ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 320
Скачиваний: 15
70 Г Л . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
измерения усиления применяются также более крупные единицы:
декабелы, гектобелы, килобелы и т. д. — и более мелкие единицы: децибелы, сантибелы, миллибелы и т. д. В автоматике и радиотех нике принято измерять усиление в децибелах (дБ).
Так как мощность сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды (например, мощность электрического тока пропорцио нальна квадрату силы тока), то при усилении амплитуды колебаний данной
системой, |
равном |
1 |
белу, |
величина |
lg I Ф (іа) |
I 2 = 2 |
lg |
I Ф (ісо) I |
равна |
единице, при усилении, равном 2 бе лам, эта величина равна 2 и т. д. Сле довательно, усиление амплитуды коле
баний данной системой, |
выраженное |
в белах, численно равно 2 |
lg | Ф (ісо) |, |
а усиление, выраженное в децибелах, численно равно 20 lg | Ф (гео) |. Поэтому при практическом построении логариф
мических частотных характеристик обычно откладывают по оси ординат прямо величину 20 lg | Ф (г со) |, которая выражает уси ление в децибелах.
Изменение частоты в 2 раза обычно называется, согласно при нятой в акустике терминологии, изменением частоты на октаву. Изменение частоты в 10 раз называют изменением на декаду.
Величина |
|
L (со) = 20 lg I Ф (іа) I, |
(2.4.26) |
рассматриваемая как функция величины lg со, называется лога рифмической амплитудной частотной характеристикой системы.
Величина
ф (со) = arg Ф (ісо), |
(2.4.27) |
рассматриваемая как функция величины lg со, называется лога рифмической фазовой частотной характеристикой системы.
В §§ 4.5 и 4.7 читателю станет ясно, почему логарифмические частотные характеристики особенно удобны для исследования ста ционарных линейных систем.
Комплексное число Ф (ісо) при каждом данном значении частоты со можно изобразить вектором на комплексной числовой плоскости (рис. 2.4.6). При изменении частоты со конец этого век тора опишет кривую, которая называется годографом частотной характеристики или амплитудно-фазовой характеристикой си стемы.
Амплитудно-фазовая характеристика системы представляет собой графическое изображение зависимости между амплитудной частотной и фазовой частотной характеристиками системы | Ф(ссо) | и ф (со) в полярной системе координат.
§ 2.4. СТА Ц И О Н А РН Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМЫ |
71 |
При использовании логарифмических частотных характеристик |
|
амплитудно-фазовую характеристику системы удобнее |
строить |
в декартовых координатах, откладывая по осям координат вели
чины |
L (со) в децибелах |
и |
|
||
ф (со) в градусах (рис. 2.4.7). |
|
||||
Комплексное число Ф (гео) |
|
||||
можно |
выразить |
также |
в |
|
|
обычной |
алгебраической |
|
|||
форме: |
|
|
|
|
|
Ф (іео) = |
Р (со) |
+ iQ (о»), |
|
|
|
|
|
|
(2.4.28) |
|
|
где Р (со) |
и Q (со) — действи |
|
|||
тельные функции частоты со. |
|
||||
Функция |
Р (ю) |
называется |
Рис. 2.4.7. |
||
действителъной |
частотной |
частотной характеристикой |
|||
характеристикой, а Q (со)— мнимой |
|||||
системы.
