ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 250
Скачиваний: 5
Коэффициенты пропорциональности kc и 6С называются коэф фициентами жесткости, поступательной и поворотной соответст венно.
Пусть система в момент времени t повернута на угол ср, а ее центр тяжести смещен на расстояние х. Тогда реакции связей
і
но смещение центра жесткости составляет х и поэтому
= —kcx + kcbq.
Сумма моментов реакций связей может быть представлена как сумма момента от поворота системы на угол ф и момента равнодействующей реакций связей относительно центра тяже сти. Момент от поворота системы
мж=-вс<?.
Момент от равнодействующей реакций связей
MR = — (ZR)b = + ксЬхж= —kcb2y + kcbx.
Сумма моментов реакций связей
М = МЖ + М* = — (вв + kcb2) + kcbx.
Динамическая поворотная жесткость
Q = dc + kcb2.
Суммарная жесткость системы kc равна алгебраической сум ме жесткостей связей. Статическая поворотная жесткость вычис ляется по уравнениям статики и в общем виде составляет
|
|
n |
|
|
1 |
где kx — жесткость |
связи |
і в направлении оси х; |
ky — жесткость |
связи |
і в направлении оси у ; |
|
Vx |
— расстояние связи і до центра жесткости в направлении |
|||||
|
|
оси х; |
і до центра |
|
|
|
|
|
vv — расстояние связи |
жесткости в направлении |
|||||
|
|
оси у, |
|
|
|
|
|
При |
|
— жесткость связи і кручению. |
|
движения принимают |
|||
этом дифференциальные |
уравнения |
||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тх + kcx—kcb(p |
= Рх cos at + P2 |
cos(co/ + |
a); |
||
|
|
Уф + 9ф — kjbx = axP icos (at + a2P2 |
cos(o)^ + |
a), |
|||
где |
Pi |
и P2 — амплитудные |
значения |
неуравновешенных сил, |
|||
|
|
действующих в плоскостях / и 2. |
|
||||
Имея в виду установившееся движение, получим
х = |
в — / c o 2 + fec6a, п |
, |
, |
6 — /со 2 — k c b a 2 |
„ |
, , , |
ч |
—£—— Р, cos |
со/ н |
с—± Р2 |
cos(co/ + |
a); |
|||
|
D |
|
|
D |
|
|
|
Ф = |
М * с - я ш » ) + М P ] C 0 |
S ( |
d t |
+ |
|
|
|
D= (kc—mco2)(8 — /со2 )—(£c 6)2 .
Выполним замену переменных по формулам
|
|
|
|
Хі = х + /іф; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
х 2 = х—/2ср |
• |
|
|
|
|
|
|
|||
После замены переменных имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
х \ — УпРі c o |
s м ^ + 712^2 cos(co/ + |
|
a); |
|
|
(3) |
||||||
|
|
х2 |
= Ч2\Р\ c os |
(at + |
у22Р2 |
cos((at + |
|
a), |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
|
і |
• [ ( 8 - •Ju>2) + |
|
adx{kc— |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
c |
6(ai |
+ |
1 |
)]; |
|||||
7 п |
= |
D |
|
|
|
|
|
•m<o) + £ |
|
/ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7l2 |
= |
1 |
[ ( 9 - Ja2)—a2l\{kc— |
mco2)—&cb(a2 — /[)]; |
||||||||||
D |
||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
x 2 |
|
c |
— |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
2 |
|
||||||
721 |
= |
D |
[ ( 0 - J<n |
)—a l |
(k |
|
|
|
)]; |
|||||
|
|
|
|
|
m(u ) + k b(ai |
— l |
||||||||
722 |
= |
1 |
[ ( 0 - Jod2) + |
|
a2l2(kc— mco2 )—kc b(a2 |
+ |
l2)]. |
|||||||
D |
|
|||||||||||||
Для проектирования системы необходимо знание резонанс ных частот системы. Резонансы наступают при скоростях вра щения, при которых определитель системы равен нулю. Исполь зуя понятие парциальных частот и выражая парциальную пово ротную частоту через парциальную поступательную, получим формулу для резонансных частот в виде
0 |
•У, |
(4) |
0Э |
|
|
где |
|
|
l + f } 2 + j / |
( 1 _ т > 2 ) 2 + 4^-у- |
|
У2
i— радиус инерции системы.
Отношение парциальных частот составляет
9,
-62
Т>2 = |
(5) |
|
На рис. 2 показаны таблица и график для нахождения резо нансных частот.
Если расположение плоскостей исправления в рассчитывае мом станке отлич*ается от расположения, показанного на рис. 1, то соответствующую координату необходимо подставлять в при веденные выше формулы со знаком минус.
