Файл: Основы автоматического управления..pdf

§ 13.4. Общее условие минимума средней квадратической ошибки

Среди всех рассмотренных в § 13.2 критериев качества автома­ тических систем простейшим с математической точки зрения явля­ ется критерий минимума средней квадратической ошибки. Кроме того, как было сказано в § 13.2, при нормальном распределении полезных сигналов и помех оптимальная линейная система, най­ денная по критерию минимума средней квадратической ошибки, оказывается оптимальной и с точки зрения миогих других крите­ риев. Наконец, как мы увидим в § 15.1, решение задачи определе­ ния оптимальной системы по критерию минимума среднего риска (13.2.6) при любохМ выборе функции потерь при весьма общих условиях приводится к уравнениям такого же типа, как и уравне­ ния, определяющие оптимальную линейную систему по критерию минимума средней квадратической ошибки. Все эти причины приводят к тому, что методы определения оптимальных линейных систем по критерию минимума средней квадратической ошибки являются основой всей статистической теории оптимальных систем.

На основании изложенного мы в первую очередь будем изучать методы определения оптимальных линейных систем по критерию минимума средней квадратической ошибки, ограничиваясь для простоты случаем одномерных систем, т. е. систем с одним входом и одним выходом. В главе 15 будет изложен общий метод опреде­ ления оптимальных систем среди всех возможных систем (как линейных, так и нелинейных) по любым критериям, которые мож­ но представить в форме критерия минимума среднего риска (13.2.6) при различных выборах функции потерь.

Выведем сначала общее условие минимума средней квадратиче­ ской ошибки системы.

Предположим, что в некотором классе систем R требуется най­ ти оптимальную систему, для которой средняя квадратическая ошибка имеет наименьшее возможное значение. Класс систем R может быть любым множеством систем, обладающих определенны­ ми свойствами, например множеством всех линейных систем с од­ ним входом и одним выходом или множеством всех возможных сис­ тем, для которых интересующая нас случайная функция Z (t) может быть входным сигналом.

Обозначим через А оператор оптимальной системы в классе R, а через В оператор любой системы класса R. Тогда выходной сиг­ нал оптимальной системы будет равен

Для вывода общего условия, которому должен удовлетворять опе­ ратор оптимальной системы, вычислим среднюю квадратическую

ошибку произвольной системы класса R. Выполняя элементарные преобразования и опуская для краткости аргумент t, получим

M [ { W * - W)2] = M [ ( W * - W + W * ~ W*f\ = М [(W * - W f] +

+ M [{W*— W*)2\ + 2M [(IF* - W) (W* — W*)]. (13.4.3)

Предположим, что нам удалось найти в классе R такую систему с оператором А, выходная переменная W* которой удовлетворяет условию

для всех систем класса R, т. е. для выходной переменной W* любой системы класса R при входной функции Z (t). Тогда равенство (13.4.3) примет вид

М [(W* - W f] = М [(W* - W f ] + М [(W* - W*f\. (13.4.5)

Правая часть этого равенства представляет собой сумму двух неот­ рицательных слагаемых. Поэтому, отбрасывая второе слагаемое, получим неравенство

(13.4.6)

Это неравенство показывает, что средняя квадратическая ошибка системы, выходная переменная которой W* удовлетворяет равен­ ству (13.4.4) для выходных переменных W* всех систем класса R, не может быть больше средней квадратической ошибки какойнибудь другой системы класса R. Иными словами, система, удовлетворяющая условию (13.4.4), всегда является опти­ мальной. Условие (13.4.4) явля­ ется, таким образом, достаточ­ ным условием минимума средней

квадратической ошибки.

Рис. 13.4.1. Предположим теперь, что класс систем R, среди которых требуется найти оптимальную систему, обладает таким свойством,

что он содержит все системы, полученные путем параллельного со­ единения любых входящих в него систем с подключенными последо­ вательно к их выходам безынерционными усилителями с постоян­ ными коэффициентами усиления. Это означает, что если мы выбе­ рем из класса R любые системы и обозначим через Ви В 2, ■• ■, Вп их операторы, то и система, структурная схема которой представ­ лена на рис. 13.4.1, при любых коэффициентах усиления с1, с2, . . .

