ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 312
Скачиваний: 15
§ 2.2. ВЕСО ВЫ Е Ф У Н К Ц И И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
51 |
Эта формула показывает, что идеальный экстраполятор реаги рует на единичный импульс, действующий в момент времени т, единичным импульсом в момент времени т — а, предшествующий моменту т. Следовательно, идеальный экстраполятор является физически невозможной линейной системой.
3. Идеальное запаздывающее звено получается из экстраполя-
тора при а < 0. Поэтому, полагая в (2.2.7) а = — I, получим весовую функцию запаздывающего звена:
g3 (t, т) = б (t — т — I) = 8 (t — (т + I)). |
(2.2.8) |
4. Безынерционный усилителъ производит усиление входной величины. При этом коэффициент усиления в общем случае может быть функцией времени. Таким образом, для безынерционного усилителя у (!) = к (t) х (t). Умножая формулу (2.1.17) на Лг и сравнивая результат с (2.2.3), видим, что весовая функция безинерционного усилителя имеет вид
gy (г, т) = к (t) 8 (г — т). |
(2.2.9)- |
5. Идеальное дифференцирующее звено. Его выходная перемен ная в каждый момент времени равна значению производной вход ной переменной по времени в тот же момент: у (t) = x' (t). Диф ференцируя формулу (2.1.17) по < и сравнивая результат с (2.2.3),. убеждаемся в том, что весовая функция идеального дифференци рующего звена определяется формулой
ёп (*, *) = б' i t - т). |
(2.2.10) |
Таким образом, весовая функция идеального дифференцирующегозвена представляет собой производную 8-функции.
6. Идеальное интегрирующее звено дает на выходе функцию
t |
|
у (г) = j X(т) dx. |
(2.2.11) |
to
Сравнивая эту формулу с (2.2.3), мы видим, что весовая функция идеального интегрирующего звена равна единице при t > т и нулю при t < т, т. е. представляет собой единичную ступен чатую функцию:
ёи (t, т) = 1 (t — т). |
(2.2.12) |
П р и м е р 2.2.1. Найдем в качестве примера весовую функцию объекта управления, представляющего собой двигатель, у которого управляющим входным сигналом является вращающий момент М, выходным сигналом — угловая скорость вала со, а сопротивление вращению вала пропорционально угловой скорости (0.
Обозначив момент инерции вала двигателя вместе с присоединенными к нему деталями через J , можно написать дифференциальное уравнение вра-
Щательпого движения вала: |
|
/ш = М — h(s>, |
(2.2.13) |
4«
52 |
Г Л . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
где has — момент сил сопротивления. Для определения весовой функции двигателя следует задать входной сигнал М в виде мгновенного единичного импульса Ö(г — т). Тогда выходной сигнал as по определению и будет пред ставлять собой искомую весовую функцию g (t, %). В результате для опреде ления весовой функции g (t, т) получим уравнение
Jg + h g = b ( t - i ) , |
(2.2.14) |
где точка означает дифференцирование по t, а т рассматривается как фикси рованный момент действия единичного импульса. Интегрируя уравне ние (2.2.14) и учитывая, что двигатель является физически возможной систе
мой, вследствие чего g (t, т) = |
0 при t < |
т, |
получим при |
t > т |
|
|
g(t, х) = е Т< Jf |
е~ ° б(стJ~ |
т) |
da = JJ- e |
j(t |
T>. |
(2.2.15) |
—оо |
|
|
|
|
|
|
П р и м е р 2.2.2. Если в условиях предыдущего примера за выходной |
||||||
сигнал двигателя принять угол |
поворота вала ф, то будем иметь |
со = <р, |
||||
и дифференциальное уравнение вращательного движения |
вала примет вид |
|||||
/ф |
+ Аф = М. |
|
|
|
(2.2.16) |
|
Для определения весовой функции зададим входной сигнал в виде единич ного импульса М = б (г — т). Тогда получим для весовой функции gt (t, т) дифференциальное уравнение
j ’gi + hgl = 6(t —x). |
|
|||
Интегрируя это уравнение, получим |
|
|
|
|
gi (Ц i) = g(t, *)= |
|
|
|
при |
|
1 |
— r(t - T) |
при |
|
|
|
-у- е |
|
|
1 |
Г |
—-r(o-t) |
1 |
|
gi {t, t) = J g(o, T)dn= JO-dcr + y |
Je |
J |
dcr= - j[l —e |
|
(2.2.17)
t < 1
t > т
_h_Q _ ^
J ]. (2.2.18)
to |
to |
T |
П р и м е р |
2.2.3. Объектом управления является цилиндрический нагре |
|
ватель (рис. 2.2.2). Нагреваемое вещество находится внутри цилиндра. Управ ляющим входным сигналом является количество тепла q (t), подводимое к единице площади внешней поверхности цилиндра в единицу времени. Целью управления является обеспечение заданного закона изменения температуры внутренней поверхности цилиндрической стенки нагревателя. Эта температу ра и является в данном случае выходным сигналом нагревателя.
