ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 317
Скачиваний: 5
ны 3 заменяем однородной балкой упруго-опертой по концам. Податливость обеих опор балансировочного устройства (БУ) 62 одинакова (рис. 2).
Исследуем влияние на резонансное состояние системы
податливостей |
отдельных ее |
элементов — ротора, |
подшипников, |
|||||||||||
корпуса, упругих элементов |
опор |
БУ, |
а |
также |
соотношений |
|||||||||
масс |
ротора и корпуса. При |
составлении |
уравнений |
|
движения |
|||||||||
|
|
|
будем |
учитывать |
моменты |
инер |
||||||||
|
J2_ |
|
ции |
системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Щ2 |
|
|
|
При |
анализе |
совместных |
ко |
|||||||
|
|
лебаний |
сложной |
системы |
ис |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
пользуем |
|
метод |
|
динамических |
|||||||
|
|
|
податливостей |
[2]: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ни |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГДЄ ЄЦ |
И |
Hij |
податливость |
и |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
амплитуда |
попе |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
речных |
|
колеба |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ний |
|
ротора |
в |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
точке |
і |
от |
гармо |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
нической |
попе |
|||||
Рис. 2. |
Расчетная |
схема системы |
|
|
|
|
|
речной |
|
|
силы |
|||
|
|
|
|
|
Zj |
= |
|
1, |
прило |
|||||
ротор — опоры ротора — корпус — |
|
|
|
|
|
женной |
в |
точке /. |
||||||
|
опоры |
БУ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Рассмотрим |
|
отдельно |
подси |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
стемы ротора и корпуса. Дей |
|||||||||||
ствие |
отброшенной части заменим |
симметричными |
и |
кососим- |
||||||||||
метричными Z 2 и Z4 составляющими опор ротора.
Принимая во внимание, что по теореме Максвелла о взаим
ности |
Перемещений |
ЄР24 = £р42 — ДЛЯ рОТОра, Єк24 = |
Є«42 — ДЛЯ |
|||||||||||
корпуса, |
а ввиду |
симметрии |
системы |
ер22 |
= ер14 |
и |
ек22 |
= |
е*4 4 , |
|||||
запишем |
с учетом |
формулы |
(1) |
уравнения |
совместности |
попе |
||||||||
речных |
перемещений |
ротора |
и корпуса |
(плоскости |
2 |
и |
4): |
|
||||||
|
|
Н2 — Z2ep22 |
|
+ Z 4 e p 2 4 |
= |
—Z2 eK 22—24 ек 4 4 ; |
|
|
|
(2) |
||||
|
|
#4 = Z2ep 24 |
+ Z4 ep 4 4 |
= |
Z2eK24 |
^4^k 2 2 . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Для |
|
симметричных |
и кососимметричных |
форм |
|
колебаний |
||||||||
уравнения (2) являются уравнениями частот собственных |
сов |
|||||||||||||
местных |
колебаний: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ер22 + Єр 2 4 |
: |
—(е.к22 + ек2і); |
|
|
|
|
(3) |
||||
|
|
|
ер22 |
Єр 2 4 |
= |
—(ек22—ек2і). |
|
|
|
|
|
(4) |
||
Для определения динамических податливостей подсистем ротора и корпуса разобьем систему на ряд участков, проводя границы через опоры, а также через центр тяжести сосредото ченных масс (рис. 2). Из условий на границе участка определим
начальные неизвестные, затем с помощью формул перехода от участка к участку последовательно находим значения попереч
ных перемещений НІ, угла наклона |
касательной к |
упругой |
линии вг, изгибающего момента МІ, |
перерезывающей |
силы Qi. |
По этим величинам определим динамические податливости [2]. При расчете использованы расчетные и опытные значения податливостей элементов системы.
