Файл: Основы автоматического управления..pdf

624 ГЛ . І5. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

Оптимальная система в данном случае может быть представле­ на в виде N линейных систем с общим входом, выходные пере­ менные которых подаются на входы нелинейного безынерционного устройства, вырабатывающего определенную функцию Хо

(рис. 15.2.1).

Так как метод предыдущего параграфа дает оптимальную систему только в случае, когда входной полезный сигнал <р (т, U)

Рис. 15.2.1.

может быть представлен в интервале наблюдения разложением

ставлены в интервале наблюдения разложениями по координат­ ным функциям помехи

оо

которые вытекают из (15.1.16), (15.2.1) и (15.2.5). Условия (15.1.16)

и(15.2.10) обычно всегда выполняются в задачах практики.

Пр и м е р 15.2.1. Найти оптимальную систему для экстраполяции полезного сигнала, представляющего собой линейную функцию времени, по критерию минимума вероятности того, что ошибка превзойдет по абсолютной величине данную величину а, если помеха X (г) независима от полезного сигнала, распределена нормально и имеет тождественно равное нулю мате­ матическое ожидание и корреляционную функцию

Начальное значение Uj сигнала в момент t — 0 и скорость его изменения U% являются нормально распределенными случайными величинами с математи­ ческими ожиданиями, равными нулю.

Интегральные уравнения (15.2.3), определяющие весовые функции g(1>и g<2\ имеют вид (14.4.56). Эти уравнения были решены в примере 14.4.2. Их реше­ ние определяется формулами (14.4.57). Величины btl, bi2 и Ь22 для этого случая определяются формулами (14.4.58). Таким образом, для полного решения задачи остается найти минимум интеграла (15.2.7). Так как в дан­ ном случае функция потерь на основании изложенного в § 13.2 определяется формулой (15.1.40) и случайные величины І/ 4 и U2 распределены нормально, то интеграл (15.2.7) имеет вид

1 (%, Чі, і)2) = У Сі1^ 2~ - ^ j j ехР ^ Ді11! + T}2u2

— 2 (cii + &n) ul — (ci2 + &12) uiu2 — 2 (c22 + ^22) u\ / duidu2. (15.2.12)

Для нахождения минимума интеграла (15.2.12) можно применить обычный метод нахождения минимума функций. Для этого следует определить явно

пределы интегрирования и приравнять нулю производную полученного инте­ грала по величине у. Полученное в результате уравнение и определяет вели­ чину у.о как функцию t, т]і и т)2. Однако в данном случае минимум интеграла (15.2.12) можно паити значительно проще, пользуясь чисто вероятностными соображениями. А именно интеграл (15.2.12) пропорционален вероятности непопадания случайной точки (Ult U2) в полосу, определяемую неравен­ ствами (рис. 15.2.2)

при нормальном законе рассеивания. Но эта вероятность имеет минимальное значение в случае, когда центр рассеивания лежит в середине полосы. Таким образом, значение у0 величины 7 , при котором интеграл (15.2.12) имеет минимальное значение, определяется условием, чтобы центр рассеивания лежал на прямой

Но центр рассеивания есть точка, в которой нормальная плотность вероят­ ности имеет максимум. Следовательно, для определения координат центра

40 Под ред. в. С. Пугачева

626 Г Л . 15. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

рассеивания ц(, ц2 достаточно приравнять нулю частные производные показа­ теля степени в (15.2.12) по щ и и2 при щ — , и2 — Рг- В результате полу­ чим уравнения

Решив эти уравнения и подставив полученные выражения в (15.2.14) вме­

Так как уравнения (15.2.15) линейны относительно ц, и ц2, то они определяют Рі и р2 как линейные комбинации величин %, т]2. Подставляя эти линейные комбинации в (15.2.16), получим %0 как линейную комбинацию т]і, т)2:

Для определения величин Â, и ?.2 достаточно подставить в (15.2.17) выраже­ ния тц, т)2 из (15.2.15) и сравнить коэффициенты .при ц, и ц2 в полученном выражении и в выражении (15.2.16). Тогда получим следующие уравнения

лой (15.2.17). Следовательно, выходной сигнал оптимальной системы согласно (15.2.9) определяется формулой

1

W*(t)= j lXl (t)g ^ ( t,x ) + X2(t)g^(t,T)]Z(T)dx. (15.2.19) t- T

Эта формула показывает, что оптимальная система в данном случае линейна и имеет весовую функцию

е (t, Т) = X, (г) (г, т) + Х2 (г) (t, т). (15.2.20)

Величины %і и %2 здесь зависят от времени t, вследствие того что коэффициен­ ты Ьп , Ь12, Ъ22 уравнений (15.2.18), определяемые формулами (14.4.58), и правая часть второго уравнения (15.2.18) являются функциями времени. Сравнивая полученные результаты с результатами примера 14.4.2, убеж­ даемся в том, что найденная оптимальная система совпадает с оптимальной линейной системой, найденной по критерию минимума средней квадратиче­ ской ошибки в примере 14.4.2. Таким образом, при нормальном законе рас­ пределения полезного сигнала и помехи оптимальная линейная система, найденная по критерию минимума средней квадратической ошибки в при­ мере 14.4.2, является в то же время наилучшей и с точки зрения обеспечения минимума вероятности ошибки, превосходящей по абсолютной величине данную величину а, среди всех возможных систем.

6 2 8 ГЛ . 15. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О П ТИ М А Л ЬН Ы Х Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

ожидание требуемого выходного сигнала W. Вычисление этого условного математического ожидания в каждом конкретном случае производится по формуле (15.3.4).

Если требуемый выходной сигнал W (t) является линейной функцией параметров Ult . . ., UN:

N

согласно той же формуле (15.3.5) представляют собой оптимальные оценки параметров Uu . . ., UN по критерию минимума средней квадратической ошибки. Следовательно, для нахождения оценки сигнала, представляющего собой линейную функцию параметров Uи . . ., U jv, по критерию минимума средней квадратической ошибки достаточно найти оценки U*, . . ., ^парам етров Uu . . .

Если и входная функция Z зависит линейно от параметров Ui, . . ., UN и априорное распределение этих параметров нор­ мально, то вследствие (15.2.2) и (15.2.4) формула (15.1.25) дает

дания в формуле (15.3.8) могут быть определены из условия

где mu . . ., m N — априорные математические ожидания случай­ ных величин Uи . . UN соответственно.

Приравнивая нулю частные производные показателя степени в (15.3.10) по ии . . Ujv, получим следующую систему алгебраи­