ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 382
Скачиваний: 15
222 |
ГЛ . 5. Д И С К Р Е Т Н Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМ Ы |
|
уравнением |
F (D) у = Н (.D) X, |
(5.4.19) |
|
предполагая, что степень га полинома F больше степени т поли нома Я. Сначала находим весовые коэффициенты системы. При этом для простоты будем предполагать, что полином F (s) имеет только простые корни Vj, . . ., ѵп. В этом случае весовая функ ция системы, описываемой уравнением (5.4.19), определяется формулой (4.4.50):
Г=1
Подставляя это выражение в формулу (5.3.6), получим
пТ
^о = 0, шт = 2 |
|
P l$ .jeVrmTn J е~Ѵг° TK °)d<T |
( т = |
1, |
2, ... ) . |
|||
Г — 1 |
Г |
|
0 |
|
|
|
|
|
Полагая для краткости |
|
|
|
|
|
|
||
zT= еѴгГп, |
|
|
ги |
e-wr] (о) da |
|
|
|
|
|
кг = |
j |
(г = |
1, .. . , |
га), |
(5.4.20) |
||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
можем переписать |
полученную формулу в виде |
|
|
|||||
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
ш0 = О, |
шт = |
2 |
|
(m = |
1 , 2 , . . . ) . |
(5.4.21) |
||
|
|
Г—1 |
|
|
|
|
||
Зная весовые коэффициенты системы, можно воспользоваться для определения передаточной функции общей формулой (5.3.14). Подставив в нее выражение (5.4.21) весовых коэффициентов
иизменив порядок суммирования, получим
Поо
г=1 |
2 |
<5-4-22> |
т=1 |
|
Бесконечный ряд в этой формуле является геометрической про грессией со знаменателем zrz_1 и с первым членом zrz~x. Суммируя эту прогрессию, получим
¥ ( z ) = 2 |
Н (ѵг) |
zrz-l |
|
r F' (vr) |
1 — zrz_1 |
|
|
г=1 |
|
|
|
ИЛИ |
|
|
|
¥(z) = |
|
Krzr |
(5.4.23) |
sF'g(Vr)(vr) z—%T |
|||
r = l
§ 5.4. СИСТЕМ Ы , ОПИСЫ ВАЕМ Ы Е РА ЗН О С ТН Ы М И У РА В Н Е Н И Я М И 223
Эта формула показывает, что передаточная функция последова тельного соединения импульсного элемента и стационарной линейной системы, описываемой дифференциальным уравнением, является дробнорациональной функцией переменной z.
Если полином F (s) имеет кратные корни, то весовая функция непрерывной части системы представляет собой линейную комби нацию показательных функций, умноженных на полиномы отно сительно времени. В этом случае в выражении (5.4.21) весовых коэффициентов іѵт появятся еще слагаемые, пропорциональные величинам (тТп)Лг™, где h — целое положительное число, не пре восходящее степени п полинома F (s). Эти слагаемые дадут в выра жении передаточной функции системы (5.4.22) дополнительные члены, пропорциональные рядам вида
2 (mTn)hz?z-m. m=1
Эти ряды легко суммируются. В самом деле, замечая, что
|
(тГп)Лг™ |
d h vrm Tn __ |
dhz!j} |
|
|
|
|
dv£ e |
~ |
dv£ ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
находим |
|
|
|
|
|
|
2 |
{mr„)hz™z-m |
dh |
|
dh |
z T |
(5.4.24) |
2 |
|
dvhr |
z—zr |
|||
m = 1 |
|
|
|
|||
|
m=1 |
|
|
|
|
|
В результате и в случае кратных корней полинома F (s) мы полу чим дробно-рациональную передаточную функцию рассматривае мой системы.
Приводя дроби в (5.4.23) или в аналогичной формуле в случае кратных корней полинома F (s) к общему знаменателю, можем выразить передаточную функцию в виде отношения двух полино мов (5.4.15) и написать соответствующее разностное уравнение. Следовательно, поведение стационарной дискретной линейной системы, представляющей собой последовательное соединение импульсного элемента и стационарной линейной системы, описы ваемой дифференциальным уравнением, описывается некоторым разностным уравнением, которое легко находится по данному диф ференциальному уравнению непрерывной части системы и данной функции т] (t), определяющей форму импульсов, вырабатываемых импульсным элементом.
