Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

данных оказалась равной 1108,80. Следовательно, дисперсия,

Сумма квадратов остатков ф при к — 0,166, деленная на число степеней свободы 3, дала s? = 24,66.

Допустим, что предполагается использовать і^-критерий, например для уровня значимости 0,01; тогда из табл. В.4 находим

Точкам пересечения линии ASSb 2 = 361,4 с кривой зависимости ASSb 2 от к соответствуют значения к = 0,057 и к = 0,372. Эти значения представляют собой границы 99%-ного доверительного интервала. Они являются точными в том смысле, что любые зна­ чения вне этих пределов отвергаются с 1%-ным уровнем значимо­ сти согласно точному критерию для соответствующих значений Ь 2 -

6.4.3. Метод Хартли — Букера

Хартли и Букер [21] предложили метод, отличный от метода наименьших квадратов, но позволяющий получить как оценки параметров, так и их доверительные пределы. Этот метод дает

оценки Ь, которые при довольно общих предположениях (деталь­ но с ними можно ознакомиться по работе [21]) обладают асимпто-

Хотя эта система уравнений является переопределенной и тре­ бует статистического рассмотрения, можно было бы усреднить эти уравнения, чтобы получилось h систем по два уравнения в каждой

поиска или одним из методов оптимизации, описанных в литера­

туре, указанной в конце этой главы.

асимптотически 100%-ной эффективностью. Если регрессионные уравнения линейны, оценка ß* совпадает с оценкой Ь, полученной стандартным методом наименьших квадратов.

Хартли и Букер показали, как, основываясь на значениях У Л , получить доверительные интервалы для каждой из m функций

Некоторые классы нелинейных моделей можно легко преобра­ зовать к линейной форме, а линейную модель рассматривать мето­ дами линейного анализа. Например, логарифмируя обе части соотношения

переводит нелинейную модель в линейную форму, то для того,

образованного уравнения регрессии, обладали оптимальными свой­ ствами (т. е. несмещенностью, минимальной дисперсией и т. п.), необходимо, чтобы предположение об аддитивной ненаблюдаемой случайной ошибке было справедливым для преобразованной моде­ ли, а не для первоначальной модели. Итак, для преобразованной

где случайная величина ег распределена независимо со средним значением, равным нулю, и постоянной дисперсией. Например, для выражения (6.5.1)

In Yi = In ß 0 + ßi In Xu + ß 2 In xzi + 8 j , i = 1, 2, . . ., n. (6.5.4)

Влияние аддитивной ошибки в выражении (6.5.3) на непреобразованную модель можно установить, только исследуя каяэдую конкретную модель. При обычных предположениях, описанных в разд. 4.2, линейный анализ дает наилучшие линейные несме­ щенные оценки параметров ß t , . . ., ß m выражения (6.5.4). Однако процедура оценивания приводит к наилучшей линейной несмещен­ ной оценке, например In ß 0 , а не самого параметра ß 0 . Аддитивная ошибка в выражении (6.5.4) соответствует мультипликативной ошибке в непреобразованной нелинейной модели (6.5.1):

критериев проверки и доверительных интервалов требуется, чтобы величина фі имела логарифмическое распределение. Можно счи­ тать, что логарифмическое преобразование и последующий анализ методом наименьших квадратов обоснованы, если ошибка фі про­ порциональна Y, а не является постоянной величиной, не завися­ щей от значения Y. Например, линейка имеет постоянную ошибку, независимую от величины измеряемого расстояния; в то же время многие переменные процесса измеряются приборами, ошибка

Приближенные доверительные пределы для старых параметров можно рассчитать из соответствующих пределов для новых пара­ метров.

Еще одним примером может служить замена нелинейного урав­ нения для скорости реакции типа Хоугена — Ватсона — Лангмюра — Хиншелвуда, как, например,