ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 247
Скачиваний: 5
Г л а в а 2
Уравновешивание жестких роторов
В. Н. БАРКЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА БАЛАНСИРОВКИ КАРДАННЫХ ВАЛОВ
Рассмотрим балансировку карданных валов применительно к двухшарнирным валам, которые в диапазоне рабочих скоро стей от 0 до 5000 об/мин работают как жесткое тело. При оцен ке точности балансировки жестких карданных валов на станках основное внимание уделялось несовпадению рабочего положения карданного вала и положения при балансировке. При несовпа дении осей звеньев вала в рабочем положении могут возникнуть большие осевые составляющие центробежных сил, которые не обходимо компенсировать специальными методами балансиров ки [3, 4].
Известно, что зарубежные фирмы, разрабатывающие балан сировочное оборудование, гораздо большее значение придают влиянию гибкости вала на качество балансировки [5].
Уравновешивание гибких и многошарнирных карданных ва лов требует специальной методики балансировки, а также со здания специального оборудования, позволяющего эффективно применить новые методы уравновешивания.
В результате анализа статистических данных по трем авто мобилестроительным заводам было установлено, что процент одно-, двух- и трехшарнирных, а также гибких валов относи тельно общего количества составляет соответственно 14, 66, 20 и 28,5%.
Из рассмотрения полученных данных следует, что баланси ровочные станки должны быть достаточно универсальными и обеспечивать возможность переналадки на требуемый тип кар данного вала. Например, станки фирмы Шенк сравнительно не сложными средствами (добавлением промежуточных опор, пере стройкой измерительной схемы и т. д.) позволяют балансиро вать все типы карданных валов. Значительный процент гибких валов, а также необходимость обслуживания одним станком не скольких типов валов приводит к использованию изотропных подвесок.
Соотношение начальной и допустимой неуравновешенности валов показывает, что в процессе балансировки сброс дисбалан са может производиться в 6—15 раз. Точность современных ме тодов измерения неуравновешенности и точность приварки гру зов уменьшает начальную неуравновешенность в 8—10 раз. По этому многие валы требуют двухкратной балансировки.
Допустимая стрела кривизны рассмотренных гибких кардан ных валов составляет 0,3—0,4 мм. При такой кривизне балан сировка гибких валов в двух плоскостях исправлений осущест вима только после предварительной рихтовки [2].
Из изложенного выше следует, что карданный вал необходи мо часто балансировать как гибкое изделие. При выборе мето дики уравновешивания и расчете подвесной системы опор стан ка необходимо знать резонансные частоты и собственные формы колебаний валов в зависимости от параметров колебательной системы станка. Ниже приводится анализ динамического состоя ния карданных валов, как гибкого вала, и расчеты его основных параметров.
Расчет резонансных частот однородного вала по первым трем критическим скоростям при разной массе и жесткости опор име ет большое практическое значение. Эти частоты определяют ра бочий диапазон скоростей балансировочного станка. Для реше ния данной задачи могут быть использованы методы теории ко лебаний [1].