Прогиб участка с постоянным поперечным сечением и рав номерно распределенной по длине массой определим с помощью дифференциального уравнения
|
|
|
EJ — |
= q, |
|
|
|
|
|
|
|
|
дх* |
|
|
|
|
|
|
где |
q — интенсивность |
нагрузки, |
представляющая собой |
силу |
|||||
|
инерции элемента балки |
единичной |
длины, т. е. |
q = |
|||||
|
= (j,/(х) со2(ц — погонная масса |
балки; |
со — угловая |
ско |
|||||
|
рость упругой линии участка). |
|
|
|
|
||||
|
Для участка длиной /г- с началом координат х0 = О при пе |
||||||||
ременной 0 < |
х < U, принимая k4 |
= |
IT |
имеем |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d*[f(lt)]-Vf{lt) |
|
= |
0- |
|
|
(5) |
|
Общее решение уравнения (5): |
|
|
|
|
|
|
||
|
/(/,) |
= AtR(ktlt) |
+ BtS(kiti) |
+ СїШ |
+ DMUt), |
(б) |
|||
где |
АІ, ВІ, Cit |
Di — произвольные постоянные; |
|
||||||
|
R, S, T, U — линейные комбинации |
тригонометрических |
|||||||
|
|
и гиперболических |
функций: |
|
|||||
S(k(lc) =
т{т =
U(ktlt) =
і -(ch kili +cos |
kilt); |
|
2 |
|
|
1 (sh kill + sin |
kilt); |
|
2 |
(7) |
|
1 (ch k^i—cos |
||
ktlj); |
||
2 |
|
1 •{sh k-Li—sin&,-/f).
2
В дифференциальном уравнении (6) согласно выражениям
(7) при х = хо = 0, f (0) = |
f0: |
Я = 1 ; |
S = T=U = 0. |
Значения произвольных постоянных из уравнения (6) после
дифференцирования с учетом теории изгиба примут вид |
|
|
Ai = h = H- с , _ 4 - - А г : £ < = / о = е , |
Di=fa |
Qi |
|
||
k,
|
Для х = |
обозначив а = |
kiU, |
найдем |
|
|
|
|||||
Hi+l |
|
= R(ai)Hi+ |
|
|
8 И |
— - M t |
+ |
|
|
|
||
0 |
= |
|
Я , + |
*(«,)Є ( + |
" |
А |
M i + |
|
Q, |
|
|
|
|
|
// |
|
|
|
/; |
|
|
|
«/ |
|
|
|
|
/.• |
|
|
|
/7 |
|
|
/.- |
|
|
|
т. е., |
зная эти |
величины |
в |
і-ш сечении, |
можно |
найти их |
||||||
в і + |
1-м сечении [2]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Учитывая принятые допущения, формулы перехода для рас |
|||||||||||
сматриваемого вала ротора (рис. 2) можно |
записать |
следую |
||||||||||
щим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Ht+^Hi |
+ lflt + hMt |
+ yiQu |
|
|
||||
|
|
|
|
Qi+i =Qi |
+ $iMi |
+ eiQi; |
|
|
(9) |
|||
|
|
|
|
Mi+i |
= Mi + hQc, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
•&{, В,, ЄЇ, |
yi — представляют |
собой коэффициенты |
подат |
||||||||
|
|
|
|
ливости |
однородной |
консольной |
балки. |
|||||
|
Из равновесия сил и моментов напишем формулы |
перехода |
||||||||||
через сосредоточенную |
массу: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Qt+^Qt |
+ m^H-, |
j |
|
|
|
|||
|
|
|
|
M,+ l =Mt—Jnpj&Bt, |
j |
|
|
|
||||
где |
mi — сосредоточенная |
масса; |
|
|
|
|
|
|||||
Jnp |
— приведенный момент инерции. |
|
|
|
|
|||||||
Рассмотрим симметричные и кососимметричные колебания системы. Для симметричных колебаний сумма динамических податливостей ротора:
|
|
|
|
|
(11) |
где бі — податливость |
левой опоры |
ротора |
(плос |
||
кость 2); |
|
|
|
|
|
# 2 = # 2 2 + -^24 — суммарное |
поперечное перемещение |
точки |
|||
вала |
в плоскости 2 под действием единичных |
||||
сил |
Z 2 = Z4 |
= |
1, приложенных |
в точках |
плос |
костей 2 и 4.
