ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 323
Скачиваний: 15
80 ГЛ . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
инерционным звеном первого порядка. Звено, передаточная фун
кция |
которого определяется последней формулой (2.6.2) |
при |
||
I £ I |
< 1, называется колебательным звеном. Условие |
| £ |
| < |
1 |
необходимо для того, чтобы квадратный трехчлен ГѴ + |
2t,Ts + |
1 |
||
имел |
комплексные корни. |
|
|
|
Из (2.6.1) и (2.6.2) следует, что передаточные функции диффе ренциатора и форсирующих звеньев первого и второго порядка при к = 1 являются обратными величинами по отношению соответ ственно к передаточным функциям интегратора, апериодического
и запаздывающего звеньев. Вследствие этого логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики первых трех звеньев только знаками отличаются от соответствующих харак теристик остальных трех звеньев. Поэтому достаточно изучить только три последних звена и запаздывающее звено.
Имея в виду, что наиболее удобным практическим методом исследования стационарных линейных систем является метод логарифмических частотных характеристик, найдем амплитудно фазовые и логарифмические частотные характеристики интегра тора, апериодического, колебательного и запаздывающего звеньев.
Согласно формуле (2.4.18) амплитудно-фазовой характеристи кой идеального интегратора является мнимая ось. Логарифмиче ские амплитудная и фазовая частотные характеристики опреде ляются формулами
Ln (со) = —20 lg со, Ы ю ) = — |
(2.6.3) |
Таким образом, логарифмическая амплитудная характеристика интегратора представляет собой прямую с отрицательным накло ном 20 дБ/дек, пересекающую ось абсцисс при частоте са = 1, а фазовая характеристика — прямую, параллельную оси абсцисс
(рис. 2.6.1).
§ 2.6. Э Л Е М Е Н Т А РН Ы Е СТА Ц И О Н А РН Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е З В Е Н Ь Я |
81 |
Перейдем к апериодическому звену. Величины к и Т в третьей формуле (2.6.2) называются соответственно коэффициентом уси ления и постоянной времени апериодического звена.
Для определения частотной характеристики апериодического звена положим в третьей формуле (2.6.2) s = і со. Тогда получим
Фа (ІС°) = Гіш + І ~ к Т + Ш ? ~ |
|
= — к —еѵр {— iarctgLco). |
(2.6.4) |
Ѵ і + Г2й)2 |
Ѵ ' |
Отсюда находим амплитудную и фазовую частотные характеристи ки апериодического звена
(со) = |
, фа (со) — arctg Т(й |
(2.6.5) |
и его логарифмическую амплитудную частотную характеристику:
La (со)= 20 lg к —20 lg V 1 + Г2со2. |
(2.6.6) |
На рис. 2.6.2 представлена половина амплитудно-фазовой характеристики апериодического звена при Т > 0, к > 0, соот ветствующая области положительных частот. Она представляет собой полуокружность радиуса к/2 с центром на действительной оси, оканчивающуюся при со = оо в начале координат.
Из (2.6.6) видно, что при очень малых частотах
La (со) » 20 lg к, |
(2.6.7) |
а при очень больших частотах |
|
La (со) « 20 lg к — 20 lg I Т I со. |
(2.6.8) |
Это значит, что логарифмическая амплитудная характеристика имеет асимптотами прямую, параллельную оси абсцисс, проходя щую выше нее на 20 lg к, и прямую
(2.6.8), имеющую наклон — 20 дБ/дек и пересекающую первую асимптоту при частоте со = 1/ | Т |, которая называется сопрягающей частотой
звена. Прямая (2.6.7) является асимп тотой логарифмической амплитуд ной характеристики в области низ ких частот, а прямая (2.6.8)— асимп тотой в области высоких частот.
На рис. 2.6.3 представлены логарифмические частотные характе ристики апериодического звена при к = 1, Т = 1.
Легко видеть, что логарифмическая амплитудная частотная характеристика апериодического звена может быть приближен но представлена в виде ломаной, состоящей из отрезков двух
6 П од ред. В. С. П угачева
82 |
ГЛ . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
пересекающихся при со = 1/ | Т | асимптот. Максимальная ошибка,
равная 20 lg }/2 « 3 дБ, получится при со = 1/ | Т |.