Если толщина стенки нагревателя мала по сравнению с его диаметром, то можно пренебречь разностью площадей внешней и внутренней поверхно стей стенки. Тогда, если выбрать начало координат О на внешней поверхно сти стенки нагревателя и направить ось Ох по нормали к ней внутрь стенки (рис. 2.2.3), то закоп изменения температуры в стенке й (t, х) будет опре деляться одномерным уравнением теплопроводности (см., например, [63],
§ 2.2. |
ВЕСО ВЫ Е Ф У Н К Ц И И Л И Н Е Й Н Ы Х |
СИСТЕМ |
53 |
||
т. II, § 21) |
|
|
|
|
|
|
ÜL—Jl |
öx2 ’ |
|
(2.2.19) |
|
|
dt |
cp |
|
|
|
где к — удельная |
теплопроводность, |
с — удельная |
теплоемкость, |
а р — |
|
плотность материала стенки нагревателя.
Для полного описания процесса изменения температуры в стенке нагре вателя необходимо добавить к уравнению (2.2.19) граничные условия — урав нение подвода тепла к внешней поверхности стенки и уравнение отвода тепла от внутренней поверхности стенки:
g(t)
к
------ £ - # ( t , I), |
(2.2.20) |
где в дополнение к предыдущим обозначениям h — коэффициент теплопере дачи от стенки нагревателя к нагреваемому веществу.
Для определения весовой функции нагревателя следует принять входной сигнал q (t) равным б (г — т). Проинтегрировав уравнение (2.2.19) при гранич ных условиях (2.2.20) при q (t) = б (t — т), найдем весовую функцию нагре вателя как значение температуры О (f, х) на внутренней поверхности стенки:
g (t, т) = |
■&(г, I). |
|
|
|
|
|
|
Легко проверить непосредственной подстановкой, что уравнению (2.2.19) |
|||||||
и второму граничному |
условию |
(2.2.20) |
удовлетворяет |
функция |
|
||
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
■&(t, х) = ^ |
а (со) / (X, со) еші dco, |
|
(2.2.21) |
|||
где |
|
—ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
,/т — х - 1 |
----- |
- У |
х - і |
|
|
j (х\ |
У не-------- |
ко-------- |
(2.2.22) |
||||
со)г= (к "і/гсо—ah) е |
а + (к ~[/гео + ah) е |
|
“ , |
||||
аг = к/ср, а а (со) — произвольная функция. Этой произвольной функцией можно распорядиться так, чтобы удовлетворить и первому граничному усло вию (2.2.20). Полагая q (і) = б (t — т) и пользуясь представлением б-функции
ввиде интеграла Фурье (2.1.24), перепишем первое граничное условие (2.2.20)
ввиде
еш(і-т) do)-
2кк
54 ГЛ . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
Подставляя сюда выражение д&/дх, полученное дифференцированием форму
лы |
(2.2.21), |
будем иметь |
|
|
|
|
|
j a ( “ ) / i ( 0 . |
(a)eiatda> = — |
j e,w(< |
T) A b . |
Это |
условие |
обращается в |
тождество, если |
положить |
|
|
|
« (со)/; (0, со)----- -2НГ е“ ІС°Т- |
(2.2.23) |
||
Для определения /ж (0, со) продифференцируем формулу (2.2.22) по z и поло
жим после этого |
х — 0. |
Получим |
|
|
|
|
|
f'x (0, |
со)= — ер (іа) ~]/іа > |
(2.2.24) |
|
где для краткости |
положено |
|
|
|
|
I |
к _ |
\ |
Via— I |
k . _ \ |
-Уіш— |
ф(іш) = ^— V icü+ ä ) е ° — |
Vico — fej |
(2.2.25) |
|||
Подставляя выражение (2.2.24) в (2.2.23) и решая полученное уравнение относительно а (со), будем иметь
а (со) --------------- ------ у = г |
е ~ і ш . |
(2.2.26) |
|||
|
2яісф (ісо) ~(/іа |
|
|
||
Подставляя это выражение а (со) |
в (2.2.21), |
получим |
|
||
1 |
СО |
|
|
|
|
Г |
/(ж, со) |
в1®»“*) da. |
(2.2.27) |
||
' (t, x) = 2лк |
|||||
|
J |
ф (ісо) V ісо |
|
||
Наконец, для определения весовой функции положим в (2.2.27) х = I. Тогда,
принимая во внимание, что па основании (2.2.22) / (і, со) = 2fe ~(/ісо, получим для искомой весовой функции нагревателя формулу
*(*. *)= <>(*’ г> = іг J еІ0)(‘" Т) ФІЙ5)- • |
(2.2.28) |
— 00 |
|
Перейдем теперь к многомерным линейным системам, имеющим любое число входов и выходов.