Для |
плоскости |
3 |
на |
основании |
уравнений |
(9) |
и |
(10) |
|||||||
напишем: |
93 = 62 + е = 0; |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
от„о)2 |
/ |
|
; |
|
\ |
) |
|
|
(12) |
|
где trip = т.\ + |
т2— масса |
ротора; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
/ = /, = — |
/ 2 . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
Обозначая |
|
частоту |
собственных |
поперечных |
(симметрич |
||||||||||
ных) колебаний |
ротора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
л 2 = . |
2 |
|
|
, |
f |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Of = |
|
|
|
Ml |
|
|
|
|
|
|
||
окончательно |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
е р 2 2 + е р 2 4 = — ^ - г |
Г-^г— Л - |
|
|
|
(13) |
|||||||
|
|
|
F |
|
F |
ОТрОЗ2 |
\ СО] |
|
/ |
|
|
|
|
||
Для |
симметричных |
колебаний |
сумма |
динамических |
|
подат- |
|||||||||
ливостей корпуса представляет |
собой |
суммарное |
перемещение |
||||||||||||
точки в плоскости |
2 под действием единичных |
сил, приложен |
|||||||||||||
ных одновременно в точках плоскостей 2 и 4: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
е к 2 2 |
+ е к 2 4 = Я 2 2 + Я 2 4 |
= Я 2 . |
|
|
|
(14) |
|||||
Принимая |
во внимание силу упругости |
опор Б У — - , в фор- |
|||||||||||||
мулах |
перехода для корпуса |
из условий |
симметрии |
системы |
|||||||||||
с помощью выражений |
(8) напишем |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
63 = Ш(а)Н2 |
+ R(a)Q2 |
+ ^ |
- ( I - |
|
0; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k'ElK |
|
62J |
|
|
, |
( 1 5 ) |
|
|
Q3 = k3EJS(a)H2 |
+ k2EJT(a) |
+ R(a)(l— |
|
= 0. J |
|
|||||||||
Исключив |
из уравнения |
|
(15) величину |
0, с помощью |
функ |
||||||||||
ций (7) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Н2 |
= |
|
|
/ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
k3EJ I t h a + t g a — — |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
V |
|
|
б 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и зная,что |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
РЕ J = |
2а^ |
|
|
|
|
|
|
|||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЄК22 |
+ |
0*24 = |
|
|
; |
— |
|
|
— |
> |
|
( 1 6 ) |
|
|
|
|
|
|
|
mKG)2 I th a + tg a—2a |
|
|
|
|
|||||
0)2
где тк |
= ц і — масса корпуса; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
со3 — частота |
симметричных |
свободных |
колебаний |
|||||||||
|
|
корпуса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
частот |
совместных |
|
симметричных |
колебаний |
||||||||
системы |
(3) |
после |
подстановки |
|
выражений |
(13) и |
(16) имеет |
||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
О)2 |
\ |
t h a |
+ |
t g a - 2 4 |
« - |
(17) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« 2 |
|
|||
|
|
|
ы 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принимая |
податливость |
корпуса |
|
8К |
= |
/3 |
и обозначая |
||||||
|
|
||||||||||||
т = |
, из выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
\QEJ |
|
, |
= |
• |
2a4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ц/4 |
• a 4 |
ЗткЬк |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а 4 |
_ Зткокш2 |
|
|
|
|
|
|||
и соответственно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
,4 . |
з « А ш і |
|
|
|
зьк |
|
|
|
||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
т ( б , + б р ) |
' |
|
||||
|
|
|
ОС о — |
|
|
|
— о — • |
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
62 |
|
|
|
Полученные величины характеризуют соотношения податливостей корпуса и ротора, корпуса и опор БУ, а также соотно шения масс ротора и корпуса.
Уравнение (17) напишем в виде
|
|
t h a + t g a |
= «з | |
т |
|
|
|
|
2а |
|
|
|
|
|
|
|
|
а* |
|
|
или при б к |
= О |
|
|
|
|
|
|
|
со4 — [(1 + m)©J + |
oe§] со2 + |
со2со2, = 0. |
(19) |
|
Учитывая |
инерцию поворота |
массы |
корпуса при |
колебаниях |
||
JK = ~~~ |
и |
обозначив |
отношения |
приведенного |
момента |
|
инерции ротора к моменту инерции корпуса /* =—— , после
1 к
