ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 141
Скачиваний: 2
бесконечно большая / fa) отрицательна в некоторой окрестности точки а, то lim / (х) — — оо.
X-+а
Пр и м е р . Функция tg X стремится к—оо при стремлении х к х0-
справа, т. е. со стороны значений х, больших х0, а при стремлении х к х0 слева (т. е. при х <( х0) tg х стремится к + оо. Принята следующая форма за писи в подобных случаях:
lim |
tgx' = —оо, lim tg X — |
- | - о о . |
|
я |
+ ° |
- -я- о |
|
П р и м е ч а н и я . |
1. |
Бесконечность (оо) не |
число, а символ, который |
употребляется, например, для того, чтобы указать, что соответствующая переменная есть бесконечно большая величина.
2. Бесконечно большая при х ->■ а величина / (х) не имеет при этом пре дела, потому что под пределом переменной понимается некоторое число, а символ оо не является числом.
Ниже помещены две теоремы о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями.
Теорема 1. Переменная, обратная бесконечно большой, есть
величина бесконечно малая. |
|
|
|
Пусть lim / (X) = оо. Докажем, что lim |
1 = |
0. |
|
х-*а |
х-кі |
^ fa) |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Фиксируем |
любое |
е }>0 и обозна- |
чаем — = Е. По условию переменная / (х) — бесконечно оольшая
при стремлении х к а, поэтому числу Е соответствует Ô > 0 такое, что при условии 0 < |х — а К ô выполняется неравенство |/(ж)| >>
Е = —, a вместе с ним и неравенство |
< е. |
|
f f a ) |
Теорема 2. Если бесконечно малая не обращается в нуль, то обратная ей величина есть бесконечно большая.
Пусть lim а (ж) = 0. Докажем, что lim |
1 |
оо. |
|
♦а а (*)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Фиксируем любое Е fa>0 и обозна-
Л
чаем -=■ = е. По условию а (х) — бесконечно малая при стремле-
нии X |
к а, |
поэтому числу е > 0 соответствует ô > 0 |
такое, что |
||
при условии 0 < |
\ X — а | ■< Ôвыполняются неравенства | а (х) | < |
||||
<; е = |
1 |
|
1 |
j > Е. Отсюда следует заключение |
теоремы 2. |
-g- и |
|
||||
13. Предел функции. Пусть функция / fa) определена в неко торой окрестности X точки а, за исключением, может быть, самой
точки |
X = а. |
П р е д е л о м |
ф у н к ц и й |
/ (х) |
О п р е д е л е н и е 3. |
||||
п р и |
с т р е м л е н и и |
х к а называется число b такое, |
что |
|
разность ffa ) — b есть величина бесконечно малая при стремле нии X к а.
Если число |
b является пределом / (ж) при стремлении ж к а, |
то пишут lim |
/ (х) — Ь, или / (х) -> b при х -> а и читают: пере- |
х~*а |
|
менная / (ж) стремится к b при стремлении ж к а.
