Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 146

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2) Для доказательства равенства (12) в общем случае пере­ ставим і-ю строку А последовательно со строками і — 1, і — 2, и т. д., пока і-я строка не займет место первой строки. Переведем также к-й столбец на место первого столбца. После этого эле­

мент аік матрицы А займет место элемента а11 в получившейся' матрице Ä.

Имеем

Äii=-Art,

 

(14)

 

 

где Аік — минор

основного определителя

D (А), соответству­

ющий элементу аІК; Ди - минор D (Ä ),

соответствующий эле­

менту а11.

 

 

 

Согласно (13) применительно к D (А)

имеем В Х1 = АХ1. От­

сюда следует, учитывая формулу (14), равенство

 

В и —А;*-

 

(15)

При переходе от: А

к А выполнено г + к — 2

перестановок строк

и столбцов, причем каждая такая перестановка согласно свой­ ству 2° влечет перемену знака определителя. Поэтому величины Bik

и В 1г связаны

зависимостью В Х1 — (—1 )г+кВік.

Следовательно,

Вік —- (—1)i+kB 11 =

(—l)l+kAik == A ik.

Таким

образом,

выве­

дена формула (12) и этим установлена

формула (9). Формула

(10) может быть выведена аналогично.

 

 

 

 

 

 

Обе формулы (9) и (10) важны в вычислительном отношении,

они позволяют

свести

вычисление определителя

п-то

порядка

к вычислению п определителей п — 1-го порядка.

 

 

его

Пример

вычисления

определителя

путем

разложения

по элементам первогостолбца:

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 4 5 = 1 4 5

2 3

2 31

-И -f 14 + 2 = 5.

- 1

3

1

3

1

3

1

4

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7°.

Сумма

юизведений элементов

любой

строки

(столбца)

определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (другого столбца) равна нулю:

аа Ап + al2Aj2+ . . . + alnA jn = 0 при і + /,

(16)

aikA s + a 2kA2s+ . . . + а „ И П5 = 0 при к + s.

Для вывода, например, первой из формул (16) заменим в ма­ трице + элементы /-й строки произвольными числами сг, . . ., сп соответственно. Получим матрицу В и разложим D (В) по эле­ ментам /-й строки, получим D (В) = схЛ д + • • • + cnA jn. В ча­ стности, если положить с1 — ап , . . ., сп — аіп, то получим

первую из формул (16), потому что матрица В будет иметь две одинаковые строки (і-ю и j-ю). Поэтому D (В) — 0.

8°. Величина определителя не изменится, если к элементам одной из ее строк (столбцов) прибавитъ соответствующие эле­ менты другой строки (столбца), умноженные на одно и то же произвольное число.

Действительно, в результате такого сложения (например,

строк) с домножением на с

получим строку с элементами aik +

cajh (к

=

1, . . ., п). По свойству 5° новый определитель равен

сумме двух определителей: D (В) — D (А) +

cD (А Д, где D (А Д =

“■0, так как і-я и /-я строки матрицы А х одинаковы.

 

П р и м е р .

 

Путем

вычитания элементов

первой строки из четвертой

и второй из третьей получим

 

 

 

 

 

 

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

1

2

5

6

7

8

5

6

7

8

5

6

7

5

6

6

8

0

0

—1

0

5

4.

0

0 —1

6

1

2

3

3

0

0

0 —1

 

 

 

 

 

 

 

Для вычисления определителей выше четвертого порядка можно рекомендовать метод Гаусса.*

248. Теорема умножения определителей. Рассмотрим две ма­ трицы А = Il аік у" и В = II Ъік У". Составим третью матрицу С = Ucik D", элементы которой определим равенствами

 

сік= ап Ьхк + аі2Ьгк+ . . .

+ a inbnk

(г, к = 1, . . .,

п).

(17)

Матрица С, составленная согласно (17) путем умножения строк

матрицы А на

столбцы

матрицы В , называется произведением

матрицы А на матрицу

В и обозначается символом AB.

