ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 325
Скачиваний: 15
§ 2.5. СИСТЕМ Ы , ОПИСЫ ВАЕМ Ы Е Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц . У РА В Н ЕН И Я М И 75
Формула (2.5.11) показывает, что характеристика реакции систе мы, описываемой линейным дифференциальным уравнением с по стоянными коэффициентами, на показательное возмущение est не зависит от времени t. Это еще раз доказывает, что система стацио нарна.
Изложенное показывает, что для определения передаточной функции стационарной линейной системы, описываемой обыкновен ным линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, следует заменить в этом уравнении оператор диф ференцирования dldt параметром s, входное возмущение х едини цей, а выходную переменную у неизвестной передаточной функ цией Ф (s) и решить полученное уравнение относительно Ф (s).
Формула (2.5.12) показывает, что передаточная функция стационарной линейной системы, описываемой обыкновенным диф ференциальным уравнением, представляет собой дробно-рацио нальную функцию параметра s. Корни характеристического уравнения (2.5.6) являются значениями параметра s, при которых знаменатель передаточной функции системы (2.5.12) обращается в нуль. Такие значения аргумента, при которых знаменатель дробно-рациональной функции обращается в нуль, называются полюсами этой функции. Таким образом, корни характеристиче ского уравнения (2.5.6) являются полюсами передаточной функции системы, описываемой уравнением (2.5.1). При значениях s, являю щихся полюсами передаточной функции, уравнение (2.5.5) не имеет решения вида (2.5.7).
Итак, мы доказали, что любая система, поведение которой опи сывается линейным дифференциальным уравнением с постоянны ми коэффициентами, линейна и стационарна, и нашли ее переда точную функцию.
Можно доказать и обратное положение: если поведение стацио нарной линейной системы описывается линейным дифференциаль ным уравнением, то все коэффициенты этого уравнения постоянны. Для доказательства достаточно заметить, что независимо от того, постоянны или переменны коэффициенты а0, at, . . ., ап, b0, blt . . .
. . ., Ьт уравнения (2.5.1), уравнение (2.5.5) вследствие стацио нарности системы имеет решение вида у = Ф (s) est, где Ф (s) — передаточная функция системы, не зависящая от времени t. Поэтому уравнение (2.5.5) будет удовлетворено, если положить в нем
у = Ф (s) est. |
Тогда, принимая во внимание (2.5.8), получим после |
|
сокращения |
на |
est |
(unsn -f- an-1sn~1 |
ats -)- öq) Ф (s) — |
|
|
|
= bmsm -f- bm.^sm~1 -f- . . . + fejS + b0. (2.5.13) |
Решая это уравнение относительно Ф (s), мы снова получим фор мулу (2.5.12). Так как левая часть формулы (2.5.12) не зависит от времени t, то и правая ее часть не может зависеть от времени.
76 |
ГЛ . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
Следовательно, все коэффициенты а0, аи . . ., ап, Ь0, Ъи . . ., Ът либо постоянны, либо представляют собой произведения постоян ных величин на одну и ту же функцию времени. В последнем слу чае исходное уравнение (2.5.1) можно сократить на эту функцию, после чего это уравнение будет уравнением с постоянными коэф фициентами. Таким образом, мы доказали, что если поведение стационарной линейной системы описывается дифференциальным уравнением, то это уравнение представляет собой линейное диффе ренциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
В дальнейшем нам будет удобно записывать дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами сокращенно в опера торной форме. Для этого введем полиномы
F (s) = ansn+ |
an^ sn 1 -J- .. . + |
aLs + a0 = |
2 |
ahSk, |
|
|
fc= 0 |
► (2.5.14) |
|
II (s) = bmsm |
bm-1sm 1 -j- . • • -j-biS-(-bo — |
S |
b^sh. |
|
|
|
|
k=0 |
|
Тогда дифференциальное уравнение (2.5.1) |
запишется коротко |
|||
в операторной форме: |
Н (.D) х, |
|
(2.5.15) |
|
|
F (D) у = |
|
||
где D — dldt — оператор дифференцирования по времени. Фор мула (2.5.12) для передаточной функции системы примет вид
Ф(*) |
ИЛf l |
(2.5.16) |
|
*■(*) |
' |
||
|
Для определения весовой функции системы, описываемой урав нением (2.5.1), достаточно выделить в выражении (2.5.12) пере даточной функции целую часть (если т > п), разложить дробную часть на элементарные дроби и после этого воспользоваться таб лицей преобразований Лапласа. В § 4.4 мы выведем общую фор мулу для весовой функции стационарной линейной системы дру гим методом.
