в котором коэффициенты ряда |
зависят от параметров |
механиз |
ма и равны: |
|
|
|
|
|
Л, = 1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
В, = к (К + -j х 3 |
+ Y х 5 + . . . ^ |
|
|
1 |
4 |
|
16 |
|
D, = Я,3 ( — |
х + — х 3 |
+ — х5 + |
(15) |
1 |
2 |
4 |
|
16 |
|
1 |
8 |
16 |
|
64 |
|
Fx = ^ — |
35 |
х 3 |
431 |
|
X + — |
+ — х5 + |
|
|
8 |
16 |
|
64 |
|
|
|
35 |
|
805 |
|
0, = Я6 — + ^ х 2 + — х < + |
|
|
16 |
32 |
|
128 |
|
Для упрощения дальнейших вычислений заменим степени синуса тригонометрическими формулами кратных дуг, исполь зуя для этого формулы [3]
|
|
|
2 I " I |
|
• . |
n—1 |
|
|
|
*C*B _, sin (2n— 1— 2й)ф, |
где E( — |
) — целая часть дроби — , |
а С\п и C*„_j — биномиаль |
ные коэффициенты. |
|
|
После |
подстановки в |
ряд (14) |
найденных выражений для |
различных степеней синусов и приведения подобных членов, по лучим
|
/(ф) = А — В sin ф + С cos 2ф + D sin Зф — £ соз4ф — |
|
|
— F sin 5ф + G cos 6ф + . . ., |
(16) |
где |
Л = Л, |
- С , |
8 |
Ё - G , - . |
|
|
|
2 |
16 |
|
|
|
4 |
о |
|
|
C = i - C , + J - £ , + - ^ G 1 + . . . ;
|
4 |
16 |
|
8 |
16 |
F = |
_ ! _ F , + |
|
|
16 |
|
32 G ,+ .
Подставляя выражение (16) в формулу (11), получим
cos ф -j (Л — flsin ф +Gcos 2ф + D sin З ф — £ c o s 4ф —
F sin 5ф + G cos 6ф + • •. ) | • |
(18) |
Заметим, что если в этой формуле Г\ заменить |
на г, то пра |
вая часть равенства будет определять перемещение точки В ис
ходного механизма ОАВ. |
|
|
|
|
|
|
|
Для определения модулей векторов скорости |
и |
ускорения |
центра масс |
подвижных звеньев |
исходного |
механизма |
ОАВ |
продифференцируем |
выражение (18) по времени, |
полагая |
угло |
вую скорость кривошипа постоянной. В результате получим |
V=—гх(л |
sin ф |
—(— В с о в ф — 2 С s i n 2 ф + 3 D c o s З ф + |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
+ АЕ sin 4ф — 5F cos 5ф — 6G sin 6ф + |
. . .)j ; |
|
(19) |
W= — r,co2 cos ф |
(В sin ф — 4Ccos 2ф — 9D sin Зф +• |
+ 16£, соз4ф + 25Fsin5ф — ЗбОсозбф + . . . ) |
|
(20) |
Следовательно, |
в силу |
равенств |
(1), |
(2), (5) и (20) модуль |
главного вектора |
системы |
неуравновешенных |
сил |
дезаксиаль- |
ного кривошипно-ползунного механизма |
ОАВ будет |
равен |
|
|
|
|
|
Р = гт0(д2С0, |
|
|
|
|
(21) |
где для краткости |
обозначено |
|
|
|
|
|
|
С0 == cos-ф |
l—(B sin ф —4С соз2ф — 9D sin Зф + 16£ cos 4ф + |
|
А* |
25Fs\n5<f — 36Gcos6<p+...). |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
(22) |
Так как вектор W всегда направлен по прямой плП\, то век тор Р не имеет составляющей в направлении, перпендикулярном
Заметим, что при х = О ряд для С0 будет иметь вид
С0 = cos ср + |
А-2 |
cos 2ср + |
А \ cos 4ф + А в cos 6ф + |
. .. , |
(23) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
128 |
|
|
л4 |
= |
— Я,3 |
+ — А5 + |
|
(24) |
4 |
16 |
|
|
|
|
128 |
|
|
|
Выражения (24) |
для коэффициентов ряда (23) |
совпадают |
с приведенными в литературе [1], что убеждает нас в правиль ности разложения (22).
Определение главного момента системы неуравновешенных сил механизма. Главный момент системы неуравновешенных сил для дезаксиального кривошипно-ползунного механизма оп ределяется по формуле
где Є2 и /2 s — соответственно угловое ускорение и момент инер ции шатуна относительно оси, проходящей через его центр тя жести перпендикулярно к плоскости чертежа.
Из рис. 2, на котором многоугольники OAdfO и ОАЬО пред ставляют планы ускорений и скоростей для механизма ОАВ, имеем
e2l cos р + |
WBA |
sin р = |
rco2 sin Ф; |
отсюда получим |
|
|
|
т2 |
sin ф — ХРдА |
sin В |
е2 = |
/ cos В |
(26) |
|
|
Так как |
|
|
|
, г |
|
гт cos ср |
|
V ВА —• |
cos В |
|
|
|
|
то |
|
|
|
WSA- |
Г 2 |
СО2 COS2 I |
|
|
/ cos2 В |
|
|
|
|
Подставляя это выражение в формулу (26) и принимая во внимание равенство
е + rsin ф = / sin р,
получим
Mmza—
где обозначено
ЫФ) = |
sin ф |
\ 1 — (х + Л sin ф)2 |
Ы Ф ) = |
X cos2 ф(х + A sin ф) |
У^[1 —(х + A sin ф) 2 ] 3 |
Таким образом, главный момент неуравновешенных сил ме ханизма будет равен по величине
М=-^Ы*[Ш-ШЬ |
|
(30) |
Заметим, что при х = 0 выражение (26) принимает вид |
Л(1 — А 2 ) ( і ) 2 5 І П ф |
|
е2 = - V ( 1 - А 2 Sin2 ф)3 |
|
и, следовательно, совпадает с приведенным в работе [4]. |
Для дальнейших вычислений |
нам необходимо |
разложить |
периодическую функцию (30) в тригонометрический |
ряд Фурье |
и определить первые гармоники этого ряда. |
|
Так как функция (30) задана |
на отрезке [0, 2л], имеет перио |
дом число 2я и не обладает свойством четности или нечетности, то ее разложение в тригонометрический ряд имеет вид
М(ф) = — М'о + 2 ( M m c o s т ф + Мт sin тц>), |
(31) |
k=\
где М'т и. М"т —коэффициенты Фурье, определяемые по фор мулам
|
2Я |
|
М'т — — |
і M(q>)cosmq>d(p, |
т = 0, 1,2,... |
|
о |
(32) |
|
2л |
|
|
— |
1 М(ф)зіп тф<іф, |
m = l , 2 , . |
Эти коэффициенты можно вычислить приближенно, исполь зуя, например, квадратурные правила наивысшей тригономет рической степени точности [2]:
|
|
« - і |
|
|
|
|
1 |
Мт |
— |
j*Ji |
М ( |
k\ cos |
mk, |
/л = 0, |
1,2,...; |
|
п |
\ п |
J |
п |
|
(33) |
|
|
п— 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( -^-k) s\n—^-mk, |
т= 1, |
2, .. |
:J n \ n / n
ГДЄ П — HeKOTOpOe ЧеТНОе ЧИСЛО:
