ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 377
Скачиваний: 15
514 гл. 13, СТА ТИ СТИ ЧЕС КА Я Т Е О Р И Я О П ТИ М А Л ЬН Ы Х СИСТЕМ
ным пространством, то условие (13.4.4) может не быть необходи мым и оптимальная система может не удовлетворять этому усло вию. В последнем случае в классе R не существует такой системы, которая удовлетворяла бы условию (13.4.4), так как вследствие достаточности этого условия система, удовлетворяющая ему, обя зательно является оптимальной.
Чтобы получить окончательную форму уравнения, определяю щего оператор оптимальной системы по критерию минимума сред ней квадратической ошибки, подставим в (13.4.8) выражения (13.4.1) и (13.4.2) выходных переменных оптимальной системы и произвольной системы того класса, в котором ищется оптималь ная система. Тогда получим
M[{AZ(t) — W{t)}BZ{t)] = 0 (B £ R ). |
(13.4.12) |
Здесь запись В £ R означает, что равенство должно быть выполне но для операторов В всех систем класса R.
Уравнение (13.4.12) является общим необходимым и достаточ ным условием минимума средней квадратической ошибки, опреде ляющим оператор оптимальной системы А в любом классе систем R, представляющем собой линейное пространство. Это уравнение может служить не только для определения оптимальных линейных систем, но и для определения оптимальных систем в различных классах нелинейных систем.
Уравнение (13.4.12) определяет оптимальную систему, для которой мгновенное значение средней квадратической ошибки для каждого момента времени t имеет наименьшее возможное значение. Таким образом, уравнение (13.4.12) минимизирует среднюю квад ратическую ошибку для любого момента времени t. В частном слу чае, когда выходные переменные всех систем класса R и требуемый выходной сигнал W (t) являются эргодическими стационарными случайными функциями времени, средняя квадратическая ошибка любой системы класса R постоянна и с вероятностью единица совпа дает с соответствующим средним по времени, вычисленным для любой реализации входного сигнала Z (t) и требуемого выходного сигнала W (t):
т
(13.4.13)
В этом случае уравнение (13.4.12) минимизирует среднее значение квадрата ошибки по времени. Однако уравнение (13.4.12), как мы видели, имеет значительно более общий характер и определяет оптимальные системы и в тех случаях, когда выходные перемен ные систем рассматриваемого класса не являются эргодическими стационарными случайными функциями.
516 |
Г Л . 13. СТА ТИ СТИ ЧЕСКА Я Т Е О Р И Я О П ТИ М А Л ЬН Ы Х СИСТЕМ |
весовые функции которых равны нулю при всех значениях вто рого аргумента т, меньших, чем t — Т, мы можем переписать фор мулы (13.5.1) в виде
t |
t |
AZ (t) = j g (t, t) Z (t) dx, |
BZ (t) = j h(t,o)Z(o)ckr. (13.5.2) |
t - T |
t - T |
В этом случае все допустимые линейные системы, т. е. все системы рассматриваемого класса R, в котором ищется оптимальная систе ма, используют значения входного сигнала Z (t) только в интервале времени t — Т ^ т ^ t длительностью Т, непосредственно пред шествующем данному моменту t.
Вопрос о выборе длительности памяти системы должен решать ся в зависимости от назначения системы с учетом двух противоре чивых требований. С одной стороны, чем больше Т, тем больше информации о полезном сигнале содержит входной сигнал Z (t). С другой стороны, чем меньше Т, тем скорее система решит задачу после переключения на новую реализацию входного сигнала. В не которых случаях может оказаться целесообразным сделать память системы Т функцией времени Т (t).
С математической точки зрения формулы (13.5.1) можно рас сматривать как частный случай формул (13.5.2) при Т = t — t0. Поэтому, приняв формулы (13.5.2), мы охватываем оба практиче ски интересных случая: когда интервал наблюдения Т совпадает
сполным временем работы системы и когда интервал наблюдения
Тсовпадает с памятью системы. В некоторых задачах оказывается допустимым считать интервал наблюдения Т бесконечным. Это допущение является, конечно, идеализацией, так как в действи
тельности любая система работает лишь конечное время, хотя и может иметь при этом бесконечную память. Однако эта идеали зация, как мы увидим дальше, существенно упрощает нахождение оптимальной линейной системы.
Для |
вывода уравнения, определяющего весовую |
функцию |
|
g (t, т) |
оптимальной линейной |
системы, подставим выражения |
|
(13.5.2) |
в общее уравнение (13.4.12). Тогда получим |
|
|
t |
|
j h(t, a)Z(CT)da]= 0, |
|
М [ { j |
g(t,x)Z (т) dx — W («)} |
(13.5.3) |
|
t - T
и это равенство должно выполняться для любой весовой функции h (t , с). Внося выражение в фигурных скобках под знак второго интеграла, выполняя почленное умножение этого выражения под знаком второго интеграла на Z (а) и меняя местами операции мате
|
§ |
13.5. У Р А В Н Е Н И Я , |
О П РЕ Д Е Л Я Ю Щ И Е Л И Н Е Й Н У Ю СИСТЕМ У |
517 |
|
матического ожидания и интегрирования, получим |
|
||||
|
1 |
|
|
t |
|
М [ { |
j |
g ( t , x ) Z ( x ) d x ~ W ( t ) } j h(t,o)Z(o)do'\ = |
|
||
t-т |
|
t- r |
|
||
|
|
I |
|
I |
|
= М [ |
^ h(t, |
o) {Z(ö) j g(t, x ) Z ( x ) d x - W { t ) Z { o ) ] d o ] |
= |
||
|
|
t - T |
|
t - T |
|
|
t |
|
t |
|
|
— |
j |
h(t, o) |
j |
g (t, x) Z (x) Z (a) dx — W (t) Z (a)J do = |
|
|
t - T |
t - T |
|
|
|
|
t |
t |
|
|
|
= j h(t,o) I j g{t,x)M[Z{x)Z{a)\dx — M[W{t)Z{o)]^ da.
t - T |
t - T |
Подставляя это выражение в (13.5.3) и принимая во внимание, что математические ожидания представляют собой соответственно начальный момент второго порядка случайной функции Z (t)
исовместный момент второго порядка случайных функций W (t)
иZ (<):
М[Z (т) Z (о)] = Г* (т, о), М [W (t) Z (а )] = ГШ2 (t, а ),
приведем уравнение (13.5.3) к виду
«t
jü (* ,c7 ){ j Гг (т, о) g (t, т) dx — Twz (г, о) I da = 0. (13.5.4) t-т t-т
Это уравнение может удовлетворяться для любой функции h (t, a) только в том случае, если выражение в фигурных скобках тожде ственно равно нулю в интервале интегрирования t — Т ^ a ^ t:
t |
|
|
\ |
Г2(т, a )g (* ,T )-ru ,z(*.<*) = 0 |
( t - T ^ o ^ t ) . (13.5.5) |
1 -Г
Действительно, если это выражение не равно нулю тождественно относительно о, то, выбирая функцию h (t, а) положительной при тех значениях о, при которых выражение в фигурных скобках (13.5.4) положительно, и отрицательной при тех значениях о, при которых выражение в фигурных скобках в (13.5.4) отрица тельно, мы получим в левой части равенства (13.5.4) существенно положительную величину. Это убеждает нас в невозможности выполнения равенства (13.5.4) для любой функции h(t, о), если выражение в фигурных скобках в (13.5.4) не равно нулю при всех
