Файл: Основы автоматического управления..pdf

232 ГЛ . 6. УСТОЙЧИВОСТЬ И КА ЧЕСТВО Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

Таким образом, мы доказали, что стационарная линейная система, поведение которой описывается обыкновенным дифферен­ циальным уравнением, устойчива тогда и только тогда, когда все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные

нием (6 .2 .1 ), устойчива тогда и только тогда, когда все полюсы ее передаточной функции

лежат в левой полуплоскости комплексной переменной s. Доказанное утверждение позволяет свести задачу исследова­

ния устойчивости стационарных линейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями, к чисто алгебраической задаче нахождения условий, которым должны удовлетворять коэффи­ циенты полинома для того, чтобы все его корни имели отрицатель­ ные действительные части. Такие условия были впервые найдены в 1877 г. Раусом [59]. Другая форма условий, которым должны удовлетворять коэффициенты полинома для того, чтобы все дей­ ствительные части его корней были отрицательными, была най­ дена Гурвицем, работа которого была опубликована в 1895 г. [16]. Мы приведем здесь условия Рауса и Гурвица без доказательств.

Для того чтобы дать условия Рауса и Гурвица в общепринятой форме, мы несколько изменим обозначения коэффициентов, кото­ рые мы применяли в §§ 2.5 и 4.4, и представим полином F (s) в виде

Докажем прежде всего, что для того, чтобы полином F (s) имел только корни с отрицательными действительными частями, необходимо, чтобы все его коэффициенты имели один и тот же знак. Так как от перемены знаков всех коэффициентов корни полинома не изменяются, то достаточно рассмотреть случай, когда а0 > 0. На основании известной теоремы алгебры полином F (s) может быть выражен в форме

Из алгебры известно, что корни полинома с действительными коэф­ фициентами или действительны, или являются попарно сопря­ женными комплексными величинами. Для отрицательного дей­ ствительного корня ѵг = —а

s — vr = s + а.

Для двух комплексных сопряженных корней с отрицательными действительными частями ѵг — —а + iß, ѵг + 1 = —а — iß

(s — vr) (s — vr+1) = [s — (—а + iß)] [s — (—а — iß)] =

= sa -j- 2as + a 2 + ß2.

Таким образом, полином F (s) является произведением линейных двучленов и квадратных трехчленов с положительными коэффи­ циентами. Отсюда следует, что все коэффициенты полинома F (s) положительны, что и требовалось доказать. Образуем теперь матрицу

по следующему закону. Элементами нижней строки являются коэф­ фициенты полинома F (s) с четными номерами. Элементами второй снизу строки являются коэффициенты полинома F (s) с нечетными

Элементы стопределяются теми же формулами (6.2.12), в которых величины а и Ъ заменены соответственно величинами b и с. И так, далее, элементы каждых двух последующих строк выражаются через элементы двух предыдущих строк формулами (6 .2 .1 2 ).

Раус доказал, что для того, чтобы действительные части всех корней полинома F (s) были отрицательными, необходимо и доста­ точно, чтобы все элементы первого столбца матрицы (6 .2 .1 1 ) были

Таким образом, для системы, поведение которой описывается дифферен­ циальным уравнением первого порядка, условие одинаковости знаков коэф­ фициентов уравнения не только необходимо, но и достаточно.

П р и м е р 6.2.2. В случае уравнения (6.2.1) второго порядка

F (s) = a0s2 + ais + а2,

Раскладывая определитель (6.2.18) по элементам последнего

Таким образом, условие положительности определителя Д„ может быть заменено условием положительности последнего коэффициен­ та ап. Тогда получим следующие условия устойчивости:

Условия устойчивости (6.2.21) принимают в этом случае найденную ранее

видеть, сводятся к найденным ранее неравенствам (6.2.17).

Приведенные примеры показывают, что критерии устойчиво­ сти Рауса и Гурвица по существу равноценны. Однако вычисление величин ЬГ, ст, . . . по формулам (6 .2 .1 2 ) обычно бывает значи­ тельно проще, чем вычисление определителя Гурвица и его миноров.

Легко видеть, что первые четыре диагональных минора опре­ делителя Гурвица Аі, Аз, Аз, A4 равны соответственно величинам яь Ъо, Ьи Cfl/aj. Остальные диагональные миноры определителя Гурвица также выражаются через элементы матрицы (6 .2 .1 1 ).

§ 6.3. Устойчивость стационарных линейных систем. Критерий Найквиста. Запасы устойчивости

Изложенные в предыдущем параграфе аналитические методы исследования устойчивости Рауса и Гурвица удобны в случае, когда поведение стационарной линейной системы описывается дифференциальным уравнением сравнительно невысокого поряд­ ка. Для систем, описываемых дифференциальными уравнениями

236 ГЛ . 6. УСТОЙЧИВОСТЬ И К А Ч Е С Т В О Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

высоких порядков, исследование устойчивости по критериям Рауса и Гурвица требует громоздких и трудоемких вычислений. Кроме того, само нахождение дифференциального уравнения сложной системы связано с громоздкими выкладками и трудоем­ кими вычислениями. Между тем, как мы видели в § 4.6, частотные характеристики легко находятся для любых сколь угодно сложных систем простыми графическими и алгебраическими операциями. Поэтому, естественно, возникает вопрос, нельзя ли непосредствен­ но по частотным характеристикам системы определить, устойчива она или нет. Частотные критерии устойчивости стационарных линейных систем были найдены Найквистом и Михайловым. Осо­ бенно удобным с практической точки зрения является критерий Найквиста [45]. Его мы здесь и изложим.

Очевидно, что при любых последовательных и параллельных соединениях устойчивых систем всегда будет получаться устой­ чивая система. Если же среди соединяемых последовательно или параллельно систем имеется хотя бы одна неустойчивая, то и вся система, полученная в результате соединения, будет неустойчи­ вой. Поэтому исследование устойчивости любой линейной системы, полученной путем последовательного и параллельного соедине­ ния любого количества элементарных систем, сводится к исследо­ ванию устойчивости отдельных элементарных систем, входящих в состав этой системы. Для элементарных звеньев эта задача решается совершенно просто изложенными в предыдущем пара­ графе методами. При этом легко определяются все нули и полюсы передаточных функций элементарных звеньев. Зная полюсы передаточных функций элементарных звеньев, легко определить, какие полюсы в правой полуплоскости будет иметь передаточная функция системы, полученной путем последовательных и парал­ лельных соединений этих звеньев, в случае, если она неустойчива. Таким образом, для полного исследования устойчивости сложных стационарных линейных систем остается исследовать влияние на устойчивость обратных связей. При этом, очевидно, достаточно рассмотреть только случай жесткой отрицательной обратной связи, так как гибкая обратная связь по доказанному в § 4.7 простыми структурными преобразованиями сводится к жесткой. Эту задачу решает критерий Найквиста, который позволяет, зная, какие полюсы имеет передаточная функция системы в правой полуплоскости и на мнимой оси, решить вопрос о том, устойчивой или неустойчивой будет система при замыкании ее жесткой отри­ цательной обратной связью.

Передаточная функция Ф (s) стационарной линейной системы приводит в соответствие каждому значению ее аргумента s ком­ плексное число ф = Ф (s), которое может быть изображено на ком­ плексной числовой плоскости ф. При изменении s изображающая это число точка будет описывать на плоскости комплексной пере-