 

О п р е д е л е н и е .

 

Матрицы

А

= || аік ||"

и В — || Ъік ||"

называются равными,

если

равны

соответствующие

элементы

этих матриц: аік ~

Ьік

при і,

к = 1, 2, . . ., п, что изображается

так: А

= В.

 

 

 

Произведение

матриц,

вообще говоря,

П р и м е ч а н и е .

 

не обладает переместительнъпи свойством: AB Ф ВА. Например,

если л = ( I з)

11 в =

(Î о)’ то

 

 

 

 

 

с = ^

= (з

о)’

^

 

= (1

о)(о

 

з) = (!

1 ) * АВ-

<18>

Теорема. Определитель произведения матриц равен произ­

ведению определителей сомножителей:

 

 

 

 

 

 

 

D (AB) =

D {А) D {В).

 

 

(19)

Докажем

теорему в случае ге=- 2.

(a

b\

Пусть Д = |

^ |, В =>

_ /Р

Ч

Тогда D{C)-

ар Т Ъг

aq - - bs

 

\г

s

ср -\-дг

cq

ds

 

 

 

Этот определитель в силу свойства 5° равен сумме четырех опре­ делителей, из которых два имеют одинаковые столбцы и поэтому равны нулю:

a

a

a

b

b

a

b

b

D (C) —pq c

c + ps

c

d + rq

d

r -j-rs

д

d

=

D (Л) (p s - r q ) = D(A)D (B).

 

 

Следовательно, определители можно умножать, так же как и ма­ трицы, путем умножения строк на столбцы.

Заметим, без доказательства, что в результате умножения строк определителя на его столбцы, строк на строки, столбцов на столбцы или столбцов на строки получаются равные опре­ делители. Но матрицы умножаются только в соответствии с фор­ мулой (17). Например, D (ВА ) = D(B) D (А) = D {AB), но

А В ф В А .

Теорема. Даны две системы взаимно-обратных функций:

и —и(х,

у,

z),

ѵ—ѵ(х,

у,

z),

w = w(x,

у,

z),

(20)

X = x ( u ,

V,

w),

у = у ( и ,

V ,

w),

Z—z(u,

V,

w),

(21)

которые предполагаются непрерывно дифференцируемыми в соответству­ ющих областях. Имеет место равенство

D (и,

и,

w)

D (X, у,

z)

(22)

D (х,

у,

z)

D (и, и,

w)

 

т. е. произведение функциональных определителей, входящих в левую часть равенства ( 22) равно тождественно единице.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Функции (21) образуют решение системы (20),

а функции (20) — решение системы (21). Поэтому имеют место тождества

и = и ( х ( и ,

и,

w),

у (и,

и,

w),

z (и,

и,

w)),

ѵ = ѵ { х ( и ,

V,

w),

У [и,

V,

w),

z(u,

V,

w)),

w = w(x(u,

V, w),

y(u,

V,

w),

Z (u,

V,

w)),

дифференцируя которые, имеем

Ux 'U' ! UуУц ! UZZU— 1 1

и еще шесть аналогичных равенств. Все эти девять равенств можно записать сокращенно в матричном виде

(и'х

и'у и’г\

/х'иx'v

x’w\

П

0

0\

(23)

ѴХ

ѴУ VZ J I Уи Уѵ

Учи | =

| 0

1

О J.

WX

и у u zJ

\ zu zo

zwJ

\

0

1/

 

Учитывая

теорему умножения определителей из

равенства (23),

непосред­

ственно следует формула (22), так как ранен единице определитель единичной

матрицы,

находящийся в правой части равенства

(23). Теорема

доказана.

 

§ 43. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

 

249.

Постановка

вопроса.

Система

т

линейных

уравнений

с п неизвестными х г, . . ., хп имеет вид

 

 

 

 

 

 

аихі -г аі2х2-г . . . + аіпхп= bt

(i =

1,2, ..., ni).

