ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 315
Скачиваний: 15
60 |
ГЛ . 2, Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
Весовая функция, как мы видели, является полной, исчерпы вающей характеристикой линейной системы. Частотная характе ристика и характеристика реакции системы на показательное воз мущение также являются исчерпывающими характеристиками линейной системы. Естественно возникает мысль, что между весо вой функцией и частотной характеристикой или характеристикой реакции системы на показательное возмущение должна существо вать связь. Чтобы найти эту связь, достаточно вычислить реакцию системы на показательное возмущение с помощью весовой функ ции по формуле (2.2.3):
оо |
|
A test = J g(t, т)esxdx. |
(2.3.14) |
—ОО |
|
Чтобы получить характеристику реакции системы на показатель ное возмущение, нужно полученный интеграл разделить на вход ное возмущение ен . Тогда получим
00 |
оо |
|
z (^ s) = lir j |
T)eazdx= j g(t, t ) е~^~хЫх. |
(2.3.15) |
—oo —oo
Для физически возможной системы формула (2.3.15) приобретает
вид
1
z(t,s)=: j g(t, х)е-^г~хЫх. |
(2.3.16) |
—оо
Полагая в формулах (2.3.15) и (2.3.16) s — газ, получим выраже ние частотной характеристики через весовую функцию. В резуль тате частотная характеристика физически возможной линейной системы выразится формулой
і |
|
z(t, газ) = j g(t, х)е-™«-хЫх. |
(2.3.17) |
— ОО
Выразим теперь весовую функцию линейной системы через частотную характеристику.Для этого нужно разложить 6-функцию на элементарные гармонические колебания. Согласно формуле
(2.1.24)
'оо
6 (і— т) = -7^ j еі<0(*~х) da. |
(2.3.18) |
—оо
Сравнивая эту формулу с общей формулой (2.3.1) интеграла Фурье, приходим к заключению, что преобразование Фурье 6-функции определяется формулой
—ісот |
(2.3.19) |
§ 2.4. С ТА Ц И О Н А РН Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМ Ы |
61 |
Подставляя это выражение в формулу (2.3.13), выразим реакцию системы на б-функцию, т. е. ее весовую функцию, через частотную характеристику:
СО
g(t, т) = 2 ^- j z(t, т) |
t) do). |
(2.3.20) |
—00 |
|
|
Таким образом, зная весовую функцию системы, можно опре делить ее характеристику реакции на показательное возмущение и частотную характеристику, и, наоборот, зная частотную харак теристику системы, можно определить ее весовую функцию.
Заметим, что установившийся режим колебаний под действием гармонических входных колебаний существует не для всех линей ных систем, а только для устойчивых систем (определение устой чивости см. в гл. 6). Вследствие этого формулы (2.3.13) и (2.3.20) применимы только к устойчивым линейным системам.
Совершенно так же определяются характеристики реакции многомерной линейной системы на показательные возмущения, действующие на различных входах, и ее частотные характеристики. При этом характеристики реакции системы на показательные воз мущения и частотные характеристики связаны с соответствующими весовыми функциями теми же формулами (2.3.16), (2.3.17)
и (2.3.20).
§ 2.4. Стационарные линейные системы. Передаточная функция и частотная характеристика стационарной линейной системы
Изучим подробнее стационарные линейные системы. На основа нии определения стационарной системы реакция стационарной линейной системы на единичный импульс зависит только от интерва ла времени между моментом действия импульса т и данным момен том t. Иными словами, весовая функция стационарной линейной системы зависит только от разности аргументов t — т:
g (t, х) — w (t — т). |
(2.4.1) |
Вследствие этого формула (2.2.5) дает следующее выражение для реакции физически возможной стационарной линейной системы на любое возмущение х (і):
t |
|
y (t)~ j w (t — т) X (t) dx. |
(2.4.2) |
—oo
Для общности мы полагаем нижнийпредел интегрирования равным
— оо, чтобы охватить случай неограниченно долго действующих возмущений. В частном случае, когда возмущение начинает
62 |
ГЛ. 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ |
|
||
действовать |
на |
систему в |
момент t0, в формуле (2.4.2) |
следует |
положить X (т) = |
0 при т < |
t0. |
t — тг |
|
Производя в формуле (2.4.2) замену переменных £ = |
||||
приведем ее к виду |
|
|
||
|
|
оо |
|
|
|
|
y ( t ) = j |
w(Qx(t —|)d |. |
(2.4.3) |
о
Найдем характеристику реакции физически возможной стацио нарной линейной системы на показательное возмущение. Под ставляя выражение (2.4.1) в общую формулу (2.3.16), получим
( |
|
z (t, s) = j w{t — т) e-s(<-T>dT. |
(2.4.4) |
—оо
Замена £ = t — т приводит эту формулу к виду
ОО
z (t, s) = j w(l)e~sZdl. |
(2.4.5) |
о
Правая часть этой формулы не зависит от времени t. Следова тельно, для любой стационарной линейной системы характеристи ка реакции на показательное возмущение, и в частности, частот ная характеристика, не зависит от времени и представляет собой некоторую функцию параметра показательной функции s. Мы обозначим эту функцию через Ф (s). Тогда формула (2.4.5) примет вид
ОО |
|
Ф(*)= j w( l) e - *dl . |
(2.4.6) |
u |
|
В частном случае при s — гео получаем частотную характеристику стационарной линейной системы
ОО |
|
Ф (гео) = j w (I) е ~^ dl. |
(2.4.7) |
и |
|
Согласно определению характеристики реакции линейной системы на показательное возмущение установившаяся реакция ста ционарной линейной системы на показательное возмущение est представляет собой произведение
у (t) = Ф (*) ел . |
(2.4.8) |
Таким образом, показательные функции времени проходят через стационарную линейнун систему, не изменяя своей формы,.
