
величины. |
По |
сути дела оно служит детерминирован |
||||||||||||||||
ной |
переменной, |
используемой |
в |
моделях |
процесса, если можно |
||||||||||||||
пренебречь |
ошибками. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Математическое |
|
ожидание |
|
суммы |
двух |
случайных |
величин |
|||||||||||
W |
(t) |
= X |
(t) |
+ |
Y |
(t) |
равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
Ш{ѴѴ (t)} |
= ЦХ |
Щ |
+ %{Y (t)} |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
M * ) |
= |
|
{t) + |
M * ) - |
|
|
(2-2.3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Математическое |
|
ожидание |
произведения |
двух |
независимых |
||||||||||||||
случайных |
величин Z |
(t) |
— X |
(t) Y |
(f) |
равно |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
ЦХ |
(t) Y |
(t)} |
= |
ЦХ |
(t)}%{Y |
(*)}, |
|
(2.2.4) |
||||||
ибо |
p |
(x, y; t) = |
p(x; |
t) |
p{y; |
t) |
согласно |
равенству |
(2.1.7), т. е. |
||||||||||
|
|
о о |
о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Цг} |
= |
j |
j |
хур |
(x, |
у; ti, |
t2) |
dx dy |
= |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
— с о |
— о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о о |
|
|
|
|
с о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
[ \ |
хр |
{x; t) dx] |
[ Ç ур |
{у; |
t) dy] = |
цх |
{t) | л г (*). |
Пример 2.2.1. Среднее значение
Рассмотрим движение некоторой частицы с пренебрежимо малым ускорением в результате столкновений ее с большим числом других частиц среды (броуновское движение). На молекулярном уровне это движение оказывается весьма сложным, но при мак роскопическом рассмотрении важно определить лишь математи ческое ожидание перемещения, отождествляемого со случайной величиной X {t). Если для одномерного движения начальное поло-
*) |
Е с л и |
X (t) |
не случайная |
величина в фиксированный момент в р е м е н и , |
а случайная ф у н к ц и я , то ц х (t) |
— математическое ожидание случайной ф у н к - |
|||
L пии X |
(t). — |
Прим. |
ред. |
|