 

(1)

Числа aik (вещественные или комплексные) называются

коэф­

фициентами системы. Они образуют матрицу

 

 

 

 

 

 

а 11

а 12 • •■•

« т \

 

 

 

 

 

 

 

Й21

й22 . .

 

 

 

 

(2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,а т\

&т2 • • •

а тпJ

 

 

 

 

содержащую т строк и п столбцов. Числа bt называются свобод­

ными членами системы,

а xk — ее неизвестными. Число

уравне­

ний т может быть больше, меньше или равно числу неизвестных п.

Система

линейных уравнений (1) называется однородной,

если

ъ1 = ••■ = ът = 0.

 

 

 

последовательность

чисел

Решением системы (1) называется

х ы , . . ., xnif, , удовлетворяющая

системе (1),

т. е. обращающая

каждое ее уравнение в численное равенство в результате замены

Х1

хп

хп*ѣ

 

 

 

 

 

 

 

Поставим два вопроса. Во-первых, выясним, имеет ли система

(1) хотя бы одно решение. Система называется совместной, если

она имеет решение. Не всякая система совместна; например,

система i + ÿ +

z = l,

î + ÿ +

z =

2 несовместна, потому что

любая тройка чисел, удовлетворяющая первому уравнению, не удовлетворяет второму. Во-вторых, если система совместна, то надо найти все ее решения.

В общем случае ответы на поставленные два вопроса, как мы увидим, зависят от свойств матрицы А коэффициентов системы

исвойств расширенной матрицы

/Яц . . . и1пЬ1 \

5 = ....................

•

(3)

• ** &тпРтJ

250. Теорема Крамера. Рассмотрим частный случай системы (1), когда число уравнений системы равно числу ее неизвестных т = -- п, т. е. систему

 

й іѵ Ч + ■• • +

= Ьі (і == 1, . . п).

(4)

Определитель D (А) называется определителем системы и обо­

значается

(4).

 

 

Теорема. Если определитель Д системы п линейных уравне­

ний с п неизвестными отличен от нуля,

то

система совместна

и имеет единственное решение, определяемое формулами

хк^ 8 к/А (к = 1, 2, ...,

п).

(5)

Здесь каждая из неизвестных величин представлена в виде дроби, у которой знаменателем является определитель системы, а числи­ тель есть определитель, получающийся из определителя системы путем замены коэффициентов при определяемом неизвестном сво­ бодными членами системы:

Я ц . . .

ß ift-ifrjß xft-K i . . .

Я іл

Ьк

 

(6)

апі . . . апк_іЪпапк+і . . . ann

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1. Умножим обе части каждого

из уравнений системы (4) соответственно

на 4 ц, . . ., А кп, т. е.

на алгебраические дополнения элементов к-го столбца опре­ делителя системы Д. Сложив полученные произведения, получим

систему равенств (где к =

1, 2, . . ., п)

 

xl (апА 1к+

. . . + ап1Апк)

+

.. . + хк (а1кА1к- [ - • • • + ^nk^-nù +

”Ь . . . . “Ь

(flinA-lk •

• •

“Ь^nn^nk) ==

~Ь . . . + ЬпАпк.

Согласно свойствам 6° и 7° определителей здесь равны нулю коэф­ фициенты при всех неизвестных, кроме хк; правая же часть пред­ ставляет разложение определителя (6) по элементам к-то столбца;

поэтому имеем

(7)

àxk = ôk (к = і , . . . , п ) .

Система линейных уравнений (7) выведена из системы (4) и яв­ ляется ее следствием.

2. Из (7) в свою очередь следуют равенства (4), так как по условию Д ф 0. Для доказательства умножим каждое из урав­ нений системы (7) соответственно на asl, . . ., asn и, сложив, по­ лучим

А (аг1х1+

. . . -f aSnxn) — Ьі (H u asl + .. •+ ^и® и) У . . . +

+ bs

+ . . . + Asnasn) + . . . + Ьп{АпХаЛ -T- . . . -f- Annasn).

Смотрите также файлы