|
Общее решение дифференциального уравнения |
|
|||||||
|
|
rf4^L |
+ |
a 4 / r ( ^ = 0 |
, |
|
(1) |
||
|
|
|
dx* |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EI |
|
|
|
х = |
-у- (/ — длина вала), |
|
|
|
|
|
|
||
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x) |
= AS(ax) |
+ ВТ |
(ах) |
+ CU(ax) + DV(ax). |
(2) |
|||
здесь А, В, С, |
D — произвольные |
постоянные, |
определяющиеся |
||||||
из |
граничных |
условий, |
а |
S(a), |
Т(а), |
U(a), |
V(a) |
—линейная |
|
комбинация круговых и гиперболических функций: |
|
||||||||
|
|
S(a) |
= |
1 (ch a + cos |
a); |
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Т(а) |
= |
1-(sh a + sin a); |
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(3) |
|
|
U(a) |
= |
1-(ch a — cos |
a); |
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
V(o) |
= |
2-(sh a — sin |
a). |
|
|
||
|
Граничные условия можно |
представить |
|
|||||
|
|
|
при |
х = 0 |
F"(0) = |
0, |
|
|
|
|
|
|
F " ( 0 ) = - K - a 4 T l ) F ( 0 ) ; |
|
|||
|
|
|
при |
х = |
\ |
F"(l) |
= D, |
|
|
|
|
|
F w ( l ) = K - a « T j ) F ( l ) , |
|
|||
где |
— |
wl3 |
относительная жесткость опоры. |
|
||||
w0 |
= — |
|
||||||
|
|
EI |
|
|
|
|
|
|
|
Выбрав граничные условия, запишем трансцендентное урав |
|||||||
нение |
частот: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш 0 |
= а З - ^ ( і |
+ |
| / Л 1 |
P(a)S,(a ) |
(5) |
|
|
|
52(a) |
||||||
|
|
|
S,(a) |
|
|
|
|
|
где л
т,1
М— масса опор;
В(а), 5; (а), £>(а) — функции Праггера:
B(a) = |
2[r(a)[/(a) - S(o)V(a)] , |
|
S(a) = |
2 [ P ( a ) - V 2 ( a ) ] , |
(6) |
D(a) = 2 [ 7 » V ( a ) — £/2 (a)]. |
|
|
Рис. 1. Зависимость а от жесткости w0 для первых трех форм колебаний вала
(при п = 0; 1):
/ — для 1-й критической скорости; 2 — для 2-й критической скорости; 3 — для 3-й критической скорости
График корней урав нения для первых трех форм колебаний вала (при т) = 0; 0,5; 1) по казан на рис. 1.
Для определения ре зонансных частот вала, предварительно нахо дим относительную жесткость w0 и относи тельную массу опор т). Затем по графику, как функцию w0 и ц, опре деляем значение а. Ре зонансную частоту ва ла подсчитываем по формуле
о» |
У |
(7) |
тх1к |
Влияние жесткости опор на собственную функцию однород ного вала по первой форме колебаний. Известно, что жесткость опор станка влияет на собственные функции гибкого вала.
При балансировке гибких карданных валов интересно выяс нить влияние жесткости опор на изгибные колебания вала около первой критической скорости. При этом можно определить опти мальную скорость балансировки, отношение стрелы прогиба к амплитуде колебаний в жестких опорах, что важно для рас чета чувствительности системы и обеспечения прочности вала при уравновешивании. Классические методы не дают возможно сти получить собственную функцию вала в простом аналитиче ском виде. Для решения этой задачи нами применен метод ва
риации постоянного коэффициента собственной |
функции |
вала |
|
при наложении условий |
ортогональности. |
|
|
Пусть собственная |
функция однородного |
вала по |
первой |
форме колебаний имеет вид |
|
|
|
|
f l = A + s[nJll.. |
|
(8) |
Далее, эта функция должна удовлетворять условию ортого |
|||
нальности относительно /оі = 1, т. е. |
|
|
|
\mjldx |
= ml[fldx-2^f1(0); |
|
(9) |
о |
о |
|
|
здесь предполагается, что пружины опор w0 играют роль отри цательной массы (М = — — ) .
|
со2 |
|
|
|
|
Подставив выражение |
(8) |
в зависимость |
(9) |
и |
развернув |
значение для А , получим |
|
|
|
|
|
л |
= |
— - . |
— |
( |
Ю ) |
|
|
1— 2—г |
|
|
|
где |
|
а4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
EI
—w0l3
0 EI
При плоскопараллельных колебаниях жесткого вала знаме
натель в |
выражении (10) должен стремиться к нулю. |
Из усло |
|
вия |
1—2 |
— = 0 после подстановки значений а4 и w0 |
находим |
(О |
= |
2ш„ |
|
т{1 |
|
||
|
|
|
|
|
Таким |
образом, при w0-+0 определен резонанс |
плоскопа |
раллельного колебания, резонансная частота которого выражает ся известной формулой.