. . ., сп безынерционных усилителей тоже является системой клас­ са R. Иными словами, составляя из любых систем класса R систе­ мы типа изображенной на рис. 13.4.1, мы не можем получить систе­

му, которая не входила бы в класс R. Найдем математическое выра­ жение этого свойства. Обозначим выходные переменные систем, из которых составлена система, изображенная на рис. 13.4.1, соответственно через W*, W*, . . ., Wt- Тогда выходная перемен­ ная системы, изображенной на рис. 13.4.1, будет равна

Следовательно, сформулированное выше свойство рассматривае­ мого класса систем R означает, что любая линейная комбинация выходных переменных систем класса R всегда является выходной переменной некоторой системы того же класса R. Иными словами, множество выходных переменных всех систем класса R таково, что любая линейная комбинация элементов этого множества при­ надлежит этому множеству. Множество, обладающее таким свой­ ством называется линейным пространством. Таким образом, мы рассматриваем сейчас класс систем R, обладающий таким свойст­ вом, что множество выходных переменных всех входящих в него систем, при подаче на их входы одной и той же входной функции, представляет собой линейное пространство. Коротко мы будем говорить, что при этом и сам класс систем R является линейным пространством.

П р и м е р 13.4.1. Множество всех возможных систем с одним входом и одним выходом является, очевидно, линейным пространством, так как, подключая к выходам любых систем с одним входом и одним выходом безынер­ ционные усилители и соединяя параллельно полученные таким образом цепочки, мы всегда получим систему с одним входом и одним выходом,

и одним выходом также является линейным пространством, так как на осно­ вании изложенного в главах 2 и 4 безынерционные усилители являются линейными системами и любые последовательные и параллельные соединения линейных систем с одним входом и одним выходом всегда дают линейную

систем, не являющиеся линейными пространствами, рассмотрим множество всех апериодических звеньев с разными постоянными времени и с одинако­ выми коэффициентами усиления, равными единице. В этом классе систем мы искали оптимальный фильтр в примере 13.3.1. Очевидно, что параллель­ ное соединение двух апериодических звеньев с разными постоянными вре­ мени Ті и Т2 не является апериодическим звеном, так как передаточная функция такого параллельного соединения на основании (4.6.6) выражается формулой

и при Гі ф Т2 не является передаточной функцией апериодического звена.

Таким образом, класс апериодических звеньев не является линейным про­ странством.

Итак, предположим, что класс систем R, среди которых ищется оптимальная система, представляет собой линейное пространство. В этом случае разность выходных переменных W* — W* оптималь­ ной системы и любой другой системы класса R также является выходной переменной некоторой системы класса R. Наоборот, если взять выходную переменную любой системы класса і?, то, сложив ее с выходной переменной оптимальной системы W*, мы снова получим выходную переменную W* некоторой системы класса R. Отсюда следует, что выходная переменная любой системы класса R может быть представлена в виде разности выходной переменной некоторой системы класса R и выходной переменной оптимальной системы. Таким образом, разность W* — W* в равенстве (13.4.4) можно рассматривать как выходную переменную произвольной системы класса R, которую можно также обозначить через W*. Поэтому для случая, когда класс систем R, в котором ищется опти­ мальная система, представляет собой линейное пространство,

достаточное условие минимума средней квадратической ошибки (13.4.4) может быть переписано в виде

точным, но и необходимым условием минимума средней квадрати­ ческой ошибки, если класс систем, в котором требуется найти опти­ мальную систему, представляет собой линейное пространство. Для доказательства достаточно показать, что при невыполнении условия (13.4.8) W* не может быть выходной переменной оптималь­

Рассмотрим систему, представляющую собой параллельное соеди­ нение предполагаемой оптимальной системы, выходная перемен­ ная которой равна W*, и системы с выходной переменной W* с под­ ключенным последовательно к ее выходу безынерционным усили­ телем с коэффициентом усиления а (рис. 13.4.2). Эта система принадлежит классу систем R, так как класс R по предположению является линейным пространством. Покажем, что коэффициент усиления а всегда можно выбрать так, чтобы рассматриваемая система была лучше предполагаемой оптимальной в случае, когда