Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Y, чтобы получить

то

і = і

mm

+2 2(-Sr)(w)C O T >'6 '>~

i=l i=l

Приближенную совместную доверительную область, эллипсои­ дальную по форме, также можно получить из квадратичной формыт аналогичной той, которая использовалась в разд. 5.2 для линей­ ных моделей:

и п — m степеней свободы. График уравнения (6.4.5) можно начер­ тить в двух или трех измерениях, как показано на фиг. 6.4.1, где сравнивается поверхность истинной суммы квадратов с конту­

В работе [17] обсуждаются различные критерии нелинейности, указывающие, когда нелинейность достаточно мала, чтобы исполь­ зование линейной теории в качестве приближенной теории для нелинейных моделей было оправдано. Дополнительное освещение вопросов оценивания доверительных пределов для нелинейных моделей дано в работе [18].

Ф и г . 6.4.1. Контуры поверхности истинной суммы квадратов и соответ­ ствующие контуры, полученные на основе уравнения (6.4.5). Числа вблизи контуров указывают доверительную вероятность для данной области [16].

контуры суммы квадратов для нелинейной модели; — контуры суммы квадратов для модели, линеаризованной вблизи Ф .„„.

м и н

Пример 6.4.1. Приближенная совместная доверительная область

для нелинейной модели

Чтобы ознакомиться с получением индивидуальных довери­ тельных интервалов для оцениваемых параметров и совместной оценки доверительной области, рассмотрим двухпараметрическую модель, используемую при изучении химической кинетики. Были получены данные о реакции гидрирования в проточном трубчатом реакторе,*описываемой эмпирической моделью (при постоянной

С помощью модифицированного варианта метода Маркуардта, использующего аналитический вид частных производных, были получены следующие результаты:

Сумма квадратов остатков равнялась фмив = 4,76 - Ю - 6 , величина Я

=^0.975 = 2,571; следовательно, индивидуальные доверительные

интервалы для параметров, вычисленные как в разд. 5.2, для линеаризованной модели имеют вид

-a/2Sy.

°i — * l - a / 2 s r -

Так как повторные измерения не проводились, в качестве оценки Sy. использовалась величина

s , = y ; r= | / 4,7604-10-а ^ T / Q ^ ,1 Q - 8 =0,975.10"».

Если модель оказывается плохой, то sr является плохой оценкой sy.. Соответствующие доверительные интервалы выражаются нера­ венствами

-0,107 < ß 0 < 0,117,

0,0119 < ßj < 0,0263.

Приближенная совместная доверительная область определяется по соотношению (6.4.5):

графически эта область показана на фиг. П.6.4.1. Она имеет длин­ ную вытянутую форму, характерную для случаев, когда оценки

параметров сильно коррелированы. Уравнение контура суммы

6.4.2.Метод Вилъямса

Вильяме [19] исследовал ряд альтернативных методов оцени­ вания доверительных интервалов для параметров, а также пред­ ложил свой метод для моделей, нелинейных по одному из коэф-

434 Глава 6

где функция / (х, х) содержит нелинейность. Предполагается, что выполнены обычные предположения (переменная Y распределена по нормальному закону с постоянной дисперсией о2 ), а критерием, используемым при оценивании, является минимизация суммы квадратов отклонений ф (6.2.1).

Прежде всего линеаризуем выражение (6.4.7) с помощью раз­ ложения в ряд Тейлора относительно предполагаемого значения к(0}

первой итерации второе приближение для к исходит из предпола­ гаемого значения

>• о

процесс итераций можно закончить. Таким образом, линейный коэффициент Ъ2 обращается в нуль для оценки, соответствующей минимуму суммы квадратов.

Для испытания нулевой гипотезы х = к(П), где — любое из последовательности значений к, проверяют, является ли вели­ чина Ь 2 значимо отличной от нуля. Если это так, нулевая гипотеза отвергается. В методе Вильямса доверительные пределы для х