ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 313
Скачиваний: 15
§ 2.1. Е Д И Н И Ч Н А Я И М П УЛЬСНАЯ Ф У Н К Ц И Я |
47 |
При малой длине интервалов А эта функция может быть принята приближенно совпадающей с данной функцией х (t). Чем меньше А, тем точнее будет совпадение. В пределе при А -> О ступенчатая функция хд (і) стремится к x(t). При этом функция бд(£ —т) стре мится к б-функции б (t — т), а сумма стремится к соответствую щему интегралу. В результате переход к пределу при А —>-0
в (2.1.19) дает формулу (2.1.17).
Формула (2.1.19) при любом А дает разложение соответствую щей ступенчатой функции хд (t) на прямоугольные импульсы дли тельности А. Следовательно, формула (2.1.17), являющаяся пре делом формулы (2.1.19) при А-*-0, дает разложение функции х (t) на мгновенные импульсы.
Для дальнейшего нам понадобится еще выразить импульсную б-функцию в форме интеграла Фурье. Для этого мы сначала пред ставим интегралом Фурье единичный прямоугольный импульс бд (t), определяемый формулой (2.1.18), а затем переходом к пре делу при А —>-0 получим искомое представление интегралом Фурье б-функции.
Из анализа известно, что любая абсолютно интегрируемая функция / (?) (т. е. такая функция, интеграл от абсолютной вели чины которой в бесконечных пределах имеет конечное значение) может быть представлена интегралом Фурье [50]
оо |
|
|
/(£)= j |
ф (со) |
(2.1.20) |
где |
ОО |
|
|
|
|
ф(со) = ^ |
^ / (т) e-ia>xdx. |
(2.1.21) |
|
—оо |
|
Подставляя в (2.1.21) выражение (2.1.18) прямоугольного им
пульса, |
будем иметь |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
2 |
|
1 |
е~іах |
_д |
|
|
ф Н |
е -ішт dx |
2 |
|
|
||||
|
2яА |
д5_ |
|
2яД |
(—гео) |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1(0А |
|
ісоА |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
е 2 |
— е |
2 |
s i n - ^ - . (2.1.22) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
яшА |
|
2г |
|
яшА |
|
Подставляя в (2.1.20) выражение (2.1.22) изображения Фурье прямоугольного импульса, получим
5а(0 = 2^г J еШ - ^ з і п ^-dco. |
(2.1.23) |
48 |
ГЛ . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
Переходя к пределу при А —ѵО и принимая во внимание, что
2 |
. соД |
. |
получим |
|
|
при этом ^ |
sin "2 — |
|
|
||
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
б (t) = |
j eiatdw. |
(2.1.24) |
|
|
|
|
—СО |
|
Эта формула дает разложение мгновенного единичного импульса на гармонические колебания всех возможных частот.
Заметим, что интеграл в (2.1.24) представляет собой расхо дящийся несобственный интеграл. Однако это не мешает формаль но пользоваться формулой (2.1.24) и получать правильные ре зультаты. В частности, для любой абсолютно интегрируемой функции X (t) выражение б-функции (2.1.24) можно формально подставить в формулу (2.1.17). Изменив после этого порядок ин тегрирования, получим на основании известной формулы Фурье в правой части х (t).
§ 2.2. Весовые функции линейных систем
Рассмотрим линейную систему с одним входом и одним выхо дом. Разложив действующее на линейную систему возмущение X (t) на элементарные импульсы, т. е. представив функцию х (t) в виде интеграла (2.1.17), воспользуемся принципом суперпози ции в интегральной форме (1.5.12). В данном случае параметром к является момент действия очередного элементарного импульса т,
X (t, к) = б (t — т), с (к) dk — X (т) dx.
Следовательно, на основании принципа суперпозиции (1.5.12)
реакция у (t) линейной системы на произвольное |
возмущение |
|
X (t) имеет вид |
оо |
|
|
|
|
|
y(t) = A x (t) — j х(т) At8(t — x)dx, |
(2-2.1) |
— оо
где индекс t у оператора А показывает, что этот оператор дейст
вует |
над функцией |
б (t — т), |
рассматриваемой как |
функция t |
при |
фиксированном |
значении |
т. Формула (2.2.1) |
показывает, |
что для нахождения реакции линейной системы на произвольное возмущение х (t) достаточно знать ее реакцию на единичный им пульс б (t — т), действующий на нее в произвольный момент т. Эта реакция зависит от переменных t и т, т. е. от момента дей ствия импульса т и текущего момента t:
g (t, т) = A t8 (t — т). |
(2.2.2) |
Функция g (t, т), определяемая формулой (2.2.2), является исчер пывающей характеристикой линейной системы и называется ее
весовой или импульсной переходной функцией. Таким образом,
§ 2.2. ВЕСО ВЫ Е Ф У Н К Ц И И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
49 |
весовая или импульсная переходная функция линейной системы представляет собой реакцию этой системы в момент t на единич ный импульс, действующий на систему в момент т.