Это определение опирается на понятие бесконечно малой. Можно сформулировать определение предела функции без ссылки на бесконечно малую. Обозначим / (ж) — b ен <х (ж). В соответствии с определением 3 постоянная b является пределом функции / (ж)
при стремлении ж к а, если функция а (ж) при |
этом бесконечно |
малая. Сформулируем это предложение на «языке е, б» и придем |
|
к следующему определению предела функции, |
эквивалентному |
определению 3. |
4. Число b называется п р е д е л о м |
О п р е д е л е н и е |
|
ф у н к ц и и / (ж) п р и |
с т р е м л е н и и х к а, если для каж |
дого положительного числа е существует соответствующее поло
жительное |
число б такое, что при условии |
0<; |ж — а|-< б |
выполняется |
неравенство |
|
|
|/( * ) - Ь |< е . |
(6) |
Заметим, что в точке х = а функция / (ж) может быть не опре делена. Но если она определена при ж = а и имеет значение / (а), то это значение функции не окажет влияния ни на факт существо вания предела lim / (ж), ни на величину предела функции. Это
|
х~+а |
определении предела |
функции |
значение |
объясняется тем, что в |
||||
/ (а) не |
участвует, что |
указано в условии |
| ж — а | > |
0, т. е. |
ж Ф а. |
|
|
|
|
Если Y — область изменения рассматриваемой функции, то b |
||||
есть точка сгущения множества Y. |
|
|
||
Если неравенство (6) выполняется при условии 0 <; ж — а < б, |
||||
то число Ъ называется |
пределом справа и обозначается символом |
|||
b — lim / (ж), или / (a-f-0). Аналогично при условии 0 < |
а —ж < 5 |
|||
X -*• с + 0 |
lim / (ж) = f (а — 0). |
В этих |
случаях |
|
имеем |
предел слева |
|||
X -► а ~0
пределы называются односторонними. Если само а = 0, то вместо
0 + |
0 (0 — 0) пишут просто + 0 |
(—0). |
|
|
|
||
Г е о м е т р и ч е с к а я |
и л л ю с т р а ц и я |
в |
п р е д е л а |
ф у н к |
|||
ц и и . |
Рассмотрим график (рис. 12) функции / (х) |
промежутке изменения |
|||||
у, определяемом |
неравенством Ъ— е |
у <^ Ь |
г. |
Прямые, |
проходящие |
||
через точки оси |
ординат у і = |
Ъ— е и у2 = b -f- s параллельно оси абсцисс, |
|||||
пересекают график только в точках А я В, проектируя которые на ось абсцисс получим точки х\ — а — Ôj и х 2 = а + ô2. Выберем наименьшее из чисел ôi и 08 и, обозначив его через Ô, рассмотрим промежуток о — & <^х <; a + ô (с исключенной точкой а). Проведем прямые, параллельные оси ординат, через
точки оси абсцисс а — ô и а + |
б. |
а, то для каждого е >> 0 |
|
Итак, если число |
Ь есть предел / (х) при х-+ |
||
существует число Ô |
0 такое, что график функции f (х), соответствующий |
||
изменению х на множестве а — ô |
ж <) a -f- ô (х ^ |
а), не выходит из полосы |
|
b — е < у < Ь + е . |
|
|
|
Из определения 3 непосредственно вытекают |
три |
|
след |
||||||||||||||||
ствия. |
|
1. |
Если |
постоянная |
Ъ есть |
предел |
функции |
||||||||||||
С л е д с т в и е |
|||||||||||||||||||
/ (х) при стремлении х к |
а, |
то |
эту функцию |
можно |
представить |
||||||||||||||
в виде суммы числа |
b и бесконечно малой величины а (х): / (х) |
= |
|||||||||||||||||
— b + а (х). |
|
2. |
Если |
функцию / (х) |
можно |
представить |
|||||||||||||
С л е д с т в и е |
|||||||||||||||||||
в виде суммы некоторой постоянной |
b и бесконечно малой а |
(х) |
|||||||||||||||||
при стремлении х к а, то существует |
и |
равен |
b |
предел |
/ (х) |
||||||||||||||
при стремлении х к а, |
т. е. b ~ |
lim / (х) при х -*■ а. |
|
|
точке |
||||||||||||||
С л е д с т в и е |
3. |
Функция |
не |
может иметь |
в одной |
||||||||||||||
двух |
различных |
пределов. |
Действительно, |
и |
если |
/ (х) ->■ b |
|||||||||||||
и / |
(х) -> с |
при |
X -> а, |
то |
/ (х) |
— |
Ъ + сс |
/ |
(х) |
— с + |
ß. |
||||||||
Следовательно, b -f |
а |
с -f~ ß |
