Файл: Основы автоматического управления..pdf

менной s некоторую кривую С (рис. 6.3.1, а). При этом соответ­ ствующая точка ф = Ф («) будет описывать некоторую другую кривую Г в плоскости переменной ф (рис. 6.3.1, б). Таким обра­ зом, передаточная функция Ф (s) устанавливает отображение комплексной плоскости переменной s на плоскость переменной ф.

замкнутую кривую С по ходу часовой стрелки. На рис. 6.3.1 видно, что для любой точки а, лежащей вне области, ограниченной кри­ вой С, изменение аргумента комплексного числа s — а в резуль­ тате обхода точкой s кривой С равно нулю. Для любой точки у, лежащей внутри области, ограниченной кривой С, вектор, изобра­ жающий комплексное число s — у, поворачивается по часовой стрелке на угол 2 я при обходе точкой s кривой С, и, следовательно, аргумент комплексного числа s — у изменяется при этом на —2 я.

Предположим теперь, что функция Ф (s) имеет внутри области,

где Ф (s) не имеет ни нулей, ни полюсов в области, ограниченной кривой С, и на самой кривой С. При обходе точкой s кривой С по ходу часовой стрелки аргумент числителя в (6.3.1) получает приращение — 2nh, а аргумент знаменателя получает прираще­ ние — 2пі. Следовательно, аргумент дроби в (6.3.1) изменится на 2л (I — h). Аргумент функции ¥ («) при этом не изменится. Таким образом, при обходе точкой s кривой С по часовой стрелке аргу­

238 ГЛ . 6. УСТОЙЧИВОСТЬ И КА ЧЕСТВО Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

нулей и I полюсов и не имеет ни нулей, ни полюсов на кривой С, то при обходе точкой s кривой С по часовой стрелке соответствую­ щая точка ер = Ф (s) обходит начало координат по часовой стрел­ ке h — I раз.

Применим теперь доказанное предложение к передаточным функциям стационарных линейных систем с обратными связями. Рассмотрим стационарную линейную систему с передаточной

О

Рис. 6.3.2. Рис. 6.3.3.

полуплоскости и на мнимой оси. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы знаменатель 1 + Ф (s) дроби (6 .3 .2 ) не имел нулей в правой полуплоскости и на мнимой

можно пользоваться плоскостью переменной Ф (s), помня при этом, что роль начала координат в этом случае играет точка —1 . Возьмем на плоскости переменной s контур CR, состоящий из отрез­ ка мнимой оси (—Ш, Ш) и полуокружности большого радиуса R (рис. 6.3.2). Так как при любом R функция Ф (s), а следователь­ но, и функция 1 -- Ф (s) не имеют полюсов на контуре CR и в огра­ ниченном им полукруге В в , то при обходе точкой s этого контура точка Ф (s) обходит точку —1 по ходу часовой стрелки столько раз, сколько нулей имеет функция 1 + Ф (s) в полукруге B R. А так как это справедливо при любом R, то можно перейти к пре­ делу при R -> оо. Таким образом, число нулей функции 1 + Ф (s) в правой полуплоскости равно числу обходов по часовой стрелке

амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы точ­

ки — 1 .

Из сказанного следует, что в случае устойчивой разомкнутой системы для устойчивости замкнутой системы необходимо и доста­ точно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывала точку — 1 и не проходила через нее (рис. 6.3.2). В этом и состоит критерий Найквиста для случая устойчивой разомкнутой системы. На рис. 6.3.3 изображена амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы в слу­ чае неустойчивой замкнутой системы. Амплитудно-фазовая харак­ теристика разомкнутой системы в этом случае обходит точку — 1 по часовой стрелке два раза. Следовательно, передаточная функция замкнутой системы имеет два полюса в правой полу­ плоскости.

Перейдем теперь к случаю неустойчивой разомкнутой системы. Предположим, что передаточная функция разомкнутой системы Ф (s) имеет к полюсов в правой полуплоскости и не имеет полюсов на мнимой оси. В этом случае функция 1 + Ф (s) также имеет к полюсов в правой полуплоскости. Следовательно, чтобы функция 1 + Ф (s) не имела нулей в правой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы кривая Ф (гео) обходила точку —1 против часовой стрелки к раз.

Таким образом, если передаточная функция разомкнутой систе­ мы Ф (s) имеет к полюсов в правой полуплоскости, то для устойчи­ вости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы ампли­ тудно-фазовая характеристика разомкнутой системы обходила точку — 1 против часовой стрелки к раз.

Заметим теперь, что амплитудно-фазовые характеристики всех систем с действительными параметрами, а только такие системы и встречаются в задачах практики, симметричны относительно действительной оси. Поэтому достаточно рассматривать только одну половину амплитудно-фазовой характеристики, соответст­ вующую изменению частоты со от нуля до оо и считать полуобходы амплитудно-фазовой характеристикой точки —1 .

Чтобы дать общую формулировку критерия устойчивости Найквиста, условимся считать каждое пересечение амплитудно­ фазовой характеристикой разомкнутой системы отрезка действи­ тельной оси (—оо, —1 ) сверху вниз за + 1 пересечение, а каждое пересечение снизу вверх — за —1 пересечение. Тогда общее число пересечений амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы отрезка (—оо, —1 ) будет равно разности между числом пересечений сверху вниз и числом пересечений снизу вверх. При этом условии каждому обходу амплитудно-фазовой характеристи­ кой разомкнутой системы точки — 1 против часовой стрелки соответствует одно пересечение отрезка действительной оси ('~°°! —1). Если амплитудно-фазовая характеристика разомкну

передаточная функция разомкнутой системы Ф (s) имеет один полюс

вправой полуплоскости и замкнутая система устойчива. На рис. 6.3.5

и6.3.6 показаны амплитудно-фазовые характеристики разомкну­ тых систем для случая, когда передаточные функции разомкнутых

систем имеют по два полюса в правой полуплоскости и замкнутые системы устойчивы.

Если передаточная функция разомкнутой системы имеет полюсы на мнимой оси, то контур в плоскости s следует деформи­ ровать таким образом, чтобы обойти полюсы, лежащие на мнимой оси, по полуокружностям малого радиуса. Так как разомкнутая система в этом случае неустойчива, то мы условимся обходить эти полюсы слева, т. е. относить их к правой полуплоскости (рис. 6.3.7, а). При обходе слева полюса іѵ, расположенного на мнимой оси, аргумент комплексного числа s — іѵ уменьшается