Пользуясь понятием весовой функции, мы можем записать зависимость (2.2.1) между входной и выходной переменными
произвольной линейной системы в виде
оо
y(t)= j g(t, x)x(x)dx. |
(2.2.3) |
—оо |
|
Таким образом, оператор любой линейной системы может быть представлен в форме линейного интегрального оператора.
Выясним смысл термина «весовая функция». Для этого рас смотрим рис. 2.2.1, где единичный импульс, действующий на систему в момент г, изобра жен вертикальной стрелкой,
а кривая g (t, т) изображает реакцию системы на этот им пульс, т. е. ее весовую функ цию, рассматриваемую как функция t при данном фикси рованном значении т.
Согласно формуле (2.2.3) для определения значения выходной переменной линей ной системы в момент вре мени t необходимо значение
X (т), которое имело входное возмущение х (t) в момент т, умножить на ординату весовой функции g (t, т) при данном зна чении t (рис. 2.2.1) и все подобные произведения просуммиро вать. Таким образом, весовая функция g (t, т) характеризует «удельный вес» возмущения, которое действовало в момент вре мени т, в формировании выходной переменной системы в дан ный момент времени t. Этим и объясняется смысл термина «весо вая функция».
Весовая функция любой реально существующей системы равна нулю при значении второго аргумента, большем значения первого:
g (t, т) = 0 при %> t. (2.2.4)
Это свойство отражает тот факт, что никакая физическая система не может реагировать в данный момент на возмущение, которое будет действовать на нее позже. Это свойство мы будем называть
условием физической возможности системы *). Никакая система,4*
*) Чаще это условие называют условием физической осуществимости. Однако этот термин неточен, так как осуществимость предполагает умение эту систему сделать, а между тем далеко не всякую систему, удовлетворяю щую условию (2.2.4), можно осуществить техническими средствами.
4 Под ред. В. С. Пугачева
50 ГЛ . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
весовая функция которой не удовлетворяет этому условию, физи чески немыслима.
Теоретически мы можем рассматривать как физически возмож ные, так и физически невозможные системы. Более того, в общей теории линейных систем, как мы увидим ниже, большую роль играет один класс физически невозможных систем. Кроме того,, часто приходится проектировать системы для решения таких задач, которые не могут быть идеально точно решены физически возможными системами. В таких случаях приходится рассматри вать идеальные физически невозможные системы для оценки точ ности проектируемых физически возможных систем.
Рассмотрим теперь физически возможную линейную систему, находящуюся в покое до момента t0, предполагая, что возмуще ние X (t) действует на нее начиная с момента t0. Для такой системы в формуле (2.2.3) подынтегральная функция равна нулю при т < t0 и при т > t. Действительно, возмущение х (t) не действует на систему до момента t0, что равноценно предположению х (т) = О при т < t0. При г > t весовая функция g (t, т) равна нулю вслед ствие условия физической возможности (2.2.4). Следовательно, для физически возможной системы соотношение (2.2.3) между входной и выходной переменными переписывается таким образом:
(2.2.5)
Имея в виду, что в возмущение х (t) могут входить импульсы типа б-функции, условимся считать, что пределы интегрирования всегда включаются в интервал интегрирования, т. е. интеграл в (2.2.5) понимать как предел интеграла от t0 — е до t + е при е ->0.
Рассмотрим типовые идеальные системы, осуществляющие элементарные операции анализа.
1. Система тождественного преобразования, или, что одно и то же, идеальная следящая система, представляет собой такую систему, у которой выходная и входная переменные тождественно равны друг другу: у (t) == х (t). Сравнивая формулы (2.1.17)
и (2.2.3), видим, что весовая функция идеальной следящей системы есть б-функция:
gc (t, т) = б (t — т). |
(2.2.6) |
|
2. Идеальный экстраполятор представляет собой такую си стему, у которой выходная переменная опережает входную пере менную на заданный интервал времени а > 0 : у (t) = х (і + а). Для того чтобы найти весовую функцию идеального экстраполятора, заменим в формуле (2.1.17) t величиной t + а и сравним полученную формулу с (2.2.3). Тогда получим
g»(t, т) = б ( / - т - | - а ) = б ( « - ( т - а)). |
(2.2.7) |
