ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 317
Скачиваний: 15
56 |
ГЛ . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
§ 2.3. |
Характеристика реакции линейной системы |
на показательное возмущение. Частотная характеристика
Взяв в качестве элементарных возмущений, на которые можно разложить произвольное возмущение, единичные импульсы, т. е. б-функции, мы получили характеристику линейной системы — весовую функцию и выразили через нее реакцию линейной системы на любое возмущение.
Тип элементарных возмущений, на которые можно разложить произвольное возмущение, можно выбрать различными спосо бами. В зависимости от выбора типа элементарных возмущений получаются различные характеристики линейных систем. Во мно гих задачах практики удобно взять в качестве элементарных воз мущений гармонические колебания всех возможных частот. Известно, что при весьма общих условиях любую функцию можно разложить в ряд Фурье или представить интегралом Фурье. По этому, зная реакцию линейной системы на гармонические колеба ния всех возможных частот и пользуясь принципом суперпози ции, мы можем определить реакцию системы на произвольное возмущение.
Рассмотрим некоторую функцию х (t). Если она абсолютно
интегрируема, то ее можно |
представить интегралом |
Фурье: |
|
00 |
|
x(t) = |
j с (іа) еш da, |
(2.3.1) |
—оо |
|
|
где |
оо |
|
|
|
|
с(йо) = 7 ^ |
j x(t)e~i(aidt |
(2.3.2) |
— ОО
Если возмущение х (t) действует на входе линейной системы, то на основании принципа суперпозиции выходная функция системы будет равна
ОО |
|
y ( t) = A x ( t) — j c(ia)Atei(atda, |
(2.3.3) |
—оо
где А — оператор системы. В этой формуле A teiat представляет собой реакцию линейной системы на гармонические колебания частоты со. Эта реакция может быть принята за характеристику линейной системы. Зная эту характеристику, мы можем вычислить по формуле (2.3.3) реакцию линейной системы на произвольное возмущение, которое можно представить рядом или интегралом Фурье. Обычно эту характеристику несколько обобщают и рас сматривают в качестве элементарного возмущения показательную функцию ен, где s — произвольный комплексный параметр.
§ 2.3. Р Е А К Ц И Я СИСТЕМ Ы НА П О К А ЗА ТЕ Л ЬН О Е ВО ЗМ У Щ ЕН И Е |
57 |
Если параметр s имеет чисто мнимое значение, то est описывает гармонические колебания; если этот параметр имеет комплексное значение с отрицательной действительной частью, то еп представ ляет собой затухающие гармонические колебания; если параметр s имеет комплексное значение с положительной действительной частью, то est — расходящиеся гармонические колебания; нако нец, если s — действительное число, то est можно рассматривать как затухающие или расходящиеся гармонические колебания нулевой частоты. Таким образом, семейство показательных функ ций est с комплексным параметром s охватывает гармонические колебания всех возможных частот, как с постоянными амплиту дами, так и с амплитудами, изменяющимися со временем по экспоненциальному закону.
Из физических соображений ясно, что любая система, которую мы будем возбуждать гармоническими колебаниями, будет реа гировать на них тоже каким-то колебательным движением. Есте ственно определить такую характеристику линейной системы, кото рая сама не будет являться колебательным процессом, а будет характеризовать преобразование амплитуды и сдвиг фазы выход ных колебаний по отношению к входным. Чтобы получить такук> характеристику, можно разделить реакцию системы на само вход
ное показательное возмущение est, т. е. принять за характеристику линейной системы функцию
Z (t , S ) |
Atest |
(2.3.4) |
e*t |
Функцию z (t, s) мы будем называть характеристикой реакции линейной системы на показательное возмущение. Таким образом,
характеристикой реакции линейной системы на показательное возмущение называется отношение ее реакции на возмущение, представляющее собой показательную функцию времени, к этой показательной функции. В общем случае характеристика реакции линейной системы на показательное возмущение зависит не только от параметра s, но и от времени t.
В частном случае при чисто мнимых значениях параметра s мы получаем так называемую частотную характеристику линей ной системы:
*(*, М = |
А<еШ |
(2-3.5) |
Частотная характеристика линейной системы в общем случае также зависит не только от частоты, но и от времени.