Подставляя выражение (2.4.28) в (2.4.25) и пользуясь известной формулой Эйлера, получим
оо
ИЕ) = -^ г 5 |
+ |
+ i sin со|) cko= |
—оо |
|
|
1 |
ОО |
|
j |
[Р (со) cos cog — @(со) sin cog] dco-f- |
|
2л |
- 00 |
|
|
|
|
+ 3 J- |
j [P (co)sincog-|-@(co)coscog]dco. (2.4.29) |
|
|
|
—oo |
Но весовая функция w (g) действительна. Следовательно, ее мни мая часть равна нулю, и мы можем переписать полученную фор мулу в виде
ОО |
|
ср(£) = -^- j [Р (со) cos cog — <2 (со) sin cog] dco. |
(2.4.30) |
—оо
Заметим теперь, что для физически возможной системы w (g) = = 0 при I < 0. Следовательно, полагая g > 0 и заменяя в (2.4.30) g на — I, можем написать
0 = 2Г J [/» И cos <06+ 0 (со) sin cog] d(o. |
(2.4.31) |
72 Г Л . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
Складывая эту формулу с (2.4.30), получим
СО |
|
|
w (5) = 4 ' J ^(® )c°scoSAo |
ß > 0 ) . |
(2.4.32) |
—oo
Совершенно таким же образом, вычитая (2.4.31) из (2.4.30), полу чим
|
Я. |
оо |
|
|
»(!) = — |
f Q (со) sin со£ da |
(£>0). |
(2.4.33) |
|
|
—Jсх> |
|
|
Формулы (2.4.32) и (2.4.33) показывают, что физически воз можная стационарная линейная система полностью характери зуется одной своей действительной частотной характеристикой или одной мнимой частотной характеристикой. Зная действитель ную или мнимую частотную характеристику такой системы, можно найти по формуле (2.4.32) или (2.4.33) ее весовую функ цию, а следовательно, и любые другие характеристики.
Действительная и мнимая частотные характеристики системы связаны с ее амплитудной и фазовой частотными характеристика ми очевидными соотношениями (рис. 2.4.6):
Р (со) = I Ф (іа) I cos ф (со), Q (со) = I Ф (ісо) I sin г[з (со), (2.4.34) 1Ф (гео) \Z = P2(ю) + <?2 (ю), Ф (со) = a r c t g • (2.4.35)
При этом следует иметь в виду, что во второй формуле (2.4.35) сле дует взять значение арктангенса в первой четверти, если Р (со) >
> 0 , Q (со) > 0 |
; |
во второй четверти, |
если Р (со) < 0, |
Q (со) > 0 ; |
|
в третьей четверти, если Р (со) < 0, |
Q (со) •< 0, |
и в |
четвертой |
||
четверти, если |
|
Р (со) > 0 , Q (со) < 0 . |
Это легко |
видно непосред |
|
ственно из рис. 2.4.6.
Многомерная стационарная линейная система полностью харак теризуется частотными характеристиками, определяющими про хождение гармонических колебаний от различных входов к раз личным выходам. При этом частотная характеристика многомер ной системы, соответствующая h-жу входу и к-му выходу, опреде ляет изменение амплитуды (усиление) гармонических колебаний и сдвиг фазы при прохождении их от h-го входа к к-му выходу при отсутствии возмущений на всех остальных входах.
§ 2.5. Определение характеристик стационарных линейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями
Рассмотрим подробнее стационарные линейные системы, пове дение которых описывается обыкновенными дифференциальны ми уравнениями. Сначала докажем, что любая система, поведение которой описывается линейным дифференциальным уравнением
§ 2.5. СИСТЕМ Ы , ОПИСЫ ВАЕМ Ы Е Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц . У РА В Н Е Н И Я М И 73
с постоянными коэффициентами, является стационарной линей
ной системой.
Пусть X — входная переменная системы, а у — ее выходная переменная, связанная с входной переменной х линейным диффе
ренциальным уравнением |
с |
постоянными |
коэффициентами |
||||||||
d n y , |
d n - i y |
, |
, |
|
d y , |
|
|
|
|
|
|
й п d tn |
f |
a n - l d tn - i + • • • + |
a i - r f f + |
a oУ = |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
d m x |
I и |
|
d m - i x |
, |
■ + |
dx |
-b0x. |
(2.5.1) |
|
|
— b m |
d m |
^ m ~ 1 |
d t m~1 |
* |
dt |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
Из теории дифференциальных уравнений известно, что в случае, когда правая часть линейного уравнения, равная в данном случае
d”іх |
b, |
dm~lx |
+ Ьі -ІГ + М . (2.5.2) |
/ (*) = Ът dm |
1 dm~i ' |
представляет собой сумму нескольких слагаемых, интеграл этого уравнения равен сумме интегралов, соответствующих отдельным слагаемым в правой части. При умножении правой части на по стоянную интеграл линейного дифференциального уравнения умножается на ту же постоянную. Это означает, что для системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением, выпол нены условия (1.5.2) и (1.5.3), т. е. справедлив принцип супер позиции. Следовательно, любая система, поведение которой описывается линейными дифференциальными уравнениями (без различно, с постоянными или переменными коэффициентами), линейна.