Погрешность |
выражения собственной функции |
(8) |
может |
быть проверена |
расчетом резонансной частоты вала |
с |
помощью |
выражения (10) и сравнением результатов с данными, получен ными классическими методами. Резонансная частота для неод нородного вала (неоднородность определяется конечной жест костью опор вала w0):
і |
|
\ Elf]2 |
dx |
.-9 0
I
[mxj]dx
о
Подставляя выражения (8) в формулу (11), находим
El \ f, |
dx |
|
|
|
|
|
о |
|
EI |
|
я 4 |
(12) |
|
[ |
... |
md* |
_ / |
. »„ \ |
||
8 |
0_
о<о2
Если в последнее соотношение подставить формулу (10), то получим
|
|
ш 2 = |
_ ^ _ . — ^ — = |
* _ L . |
( 1 3 ) |
||||
|
|
|
m « ' 4 |
Я , Л _ 2 * « Л _ 8 |
|
||||
Сравнивая выражение |
(13) с формулой |
(7), находим |
|||||||
|
|
- |
|
а 4 |
л 6 — а 4 (я*—8) |
|
. . . . |
||
|
|
W0 |
= |
2 |
• |
|
|
'-. |
(14) |
|
|
0 |
|
я 6 — а 4 я 2 |
|
|
|||
При этом |
зависимость |
собственной |
функции |
от жесткости |
|||||
опор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
= |
2 |
• |
1 |
= — + |
sin |
лх |
|
|
/ , |
л |
|
—— . |
|
||||
|
|
|
1—2 |
w0 |
|
I |
|
||
|
|
|
|
а4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, по жесткости опор можно определить резо |
|||||||||
нансную частоту |
вала |
(рис. |
2) и аналитическое |
выражение его |
|||||
собственной |
функции |
/ { ; / | г ; |
Z1 ,1 1 . |
|
|
|
|||
Значение А определяет относительную амплитуду колебаний опор по отношению к стреле прогиба вала. Из графика видно, что с увеличением относительной жесткости опор амплитуда ко лебаний опор падает, а стрела прогиба растет. Полученные ре зультаты важны и необходимы при расчете системы с жесткими (неподвижными) опорами, которые находят применение при ба лансировке валов, работающих вблизи первой критической ско рости.
Влияние массы опор на собственную функцию однородного вала. Расчет резонансной частоты карданного вала в мягких (податливых) опорах, а также определение собственной функ ции по третьей форме колеба ний вала в зависимости от ве личины массы на концах имеет непосредственное отношение к расчету колебательной систе мы карданного вала в изотроп ных опорах с конечной массой опор М. Как и в предыдущем случае, собственная функция
+(15)
Эта функция должна удо влетворять условию ортого нальности относительно
Рис. 2. Зависимость а и собственной
ФУНКЦИИ fi ОТ Wq
/ |
I |
|
\muhdx |
= m^hdx + 2MIM = Q. |
(16) |
Ьо
Подставляя выражение (15) в соотношение (16), находим
|
|
|
|
|
|
|
М |
(17) |
|
|
я |
|
|
-24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где nil —погонная масса |
вала; |
|
|
|
|
|||
М — масса опор на концах |
вала. |
|
|
|||||
Определим функцию |
а = F(r\) |
и сравним ее с кривой, полу |
||||||
ченной классическими |
методами. |
|
|
|
||||
В качестве исходного |
равенства для |
резонансной |
частоты |
|||||
принимаем равенство |
(11). В этом случае однородность вала на |
|||||||
рушена массой опор по концам. Поэтому |
равенство (11) |
можно |
||||||
представить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EI |
\ f3 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18) |
|
|
|
тх |
|' f\ |
dx + |
2Af/2(0) |
|
|
Если подставить выражения |
(15), (17) в соотношение |
(18) и |
||||||
проинтегрировать его, то получим |
|
|
|
|||||
|
2 |
_ |
El |
|
л 6 |
( 1 + 2т]) |
|
(19) |
|
СО |
|
т , / 4 |
' |
я2(1+2ri) —8 |
|||
|
|
|
|
|||||
Так как со2 = |
EI |
а4 , то |
|
|
|
|
|
|
m,l* |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
я 6 ( 1 + 2 т ) ) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
я2(1 +2т|) —8 |
|
|
||
5 Зак . 600 |
|
|
|
|
|
|
|
65 |