Передаточная функция Q (ѵ) последовательного соединения импульсного элемента и стационарной линейной системы, описы ваемой обыкновенным дифференциальным уравнением, также пред ставляет собой дробно-рациональную функцию параметра ѵ, так как формула (5.3.17) выражает z как рациональную функцию ѵ.
224ГЛ . Д 5. И С К РЁ Т Н Ы Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМ Ы
Пр и м е р 5.4.1. Найти передаточную функцию W (z) и разностное уравнение дискретной системы, представляющей собой последовательное соединение импульсного элемента и апериодического звена с постоянной времени Т и коэффициентом усиления к, предполагая импульсы прямоуголь
ными: г) (о) = 1.
Для определения передаточной функции Y (z) воспользуемся форму
лой (5.4.23). Единственный в данном случае корень полинома |
|
||||||
|
|
F (s) = Ts + 1 |
|
|
|
||
в уравнении (5.4.19) для апериодического звена равен |
= —1/Т. Так как |
||||||
в данном случае |
Н (s) = к, |
F' (s) == Т, |
то формула |
(5.4.23) |
дает |
||
|
*(*) = -£ |
*1 ^ 1 |
Zj= e |
Т |
|
(5.4.25) |
|
|
Z — Z j |
|
|
||||
Остается определить коэффициент И). Вторая формула (5.4.20) |
в данном слу |
||||||
чае дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
Хі = |
5И |
da = T (е 1 —1). |
|
|
||
Подставляя это |
выражение |
в |
(5.4.25), |
получим |
|
|
|
|
|
|
z - v _ А |
|
|
|
(5.4.26) |
|
Т (z) = |
kzi —--------- |
|
|
|
||
|
|
|
Z — Zj |
|
|
|
|
Разностное уравнение рассматриваемой дискретной системы имеет вид |
|||||||
|
(V —zj) i/h = kzi (zi y — l)xk |
|
|
||||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
г/fc+i—ziyft = fczj (z~V— l)z h. |
|
(5.4.27) |
||||
П р и м е р 5.4.2. Найти передаточную функцию 'F (z) и разностное урав нение последовательного соединения импульсного элемента, вырабатываю щего прямоугольные импульсы т) (а) = 1, и колебательного звена.
Используя результаты примера 4.4.3, находим по формуле (5.4.23):
¥(z) |
, |
|
|
2ісо0 \ |
z —Zi z —z2 I |
(5.4.28) |
|
Zj = e-(а-гш о )Т , |
z2 = e -(а-Н(Оо)Т |
||
|
Формула (5.4.20) дает в данном случае следующие выражения для чисел
Kt и х2:
* 1 = |
^ |
e(a-i(Oo)od(J_ е(а-гсоо)Ти _ |
1 |
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
о |
|
а— іооо |
|
а— іо)о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( а + і щ ) Т п _ |
1 |
z£V_^_ |
х2 = |
j |
«<а+і(0°)° do |
(X-|- іыо |
|
|
|
Ü-j“І(0о |
||||
|
|
|
|
||
о
§ 5.4. СИСТЕМ Ы , ОПИСЫ ВАЕМ Ы Е РА ЗН О С ТН Ы М И У РА В Н ЕН И Я М И 225
Приводя дроби в (5.4.28) к общему знаменателю, приведем полученное выражение передаточной функции к виду
ц, , . _, (XjZj —X2Z2) Z -f- (X2 — Кд) ztz2 2icoo [z2—(2iH- 2г) z~\~2і22і
Отсюда видно, что поведение последовательного соединения импульсного элемента и колебательного звена описывается линейным разностным уравне нием второго порядка с постоянными коэффициентами:
Ук+2 — (zl + 2г) Jh+i’ |
+ z iz 2Uh = |
|
|
|
к |
ziz2*h\’ |
(5.4.29) |
|
xh+i+ {*2— * i) |
Легко видеть, что все коэффициенты этого уравнения действительны вслед ствие того, что Zj, z%и Хі, являются парами сопряженных комплексных чисел.
Г л а в а 6
УСТОЙЧИВОСТЬ И КАЧЕСТВО ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 6 .1. Определение устойчивости. Общее условие устойчивости линейной системы
Всякая автоматическая система должна быть, прежде всего, работоспособной. Это значит, что она должна нормально функцио нировать и быть нечувствительной к неизбежным посторонним возмущениям различного рода. В частности, она должна нор мально функционировать при действии на нее случайных помех и шумов. Иными словами, автоматическая система должна рабо тать устойчиво, несмотря на действие на нее различных посто ронних возмущений. Чтобы научиться проектировать устойчивые автоматические системы, необходимо сначала дать определение устойчивости.