Далее, рассматриваемая система стационарна, так как вслед ствие постоянства коэффициентов уравнения (2.5.1) реакция этой системы на любое возмущение, изменяющееся по заданному зако ну, не зависит от момента начала действия этого возмущения.
Для определения передаточной функции системы, описывае мой уравнением (2.5.1), следует, согласно определению, найти реакцию этой системы на возмущение, представляющее собой пока зательную функцию
X (t) = est. |
(2.5.3) |
Для этого необходимо проинтегрировать уравнение (2.5.1) для случая X (t) = est. Дифференцируя формулу (2.5.3), находим
dx |
et |
|
d*x |
2 51 |
|
dt |
~ |
’ |
dt* - |
S e |
|
и вообще |
|
|
|
|
|
= |
skest |
|
(k = l , . . . , m ) . |
(2.5.4) |
|
dth
74 ГЛ . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
Подставляя полученные выражения в правую часть уравнения (2.5.1) и вынося за скобки показательную функцию, получим
dny |
dn~l y |
dy |
, |
|
an -j^r + an-i |
din - i + |
■■■ + ai |
~r a0y — |
|
|
= |
(bmsm-f- 5m-ism 1 |
bis -f- bo) est. (2.5.5) |
|
Как известно из теории дифференциальных уравнений (см., на пример, [68]), если правая часть линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами представляет собой показательную функцию, умноженную на постоянную величину, то частный интеграл этого уравнения следует искать в виде произ ведения той же показательной функции на некоторую другую постоянную, если только параметр показательной функции s не
является корнем характеристического |
уравнения |
|
апѵп + fln.jV"-1 + . . . + |
ßiv + а0 = 0. |
(2.5.6) |
Следовательно, предполагая это условие выполненным, мы можем искать частный интеграл уравнения (2.5.5) в виде
|
у = |
cest, |
|
(2.5.7) |
где с — неизвестная постоянная. Подставляя выражение |
(2.5.7) |
|||
в уравнение (2.5.5) и имея в виду, что |
|
|
||
= |
|
(А = 1, ... , |
л), |
(2.5.8) |
получим |
|
|
|
|
(ansn + ап_!Sn_1 + . . . + |
ats + |
а0) cest = |
|
|
= (Ьга*™+ |
bm. ls |
+ . . . + |
bis + Ь0) est. |
(2.5.9) |
Сокращая это уравнение на показательную функцию и решая отно сительно с, получим
_ |
frmsm + |
frm-lsm-1+ • • • + М + |
Ь0 |
' |
/о с: |
л |
|
л\ |
|||||
— |
a„s" + |
afl_ 1s « - i + . . . + a 1s + a 0 |
|
\ |
) |
|
Подставляя это выражение в (2.5.7), найдем частный интеграл уравнения (2.5.5):
bms™ + bm-i*”l~1+ - - - + b i s + b0 |
(2.5.11) |
ansn+ an-lsTl-1+ • • • + al*+ a0 |
|
Эта формула определяет реакцию рассматриваемой системы на по казательное возмущение est. Для определения передаточной функ ции системы остается разделить выражение (2.5.11) на est. Тогда получим
,.,(ч |
bro«m+bw-i«”|-1+ - - - + bi»+bo . |
(2.5.12) |
' |
«nsn + an - lsn_1+ • •■ + als + a0 |