Из (2.6.5) видно, что амплитудная характеристика апериоди ческого звена не зависит от знака постоянной времени Т, а фазо вая характеристика имеет знак, противоположный знаку Т.
Перейдем к колебательному звену. Величины к, Т и £ в послед ней формуле (2.6.2), определяющей передаточную функцию колеба тельного звена, называются соответственно коэффициентом усиле ния, постоянной времени и коэффициентом колебательности (или декрементом затухания).
Для определения частотной характеристики колебательного
звена положим в последней формуле (2.6.2) s = |
ісо: |
|
||
гг, /■ \ |
& |
7. 1 — Г2«!)2—2£Ггю |
,0 ß |
|
Фк(іСй) = 1 + 2 Г^СО-Т’2»2 |
(1 — Г 2(о 2)2+ 4^ |
2(02 |
• |
|
Отсюда находим амплитудную и фазовую частотные характери
стики колебательного |
звена |
|
^ |
= |
У (1 — Г20)2)2 4£2r2wT ’ |
|
|
(2 . 6. 1 0 ) |
ф„ (со) = |
— arctg |
|
и его логарифмическую амплитудную частотную характеристику
LK(ei) = 20 lg k - 20 lg J/(1 - T2(o2)2 + 4£2r 2(o2. |
(2.6.11) |
На рис. 2.6.4 представлена амплитудно-фазовая характери стика колебательного звена при £ > 0 , /с > 0 (величина Г для колебательного звена всегда считается положительной).
84 |
Г Л . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
|
|
Из формулы (2.6.11) видно, что при очень малых ю |
|
|
Ь к (со) ж 20 lg к, |
(2.6.12) |
а при очень больших о) |
|
|
|
Ь К(ю) « 20 lg к — 40 lg Tiо. |
(2.6.13) |
Отсюда следует, что логарифмическая амплитудная характери стика колебательного звена имеет две асимптоты, пересекающиеся при частоте о) = 1IT, которая называется, как и в случае апериодического звена, сопрягающей частотой. При этом высоко частотная асимптота имеет наклон — 40 дБ/дѳк.
Логарифмические частотные |
характеристики колебательного |
||||||||
звена при к = |
Т = 1 для различных положительных |
значений |
|||||||
£ приведены на |
рис. 2.6.5. |
|
|
|
|
|
|||
Если приближенно |
представить логарифмическую амплитуд |
||||||||
ную характеристику колебательного звена в виде |
ломаной, |
||||||||
состоящей из |
отрезков |
двух асимптот, то при |
£ < |
£0, |
где £0 — |
||||
положительный [корень |
уравнения |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= 1 |
(£0 «0,547), |
|
|
|
|
наибольшая по абсолютной величине ошибка, |
равная |
|
|||||||
|
|
|
|
2 0 l g 2 | С 1 К Г = І Л |
|
|
|
||
получится при |
частотах |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
со = (1 _ 2£2) ±Ѵі/Г; |
|
|
|
|||
при £ = |
£0 такая же по абсолютной величине ошибка будет и при |
||||||||
частоте |
со = |
1ІТ\ при |
£ > |
£о |
наибольшая |
ошибка, |
равная |
||
20 lg 2 I |
£ I, |
получится |
при |
сопрягающей частоте |
со = |
МТ. |
|||
При малых значениях | £ | замена амплитудной логарифмиче ской характеристики асимптотической может привести к боль шим ошибкам в окрестности сопрягающей частоты.
Из (2.6.10) видно, что амплитудная характеристика колеба тельного звена не зависит от знака £, а фазовая характеристика имеет знак, противоположный знаку £ (при Т > 0 ).
Колебательное звено, у которого £ = 0, называют резонансным
или консервативным звеном.
Рассмотрим, наконец, запаздывающее звено. Полагая в послед ней формуле (2.6.1) s = ію, получим частотную характеристику запаздывающего звена:
Ф3 (ісо) = е-*Ч |
(2.6.14) |