На основании формулы (2.3.5) реакция линейной системы на гармонические колебания данной частоты со и единичной ампли туды еш равна произведению значения частотной характеристики
58 |
ГЛ . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
системы при данном значении частоты на входную функцию еш :
А геш = z (t, ію) еш . |
(2.3.6) |
Найдем теперь реакцию линейной системы на входные гармони ческие колебания произвольной амплитуды и фазы
X (t) = ае’^Н-'Р). |
(2.3.7) |
На основании принципа суперпозиции и формулы (2.3.6) выходная переменная системы при входном возмущении (2.3.7) определяется формулой
у (t) = A t {аеі(м<+Ф)} = ае^Аteiat =
= aei(P*z (t, tсо) еш = az (t, ію) e<(®t+«f). (2.3.8)
Частотная характеристика линейной системы в общем случае является комплексной функцией. Как и всякую комплексную вели чину, ее можно представить в показательной форме:
z{t, fco) = I z (t, ію) I e{ are |
*“>. |
(2.3.9) |
Подставляя это выражение в (2.3.8), получим
у (t) = а \ z (t, ісо) I exp {i [се£ + ф + arg z (t, ico)]}. (2.3.10)
Эта формула показывает, что линейная система реагирует на гармо нические колебания входной величины в общем случае колеба ниями переменной амплитуды
Ъ (t) — а I z (t, і<») I |
(2.3.11) |
и переменного сдвига фазы
Ф (0 = Ф + arg z (*> j®)- |
(2.3.12) |
Таким образом, модуль частотной характеристики линейной системы определяет изменение амплитуды колебаний данной частоты при прохождении их через эту систему, а аргумент частот ной характеристики определяет изменение фазы колебаний. А имен но модуль частотной характеристики представляет собой коэффи циент усиления амплитуды гармонических колебаний (в общем случае переменный) при прохождении их через линейную систему. Аргумент частотной характеристики представляет собой сдвиг фазы выходных колебаний по отношению к входным колебаниям. Вследствие этого модуль частотной характеристики линейной системы I z (і, ію) I обычно называется амплитудной частотной характеристикой системы, а аргумент частотной характеристики arg z(t, ію) — фазовой частотной характеристикой системы.
Пользуясь частотной характеристикой линейной системы, мы можем записать соотношение (2.3.3) между входной и выходной
§ 2.3. Р Е А К Ц И Я СИСТЕМ Ы НА П О К А ЗА ТЕ Л ЬН О Е В О ЗМ У Щ ЕН И Е |
59 |
переменными в следующем виде:
00 |
|
у (<) = j c(to)z(t, m)eia>td(x). |
(2.3.13) |
—оо
Сравним эту формулу с (2.2.3). Как в первом, так и во втором слу чаях за характеристику системы принимается некоторая функция
двух переменных: |
текущего времени t и |
какого-то параметра. |
В качестве такого |
параметра в формуле |
(2.2.3) принимается |
момент действия единичного импульса. В формуле (2.3.13) параме тром является круговая частота гармонических колебаний со. Для того чтобы воспользоваться формулой (2.2.3), необходимо знать только весовую функцию g (t, т) и само входное возмущение. Для того чтобы воспользоваться формулой (2.3.13), нужно сна чала найти преобразование Фурье с (ісо) входного сигнала х (t). Таким образом, для произвольных линейных систем применение частотных характеристик обязательно включает лишнюю опера цию перехода к преобразованию Фурье. Очевидно, что это будет общей закономерностью. Какими бы элементарными возмущениями мы ни пользовались, кроме б-функции, мы обязательно должны будем находить какое-то преобразование входного возмущения, а потом уже определять выходную переменную системы. И только использование в качестве элементарного возмущения б-функции дает существенное упрощение, так как при этом исключается необходимость дополнительного преобразования входного возму щения. Таким образом, для произвольных линейных систем при менение частотных характеристик нерационально. Только для систем с медленно изменяющимися параметрами, когда можно считать на значительных отрезках времени параметры системы постоянными, использование частотных характеристик может представить некоторые выгоды.
Сделаем еще одно замечание о частотных характеристиках и ха рактеристиках реакции линейных систем на показательное возму щение. Если рассматривать эти характеристики для произвольных моментов включения системы, то они будут зависеть еще от мо мента начала действия показательного возмущения t0 и, таким образом, будут фактически функциями трех аргументов: t, s, tQ, а не двух. Чтобы избежать этого усложнения, частотные характе ристики и характеристики реакции линейных систем на показатель ное возмущение обычно определяют для случая установившейся работы системы, т. е. такого режима работы, когда возмущение действует на систему неограниченно долго, т. е. для t0 = — оо. Это не мешает с помощью частотной характеристики находить реакцию системы на возмущения, действующие начиная с произ вольного момента времени t0. Для этого при определении преобра зования Фурье с (£©) входного сигнала х (t) следует положить функцию X (t) равной нулю при t < t0.