§ 2.4. с т а ц и о н а р н ы е : л и н е й н ы е : с и с т е м ы |
63 |
а только умножаясь на постоянный коэффициент Ф (s), завися щий от параметра показательной функции. Функции, обладаю щие таким свойством, называются инвариантными функциями линейной системы. Формула (2.4.8) показывает, что показательныефункции являются инвариантными функциями для любой стацио нарной линейной системы. Множитель, на который умножается показательная функция est, проходя через стационарную линей ную систему, естественно назвать передаточной функцией системы. Вследствие того что семейство показательных функций является общим семейством инвариантных функций для всех стационарных линейных систем, передаточные функции особенно удобны для исследования стационарных линейных систем.
Заметим, что для некоторых классов нестационарных линей ных систем тоже можно определить инвариантные функции, кото рые при прохождении через систему не изменяют своей формы,, а лишь умножаются на соответствующие постоянные множители. Рассмотрим в качестве примера систему, поведение которой описы вается линейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами
2 |
ah(t)yM= |
2 |
bh(t)xW. |
h=0 |
|
4=0 |
|
Положив у — %х, где X — постоянный коэффициент, получим следующее уравнение для определения инвариантной функции X (t) рассматриваемой системы:
П
|
|
|
2 |
[kah( t ) - b k (t)]xm(t) = 0. |
|
||
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
По |
теореме |
существования решений дифференциальных уравне |
|||||
|
fc |
|
решение (и |
не одно), |
если функция |
||
ний |
это уравнение имеет |
||||||
Xan (t) — bn(t) |
нигде |
не |
обращается |
в нуль на |
действительной |
||
оси. Изменяя параметр X, мы получим семейство инвариантных функций рассматриваемой системы.
Однако, как легко понять, разные нестационарные линейные системы в общем случае имеют различные инвариантные функции, и пока еще не удалось найти достаточно широкого класса неста ционарных систем, которые имели бы общее семейство инвариант ных функций. Вследствие этого попытки распространения на неста ционарные линейные системы простых алгебраических методов, основанных на использовании передаточных функций, которые ока зались весьма плодотворными в теории стационарных линейных систем, пока еще не увенчались успехом.
Так как частотная характеристика стационарной линейной системы Ф (ісо) не зависит от времени, то и ее амплитудная и фазо вая частотные характеристики | Ф (ісо) | и arg Ф (гео) не зависят
64 |
ГЛ . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
от времени. Поэтому, как показывает формула (2.3.10), стацио нарная линейная система реагирует на бесконечно долго действую щие гармонические колебания входной переменной с амплитудой а и фазой ер гармоническими колебаниями выходной переменной с той же частотой, амплитудой
Ъ = а I Ф (ісо) I |
(2.4.9) |
и фазой |
(2.4.10) |
ф = ф + arg Ф (ісо). |
Таким образом, амплитудная частотная характеристика стацио нарной линейной системы представляет собой коэффициент изме нения амплитуды гармони-
щФ(Ш>0 |
ческих колебаний при про |
||
|
хождении их через данную |
||
|
систему, т. е. отношение |
||
|
амплитуды гармонических |
||
|
колебаний выходной пере |
||
argФ(Ш |
менной к амплитуде гар |
||
монических |
колебаний |
||
|
|||
Рис. 2.4.1.' |
входной переменной. Фа |
||
|
зовая частотная характери |
||
агдФ(іш)<0 |
стика стационарной линей |
||
|
ной системы |
представляет |
|
|
собой сдвиг фазы выход |
||
t |
ных гармонических колеба |
||
ний по отношению к вход |
|||
|
ным гармоническим коле |
||
Iarg Ф(іа»\ |
баниям. При этом, если |
||
Рис. 2.4.2. |
фазовая частотная харак |
||
теристика arg Ф (ісо) поло |
|||
|
жительна, то колебания на |
||
выходе системы опережают по фазе входные колебания на вели чину arg® (ісо) (рис. 2.4.1); если фазовая частотная характеристика отрицательна, то колебания на выходе системы отстают по фазе
от входных колебаний на величину |
| arg Ф (ію) | (рис. 2.4.2). |
|
Найдем передаточные функции идеальных систем, осуществляю |
||
щих |
основные операции анализа, рассмотренных в § 2.2. |
|
1. |
Идеальная следящая система |
при входной функции est |
дает на выходе ту же функцию est. Следовательно, передаточная функция идеальной следящей системы тождественно равна еди
нице: |
(2.4.11) |
Фс (s) = 1. |
2. Идеальный экстраполятор при входной функции est дает
на выходе е8й+а\ Следовательно, |
его передаточная функция равна |
|
Фэ (s) = eas |
(а > 0). |
(2.4.12) |