и |
Ъ — с |
-- |
ß — а, |
где |
ß — а |
— |
||||||||||
|
|
|
|
|
бесконечно |
малая, |
a b — с |
— постоян |
|||||||||||
|
|
|
|
|
ная. Этой постоянной может быть только |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
нуль: b — с = |
0. |
Поэтому |
b = с. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
14. |
|
Предел |
функции |
при стремле |
|||||||||
|
|
|
|
|
нии аргумента к |
бесконечности. |
|
Если |
|||||||||||
|
|
|
|
|
множество {х} содержит сколь угодно |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
большие |
по абсолютной величине |
зна |
||||||||||||
|
|
|
|
|
чения ж, |
то говорят, |
что |
оо |
является |
||||||||||
|
|
|
|
|
точкой сгущения |
для |
{х}. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Пусть |
Е — данное |
положительное |
|||||||||||
|
|
|
|
|
число. |
Числовое |
множество, |
все |
эле |
||||||||||
|
|
|
|
|
менты которого удовлетворяют условию |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
\х \ |
Е , |
назовем Е-окрестностъю |
бес |
|||||||||||
|
|
|
|
|
конечно |
удаленной |
точки. |
Множество |
|||||||||||
вем |
.Е-окрестностью |
|
чисел, |
больших |
(меньших) |
Е, |
|
назо- |
|||||||||||
оо |
(соответственно |
Е'-окрестностыо — оо). |
|||||||||||||||||
О п р е д е л е н и е |
5. Пусть функция / (х) |
определена |
|
в не |
|||||||||||||||
которой окрестности |
X |
бесконечно |
удаленной |
точки. |
Число |
b |
|||||||||||||
называется |
п р е д е л о м |
f (х) |
п р и |
|
с т р е м л е н и и |
х |
|||||||||||||
к б е с к о н е ч н о с т и , |
если |
для |
каждого |
положительного |
г |
||||||||||||||
существует |
соответствующее |
Д Д О |
такое, |
что |
выполняется |
||||||||||||||
неравенство |
\ / (х) — b | < е , |
если |
\х \ |
Д> А. |
При |
этом |
пишут |
||||||||||||
lim |
/ (х) = |
Ъ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X - + с о
Если рассматриваются лишь положительные (или лишь отри цательные) значения х, то говорят о пределе функции при стрем лении X к + оо (или к — оо).
Введем понятие предела |
последовательности. |
Пусть |
функция |
||||
/ (х) |
определена на |
множестве |
натуральных |
чисел |
X = {п}• |
||
Обозначим X = п и / (п) = уп. |
Ъ |
называется п р е д е л о м |
|||||
О п р е д е л е н и е |
6. Число |
||||||
п о с л е д о в а т е л ь н о с т и |
{уп} |
п р и с т р е м л е н и и |
|||||
п к |
б е с к о н е ч н о с т и , |
если для каждого |
положительного |
||||
8 существует положительное число N |
такое, что для всех п О N |
||||||
выполняется неравенство \ у„— Ь\ < е. При этом пишут 6 = 1ітг/„.
п ~> со
Заметим, что определение 6 согласуется с определением 5. Так, в определении 6 участвует условие п > N вместо | ж | > Д , но оба они представляют некоторое множество точек из окрест ности бесконечно удаленной точки, на котором данная функция определена.
П р и м е р і. Докажем, что lim gn = 0, если | g | < 1- Для этого фиксп-
СО
руем любое положительное е и докажем, что неравенство | qn | <( г выпол няется для всех достаточно больших значений переменной п, т. е. при п > N, где N —некоторое число.
Неравенство |
g | <[ е |
равносильно |
следующему: |
в lg lg K l g e |
|
(где lg I g I <1 0, |
так как | q | < |
1), а также |
неравенству п > |
Iff S |
^ = N . * |
^ ^ |
|||||
Поэтому, если я > N, то будет выполняться неравенство | qn | <; е и наше утверждение доказано.
|
П р и м е р 2. |
Докажем, что lim |
qn= оо при [ q \ > 1 . Для этого фикси |
|||
руем положительное Е. |
Выясним, |
при каких я выполняется неравен |
||||
ство |
I qn I > |
Е. |
Оно |
равносильно |
неравенствам |
я lg | q | > lg Е и |
п > |
-Л—I—1- = |
N (где I q I > |
1 и lg I q I > |
0). Поэтому, если n > N, то | qn | > £ , |
||
|
Щ\Ч \ |
|
|
|
|
|
что и требовалось доказать.