К колебательным системам иногда присоединяют различные устройства. Если эти устройства представляют собой жесткие тела и после их присоединения система остается системой с дву мя степенями свободы, то нет необходимости вновь составлять и решать дифференциальные уравнения. Присоединение таких тел сводится к добавлению к действующим силам и массам до полнительных, приведенных, сил и масс. Так, например, влияние приводного вала можно учесть следующим образом (рис. 3).
Присоединим вал в точке, которую обозначим буквой Ш. Смещение точки Ш обозначим через хш, тогда
Момент, необходимый |
для создания |
углового |
ускорения р\ |
||
|
|
1ь |
|
|
|
Действующая сила в точке Ш |
|
|
|
|
|
р |
М _ |
і , |
|
|
|
Г їй — Н :— — — г J о*. |
• |
|
|
||
|
1ь |
0лш |
|
|
|
|
I 2 |
|
|
|
|
|
|
lb |
|
тпр, |
|
Эта сила может быть создана |
точечной массой |
поме |
|||
щенной в точку Ш, |
|
|
|
|
|
Отсюда находим величину приведенной массы |
|
|
|||
т пр |
|
|
|
(6) |
|
|
1Ь |
|
|
|
|
Для вала в виде однородного цилиндра |
|
|
|
||
тпр^ |
— |
ть. |
|
|
(6а) |
Часть приводного вала, совершающая движение как одно це |
|||||
лое с системой, при вычислении |
момента |
инерции |
приводного |
||
вала Jo должна быть исключена и учтена при подсчете массы и момента инерции системы.
Упругие связи. В современных балансировочных станках в качестве упругих связей применяют стержни с защемленными
концами. Наиболее распространенные формы стержней показа ны на рис. 4.
Формулы для расчета стержней приведены в работе [1]. Для облегчения расчетов найдены приближенные "формулы. Стерж-
Е
7—
ОСІ
L on ^
б)
4*
|
|
|
|
Рис. 4. |
Упругие |
пластины |
|||
|
|
|
|
для колебательных |
систем: |
||||
|
|
|
|
а — с одной степенью |
свобо |
||||
|
|
|
|
ды; |
б — |
с д в у м я |
степенями |
||
|
а) |
|
|
|
|
свободы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ни, |
работающие |
на растяжение, |
рассчитываются |
с |
погрешно |
||||
стью не более 6% |
по формуле |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
а стержни, работающие |
на сжатие,— с |
погрешностью |
не |
более |
|||||
1 % по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
I2 £ 7 |
, 0 |
S |
|
|
|
(8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
Е — модуль упругости растяжения — сжатия; |
|
|
|
|||||
|
/і — момент |
инерции сечения |
стержня |
в утоненном |
месте; |
||||
|
I — длина активной части стержня; |
|
|
|
|
|
|||
5 — продольная сила; <р„ — коэффициент формы стержня при изгибе:
Фв = '
1 — ( 1 — 2 а ) 3 1
h )
Для статической балансировки получила широкое примене ние колебательная система, показанная на рис. 5, с использова нием упругих связей (пластин) (рис. 4, а) .
Жесткость на изгиб пластин вычисляется по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
К = |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/3 |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 - т ] |
|
|
|
1 — |
2а +• |
|
|
|
|
|
|
||
|
+ • |
|
|
|
|
|
|
1 —- |
2а |
+ - |
||||
|
2т)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 —т)а |
|
I — - |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
* l n ( l + T i ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 —ц + ца |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hb3 |
ц = 1 |
|
ft, |
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
При |
т> = |
0,2; |
а |
= 0,15 |
и є — 2 |
формула |
(10) |
принимает вид |
|||||
|
k |
|
15,34 |
E |
J ] |
|
(11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
пластины |
используют |
|
|
|
|
|
Станина |
|||||
ся |
попарно, |
как |
это |
показано •v |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
на рис. 5, то при |
перемещении |
|
|
|
|
|
|
|||||||
системы |
незащемленный |
торец |
|
|
|
|
|
|
||||||
может смещаться, но не пово |
|
|
|
|
|
|
||||||||
рачиваться. |
В такой |
системе |
|
|
|
|
|
|
||||||
критическая |
сила |
для |
каждой |
|
|
|
|
|
|
|||||
пластины |
(пластины стальные) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
П |
_ |
7 |
|
|
|
(12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
кр |
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
Jx |
момент |
инерции |
сече |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ния пластины у широ |
|
Рис |
5. Колебательная система |
|||||||||
|
|
кого конца в податли |
|
с |
одной |
степенью |
свободы |
|||||||
|
|
вом |
направлении; |
|
|
|
|
|
|
|||||
- длина активной части пластины.
При расчете системы на прочность необходимо иметь в виду, что, кроме сил тяжести, система нагружается динамической па рой, которая фактически может достигать значительной величи-