На основании принципа суперпозиции действие каждого вход ного возмущения на многомерную линейную систему можно рас сматривать отдельно, а затем результаты действия отдельных возмущений на каждом выходе просуммировать.
Для изучения реакции на к-м выходе линейной системы на возмущение, действующее на одном только h-м входе, можно рас сматривать эту систему как систему с одним входом и одним выхо дом. Тогда для вычисления реакции на к-м выходе линейной си стемы на любое возмущение, действующее на h-м входе, достаточно будет знать соответствующую весовую функцию ghh (£» *)• Эта весовая функция представляет собой реакцию на к-м выходе
§ 2.2. ВЕСОВЫЕ Ф У Н К Ц И И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
55 |
линейной системы на единичный импульс, действующий на h-м входе в момент т при отсутствии возмущений на остальных входах.
Совокупность |
весовых функций |
g^u (t, т) (к — 1, . . |
т; h = |
= 1, . . п), |
соответствующих |
всем входам и всем |
выходам, |
является исчерпывающей характеристикой многомерной линей
ной системы.
Зная весовые функции многомерной линейной системы, соот ветствующие всем входам и выходам, можно для вычисления ее реакции на каждом выходе на возмущение, действующее только на каком-нибудь одном входе, применить формулу (2.2.3) или (2.2.5) (для физически возможных систем). Суммируя получен ные результаты для каждого отдельного выхода по всем входам, найдем все выходные переменные рассматриваемой линейной ■системы, соответствующие одновременному действию любых воз мущений на всех ее входах.
Таким образом, изложенная теория применима как к одно мерным, так и к многомерным линейным системам.
Согласно изложенному выходные переменные линейной систе мы, имеющей п входов и т выходов, выражаются через ее весовые
функции ghh (t, т) |
(к = 1, . . ., пг; |
h = 1, . . ., га) |
формулой |
i |
Shh (t, x) xh (т) dx |
(k = l , . . . , m ) . |
(2.2.29) |
h=1 —oo |
|
|
|
Для физически возможных линейных систем все весовые функции равны нулю при т >» t. Поэтому для физически воз можной многомерной линейной системы, находящейся в покое до момента t0, подынтегральные функции в (2.2.29) равны нулю при т < t0 и при т вследствие чего формула (2.2.29) может быть переписана в виде
пX
Ун{і) = У1 |
j ghh (t, |
т) Xh (т) dx |
( k = l , . . . , m ) . |
(2.2.30) |
||||
/1 = 1 |
to |
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что если ввести матрицу весовых функций |
|
|||||||
|
gll (t, |
х) |
g i2 (t,x) . |
• |
g i n |
(t , |
T) |
|
g ( t , т) = |
ga (*. |
х) |
gzz ( t , T) . |
• |
g zn |
(it, |
T) |
(2.2.31) |
|
g m l |
't) |
g m 2 (t I T) • |
• |
g m n (£> t) |
|
||
и векторные входной и выходной сигналы х (t) и у (t) с составляю щими Хі (і), . . ., хп (t) и г/i (t), . . ., ym (t) соответственно, то формулы (2.2.29) и (2.2.30) можно коротко записать в виде (2.2.3) и (2.2.5). Таким образом, формулы (2.2.3) и (2.2.5) справедливы для систем с любым числом входов и выходов.