15.Основные теоремы о пределах. Здесь рассматриваются
функции одного |
и того же аргумента х, |
при этом х |
стремится |
|||||||||||
к а или X стремится к бесконечности. Все теоремы и. 15 имеют |
||||||||||||||
место в обоих этих |
случаях; |
они верны |
также |
и для |
последо |
|||||||||
вательностей. |
Мы приведем доказательство |
для |
одного |
из этих |
||||||||||
случаев (именно, когда х -> а), |
|
потому |
что для другого |
доказа |
||||||||||
тельство аналогично (см. п. 20). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Лемма (о |
сохранении |
|
знака |
функции, |
имеющей |
отличный |
||||||||
от нуля предел). |
Пустъ |
ф ункция f (х) |
|
определена |
в некоторой |
|||||||||
окрестности |
точки |
а, |
за |
исключением, |
|
может |
бытъ, |
самой |
||||||
точки а. Если при |
х — а |
функция f ( x ) |
|
имеет |
положительный |
|||||||||
(от рицат ельны й) |
предел, |
то |
и |
сама |
ф ункция |
положительна |
||||||||
(от рицат ельна) по крайней мере для значений х, достаточно
близких к а и не равных |
а. |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Из факта |
существования предела |
b = lim / (х) следует, что |
каждому g > |
0 соответствует ô > 0 |
X -+ а |
|
|
такое, что при условии 0 < |
| ж — а | <; ô выполняется неравенство |
||||||
|
|
|
b — е < |
f ( x) < |
5-fe. |
(6а) |
|
Если |
Ъ> |
0, |
то возьмем е ==— '&. |
Из левой части |
нера |
||
венства |
(6а) |
|
следует, |
что |
f(x) > Ъ ----—{ Ъ — ~ Ь > 0 |
при |
|
0 < | £ — а I •< |
Ô. |
|
|
|
|
|
|
Здесь знак = |
употребляется в смысле обозначения. |
|
|||||
. Если Ь<О, то возьмем е = ----—Ъ. Из правой части неравенства
(6а) следует, что |
f{x)<. b— ~-Ь = -^-Ь< 0 |
при |
0 < | х — a J < ô . |
||||
Лемма доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть переменные и = и{х) и ѵ — ѵ(х) |
имеют пределы |
||||||
|
lim и (х) = Ъ, |
lim v (х) = с. |
|
||||
|
х-*а |
|
х-+а |
|
|
|
|
В силу следствия |
1 п. 13 |
имеем и — |
bа, |
г; = |
с + ß, где а |
||
и ß — бесконечно малые при стремлении х к а. |
|
||||||
Теорема 1. Предел суммы двух переменных, имеющих пределы, |
|||||||
существует и равен сумме |
пределов слагаемых: |
|
|||||
|
lim (и + і?) ~ |
lim и |
lim |
ѵ. |
(7) |
||
|
х-*а |
|
х~*а |
X +а |
|
|
|
Действительно, согласно условию теоремы переменную и + ѵ можно представить в виде суммы постоянной b + с и бесконечно малой а + ß:
и + v = (Ь + с) + (а + ß).
Отсюда следует (см. следствие 2 п. 13), что переменная и + ѵ имеет предел, равный b + с.
Теорема 2. Предел произведения двух переменных, имеющих пределы, существует и равен произведению пределов сомножителей :
lim (uv) — lim и |
lim v. |
(8) |
|
x-+a |
x->a |
x-*a |
|
Эта теорема доказывается аналогично теореме 1 с помощью равенства иѵ ~ Ъс + (ас + ß& + aß).
С л е д с т в и е . Постоянный множитель можно вынести за знак предела'.
lim сѵ (х) = с lim v (х). |
(9) |
х-+а х-*а
Действительно, если в формуле (8) положить и — с, то получим равенство (9).
П р и м е ч а н и е . Формула (7) распространяется на случай алгебраи ческой суммы любого конечного числа слагаемых, а формула (8) — на случай любого конечного числа сомножителей.
Теорема 3. Предел отношения переменных, имеющих пределы, существует и равен отношению пределов этих переменных, если предел последующего члена отношения не равен нулю:
|
|
|
= т «*<»■ |
<10> |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Требуется доказать, |
что разность |
||||
U |
Ъ |
Ъ-\-а |
^- = (ас — ßb) Т- |
( « ) |
|
V |
с |
с + |
|||
|
|
||||
есть величина бесконечно малая при стремлении х к а.