Линейная система называется устойчивой, если ее выходная переменная остается ограниченной при любых ограниченных по абсолютной величине входных возмущениях. На основании принципа суперпозиции, справедливого для любых линейных систем, это определение можно также сформулировать следую щим образом: линейная система называется устойчивой, если ее
выходная переменная остается сколь угодно малой при любых достаточно малых по абсолютной величине входных возмущениях.
Для того чтобы физически возможная линейная система была « устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы ее весовая функция 8 (t, т) удовлетворяла при всех t0 условию
|
t |
I git, т) Idx<.c, |
|
lim |
f |
(6 .1 .1 ) |
|
£-► 00 |
* |
|
|
|
*0 |
|
|
где c — некоторая конечная |
величина *). |
(6.1.1) предполо |
|
Для доказательства достаточности условия |
|||
жим, что входное возмущение представляет собой функцию х (t),
*) На практике встречаются только такие системы, весовые функции которых ограничены при всех t и т, кроме, может быть, дискретного ряда значений т, которым соответствуют линейные комбинации 6 -функций. Для таких систем интеграл в (6 .1 .1 ) конечен при любых конечных t0и t и условие (6 .1 .1 ) будет выполнено (или не выполнено) при всех t0, если оно выполнено (соответственно не выполнено) при каком-нибудь одном значении t0.
§ 6.1. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е УСТОЙЧИВОСТИ |
227 |
ограниченную по абсолютной величине: | х (і) | ^ ц, где г) — некоторая положительная величина. Тогда вследствие (6.1.1) будем иметь
і */(*)! =
t |
t |
t |
j g(t, |
т)ж(т)гіт|< j \g(t, |
т) I |ж(т)|йг<т) j |g(*, t) | cZt < t)c. |
to |
to |
to |
|
|
( 6. 1.2) |
Таким образом, при выполнении условия (6.1.1) выходная пере менная системы остается ограниченной при ограниченном входном возмущении. Из (6.1.2) следует также, что выходная переменная системы будет оставаться по абсолютной величине меньше любого заданного положительного числа е при любых входных возмуще ниях, не превосходящих по абсолютной величине г| = г/с.
Докажем теперь, что условие (6.1.1) необходимо. Для этого предположим, что система устойчива и что для нее условие (6 .1 .1 ) не выполнено, т. е.
1
lim |
Г |g(£, т)|с?т=оо. |
(6.1.3) |
t - * 0 0 |
‘.VО |
|
Вследствие предполагаемой устойчивости системы при любых t0,
t' , |
t, |
t0 < t' |
^ |
t, |
справедливо неравенство |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
g(t, i ) x ( T ) d x |
< k ( t ) , |
|
|
|
|
|
(6.1.4) |
||
где |
к |
(t) — некоторая |
ограниченная |
функция, |
а |
х (t) |
— любая |
|||||||||
функция, не |
превосходящая |
по абсолютной |
величине |
единицу: |
||||||||||||
I х |
(t) |
1 ^ 1 . |
Возьмем |
теперь |
произвольную |
неограниченно воз |
||||||||||
растающую последовательность чисел «і < |
а2 < |
. . . |
< |
ап < . \ |
||||||||||||
Н т ап = оо. |
Вследствие (6.1.3) для |
любого |
ц > 0 |
существует |
||||||||||||
71-*- СО |
неограниченная |
последовательность |
моментов |
времени |
||||||||||||
такая |
||||||||||||||||
*о < |
< . . . |
< |
tn <С . . ., tn -> оо при |
п -> оо, |
для |
которой |
||||||||||
|
|
tnJ |
\g(tn, |
x )\d T > k (tn) + ^ - |
{п= 1 |
, 2 |
, . . . ) . |
(6.1.5) |
||||||||
|
|
ід-1 |
теперь |
входное возмущение |
вида *) |
|
|
|
|
|||||||
Рассмотрим |
|
|
|
|
||||||||||||
х (т) = 'Пsgn g (tn, |
т) при г„_і< т < |
tn |
(п = |
|
1 , |
2, . . .). (6.1.6) |
||||||||||
) Функция sgn X (читается «сигнум икс») представляет собой знак ргумента х, т. е. равна +1 при х > 0 и — 1 при х < 0. Вследствие этого ри любых X имеет место тождество х sgn х = \ х \.
15*