Решая формально уравнение (2.5.15) относительно у, можем написать
11(D) |
X |
(2.5.17) |
У F (D) |
||
или, принимая во внимание (2.5.16), |
|
|
у = Ф (D) X. |
(2.5.18) |
|
Эта формула показывает, что оператор стационарной линейной системы, поведение которой описывается линейным дифферен циальным уравнением, можно символически выразить через ее передаточную функцию. Для этого достаточно заменить в выра жении передаточной функции системы аргумент s оператором
§ 2.5. СИСТЕМ Ы , ОПИСЫ ВАЕМ Ы Е Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц . У РА В Н ЕН И Я М И 77
дифференцирования по времени D = dldt. Обобщая этот резуль тат, можно записать в виде (2.5.18) уравнение любой стационар ной линейной системы. Таким образом, оператор любой стационар ной линейной системы можно выразить как функцию оператора дифференцирования по времени, заменив в выражении передаточ ной функции этой системы аргумент s оператором D.
Формула (2.5.12) формально определяет передаточную функ цию стационарной линейной системы, поведение которой описы вается дифференциальным уравнением (2.5.1), при всех значениях s, кроме совпадающих с корнями характеристического уравнения (2.5.6). Однако физически эта передаточная функция существует не при всех значениях s. Действительно, формула (2.5.11) опреде ляет реакцию системы на показательное возмущение не при всех условиях. Эта реакция в общем случае представляет собой общий интеграл уравнения (2.5.5), а не частный. Для получения общего интеграла уравнения (2.5.5) следует к найденному частному инте гралу (2.5.11) добавить общий интеграл соответствующего одно родного уравнения
an S ~ + an - i ^ ä - + ••• + а і 4 г + а°у = 0' |
(2.5.19) |
Из теории дифференциальных уравнений известно, что если корни характеристического уравнения (2.5.6) vlt . . ., ѵп все различны, то общий интеграл уравнения (2.5.19) представляет собой линей ную комбинацию показательных функций еѵіі, . . ., eVnt с произ вольными коэффициентами. Если некоторые корни характеристи
ческого |
уравнения |
совпадают, |
например vh = vft+1 = . . . = |
= Vft+i, |
то функции |
еѵ*-И' , . . |
eVh+lt заменяются функциями |
teVht, . . ., tleVht. Таким образом, в случае, когда характеристи ческое уравнение не имеет кратных корней, общий интеграл урав нения (2.5.5) определяется формулой
bmsm + bm_lsm-l+ ansn+ an-ls"-1-Г
+ М + Ь о g s t _j_ Сіеѵд _|_ . . . |
+ C n e vnt, ( 2 . 5 . 2 0 ) |
T" a i s T* a 0 |
|
где clt . . ., cn — произвольные постоянные. Отсюда следует, что установившаяся реакция рассматриваемой системы на пока зательное возмущение е81, независимая от начальных условий, су ществует только в том случае, когда все корни характеристиче ского уравнения ѵь . . ., ѵ„ имеют отрицательные действительные части, а действительная часть параметра s отрицательна или равна нулю. Если это условие не выполнено, то реакция системы на воз мущение est неограниченно возрастает. Однако и в этом случае можно говорить об установившейся реакции системы на возмуще ние е8', если первое слагаемое в правой части (2.5.20) растет при t - у оо быстрее, чем все остальные слагаемые. В этом случае при достаточно длительном времени работы системы t реакция ее на
78 |
ГЛ . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
возмущение est будет практически выражаться одним первым сла гаемым в правой части формулы (2.5.20).
Для определения передаточной функции системы разделим формулу (2.5.20) на est:
У_____ Ът$т -|-frm-ism~14- ■.. 4-&iS-f-6o .
