Файл: Основы автоматического управления..pdf

от отношения Т/Т' (рис. 13.3.1). Из этого графика видно, что при отклоне­ нии постоянной времени от оптимального значения на 30 ч- 35%, средняя квадратическая ошибка фильтра увеличивается всего на 5 Ч- 6%. Отсюда можно сделать вывод, что значительные отклонения от оптимальной постоян­ ной времени в данном случае не приводят к существенному ухудшению

точности фильтра. Этот пример может слу­ жить иллюстрацией высказанного в § 13.1 общего положения, что во многих задачах практики можно допускать значительные отклонения от оптимальных характеристик системы без существенного ухудшения ее точности.

В сложных случаях, когда урав­ нения, полученные приравниванием нулю производных критерия каче­ ства по параметрам системы, нельзя решить аналитически или когда не удается выразить критерий качества аналитически через параметры систе­ мы, для нахождения оптимальных

значений параметров системы приходится прибегать к приближен­ ным численным методам. Наиболее эффективным численным мето­ дом нахождения минимума функции является метод наискорей­ шего спуска и различные его разновидности. Случай, когда требует­ ся найти максимум функции, очевид­ но, приводится к задаче нахождения минимума изменением знака функции.

Для выяснения идеи метода наи­ скорейшего спуска рассмотрим снача­ ла случай, когда требуется найти оптимальные значения двух парамет­ ров системы а ь а 2. Критерий каче­ ства является функцией / (ocj, а 2), минимум которой соответствует опти­ мальной системе. Равноценным с точ­ ки зрения принятого критерия каче­ ства системам соответствует на пло­ скости параметров а ь а 2 кривая

Различным значениям параметра с соответствуют различные линии

уровня (рис. 13.3.2).

Пусть (а<т \ а (2т)) — точка, для которой вычислено значение функции /. Проведем из этой точки как из центра окружность бес­ конечно малого радиуса ds и найдем на этой окружности точку, в которой функция / имеет минимальное значение. Предполагая, что существуют непрерывные частные производные функции / по а 1;

§ 13.3. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х ПА РА М ЕТРО В СИСТЕМ Ы 505

а 2, находим дифференциал функции / в точке (а<т\ а ^ ):

где аргументы функций f'a„ f ai для краткости опущены. Для нахо­ ждения минимума выражения (13.3.2) приравниваем нулю его производную по <р:

где должны быть взяты либо оба верхних знака, либо оба нижних. Очевидно, что df будет положительным, если взять верхние знаки, и отрицательным, если взять нижние знаки. Таким образом, ниж­ ние знаки в (13.3.3) соответствуют минимуму df и мы доказали, что при смещении от точки (а\т\ alm)) на данную бесконечно малую величину ds наилучшее приближение к минимуму функции / до­ стигается, если выбрать смещение в направлении вектора с состав­ ляющими — /і„ — f'a„. Но вектор с составляющими /(,,, fa2 пред­ ставляет собой вектор градиента функции f на плоскости парамет­ ров a t, <х2, нормальный к линии уровня (13.3.1) функции / (рис. 13.3.2). Следовательно, для быстрейшего приближения к ми­ нимуму функции /, т. е. для скорейшего спуска по поверхности, изображающей функцию /, необходимо из каждой точки двигаться в направлении, противоположном направлению вектора градиента функции /. Иными словами, в каждой расчетной точке необходимо выбирать приращения параметров системы пропорциональными

которой являются расчетные точки (рис. 13.3.2). Если увеличивать неограниченно число расчетных точек, неограниченно уменьшая отрезки ломаной, то в пределе получим кривую, по которой будет течь по поверхности функции / вода, вылитая в какой-либо точке этой кривой.

Совершенно так же доказывается, что для скорейшего прибли­

порциональными соответствующим частным производным функции

Так как |i, . . ., £п связаны вторым уравнением (13.3.4), то для на­ хождения минимума df в данном случае удобнее всего воспользо­ ваться методом неопределенных множителей Лагранжа. Согласно этому методу для нахождения минимума df следует приравнять

на Я определится из второго уравнения (13.3.4). В результате получим

что и требовалось доказать.

Таким образом, метод наискорейшего спуска дает следующую последовательность расчетных комбинаций значений параметров

(/=1 , .. ., п; т = 0, 1, 2, ...).

Вопрос о выборе длин шагов, т. е. чисел sm, решается в каждом конкретном случае опытом. При этом можно рекомендовать поль­ зоваться следующими общими соображениями. При слишком малых числах sm приближение к минимуму будет медленным и объ­ ем вычислений будет большим. При слишком больших sm может случиться так, что функция / при переходе от т-іі точки к т + 1-й возрастет (т. е. произойдет «перескок» через минимум). Поэтому числа sm желательно выбирать возможно большими, но все же до­ статочно малыми для того, чтобы функция / убывала при переходе из каждой расчетной точки в следующую. Наиболее рациональ­ ным является такой выбор чисел sm, при котором вектор градиента

§ 13.3. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х ПА РА М ЕТРО В СИСТЕМ Ы 507

поворачивается приблизительно на 90° при переходе из каждой расчетной точки в следующую, т. е. при котором скалярное произ­ ведение векторов градиента функции / в соседних расчетных точках близко к нулю. В тех случаях, когда вычисление вектора градиен­ та функции / значительно сложнее, чем вычисление самой функции /, Н. М. Сотский рекомендует вычислять значения функции / для ряда значений sm и выбирать каждый раз такое значение sm, при котором функция / имеет наименьшее значение. Легко сообразить, что при таком способе подбора значений sm вектор градиента функ­ ции / будет поворачиваться приблизительно на 90° при переходе от каждой расчетной точки к следующей. При этом число расчет­ ных точек, в которых придется вычислить градиент функции /, будет близким к минимальному, возможному при данном выборе исходной точки (аі0>, . . ., а^0>).

Пр и м е р 13.3.2. Найти оптимальные значения постоянной времени Т

икоэффициента усиления к апериодического звена, предназначенного для отфильтровывания от помехи X (t) полезного сигнала, представляющего собой линейную функцию времени Uj + U2t со случайными коэффициентами UU U2 имеющими равные нулю математические ожидания и дисперсии Dit D2 соот­ ветственно. Независимая от полезного сигнала помеха X (г) является стацио­

нарной случайной функцией с равным нулю математическим ожиданием

и корреляционной функцией кх (т) = За критерий качества принять среднее по времени значение математического ожидания квадрата установив­ шейся ошибки системы в интервале времени 0 < t < Тр.

Применяя для вычисления установившейся ошибки воспроизведения полезного сигнала формулу (7.3.12), получим следующее выражение полной

где Уш (t) — выходной шум системы, дисперсия которого была найдена в при­ мере 7.4.1:

k W

DlY* M = -T + Z T -

Так как математические ожидания случайных величин Uif U2 и помехи X (t) равны нулю, то математическое ожидание квадрата ошибки системы равно ее дисперсии и определяется формулой

Таким образом, задача сводится к нахождению минимума функции двух переменных / (к, Т), определяемой формулой (13.3.10). Дифференцируя