est a ns n ~\~a n - l sn~1 'Jr • • ■+ a is - b ao
+ Сіе<ѵі - 8)( + ... + cne^n-^t. (2.5.21)
Если действительные части всех разностей vt — s, . . ., vn — s отрицательны, то все показательные функции в (2.5.21) стремятся
|
к нулю при t |
-> оо. В этом случае |
|||||
|
передаточная |
функция |
системы, |
||||
|
представляющая |
собой отношение |
|||||
|
реакции этой системы на беско |
||||||
|
нечно долго действующее на нее |
||||||
|
возмущение ен к самому возмуще |
||||||
|
нию est, |
определяется |
формулой |
||||
|
(2.5.12). Если хотя бы одно из |
||||||
|
чисел |
— s, |
. . ., |
ѵ„ — s |
имеет |
||
|
положительную |
действительную |
|||||
|
часть, то соответствующая показа |
||||||
|
тельная функция в (2.5.21) неогра |
||||||
|
ниченно |
возрастает |
при |
t -±- о о , |
|||
|
и, следовательно, передаточная |
||||||
|
функция системы не существует. |
||||||
Рис. 2.5.1. |
Таким |
образом, |
передаточная |
||||
|
функция |
стационарной |
линейной |
||||
системы, поведение которой описывается дифференциальным урав нением (2.5.1), существует только в области значений s, дейст вительные части которых больше действительных частей всех корней характеристического уравнения ѵ1( . . ., ѵп. Иными сло вами, передаточная функция этой системы существует только в по луплоскости комплексного параметра s, расположенной справа от вертикальной прямой, проходящей через корень характеристи ческого уравнения с наибольшей действительной частью (эта полуплоскость заштрихована на рис. 2.5.1). Левее этой прямой и на самой прямой передаточная функция не существует, несмотря на то что формула (2.5.12) формально определяет ее при всех зна чениях s, кроме точек ѵІ7 . . ., ѵ„. Этот вывод справедлив и в слу чае кратных корней характеристического уравнения, так как при
любом г > 0 произведение fe (Vk~s)t стремится к нулю при t оо, если действительная часть параметра s больше действительной части корня vh характеристического уравнения, и неограниченно возрастает, если действительная часть параметра s меньше или равна действительной части корня vh.
§ 2.6. Э Л Е М Е Н Т А РН Ы Е С ТА Ц И О Н А РН Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е ЗВ Е Н Ь Я |
79 |
Из сказанного ясно, что частотная характеристика, представ ляющая собой значение передаточной функции на мнимой оси s = і(о, существует для рассматриваемой системы только в том случае, когда действительные части всех корней характеристиче ского уравнения отрицательны. В § 6.2 мы увидим, что это усло вие необходимо и достаточно для устойчивости системы. Таким образом, в соответствии с общим утверждением в конце § 2.3, частотная характеристика физически существует только для устой чивой системы, описываемой уравнением (2.5.1). При этом формула (2.5.12) при s = т формально определяет частотную характери стику для любой системы, поведение которой описывается диффе ренциальным уравнением (2.5.1).
§2.6. Элементарные стационарные линейные звенья
Всовременной теории линейных систем большую роль играют восемь типов простейших систем, обычно называемых элемен тарными звеньями. В §§ 2.2 и 2.4 мы уже познакомились с четырь мя типами элементарных звеньев, а именно с усилителем, диффе ренциатором, интегратором и запаздывающим звеном *). В § 2.4 мы видели, что усилитель с постоянным коэффициентом усиления к, дифференциатор, интегратор и запаздывающее звено являются стационарными линейными системами, передаточные функции
которых определяются формулами (2.4.14), (2.4.15), (2.4.17) и (2.4.13). Изменив обозначения в (2.4.13), мы перепишем эти формулы в виде
Фу («)= *, |
Фд (s)= s, |
Ф„(«)=Ѵ’ |
Фз(5) = е-™, |
(2.6.1) |
|
где т — время |
запаздывания. |
нам типов |
элементарных |
звеньев, |
|
Кроме этих |
уже |
знакомых |
|||
рассматривают |
еще |
четыре типа элементарных стационарных |
|||
звеньев, передаточные функции которых определяются формулами
Фф1 (s) = к (Ts + 1), |
Фф2 (в) = к (ГѴ + 2£Г* +1), |
Фа (s) = fs + T ’ |
I (2-6.2) |
Фк = T2s2+ 2£rs+ 1 ' |
Звенья, передаточные функции которых определяются первыми двумя формулами (2.6.2), называются соответственно форсирую щим звеном первого порядка и форсирующим звеном второго по рядка. Звено, передаточная функция которого определяется третьей формулой (2.6.2), называется апериодическим звеном или
*) Для краткости мы отбрасываем прилагательные |
«идеальный» |
и «безынерционный», которыми пользовались в §§ 2.2 и 2.4, |
чтобы под |
черкнуть, что эти элементарные звенья выполняют соответствующие опера ции идеально точно.
