ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 463
Скачиваний: 21
228 |
ГЛ . 6. У С ТО Й ЧИ ВО СТЬ И КА ЧЕСТВО Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
Это входное возмущение не превосходит по абсолютной величине произвольную величину ц > 0 . Выходная переменная системы в момент tn при входном возмущении (6 .1 .6 ) будет равна
y{tn)= j g(tn, x)x{x)dx + |
j g(tn, x)x(x)dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
tn - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
tn *1 |
|
tn |
|
|
|
|
|
|
|
= j |
g{tn, |
T)a:(T)dT + Ti j | g(tn, x)\dx. |
(6.1.7) |
||||||
to |
|
tfl - i |
|
|
|
|
|
|
|
Но из (6.1.4) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tn-1 |
g(f„, |
x)x(x)dx> — x\k{tn), |
( |
6 |
. |
1 |
. |
8 |
) |
j |
|
|
|
||||||
h
так как в данном случае | х (т) | = т]. На основании (6.1.5) и (6.1.8) из (6.1.7) вытекает неравенство
y(tn )> —'Пй(*п)+'п[й(<п) + - ^ ] = ап-> 00• (6-1.9)
Таким образом, если условие (6.1.1) для линейной системы не вы полнено, то существует сколь угодно малое входное возмущение, при котором выходная переменная системы неограниченно воз растает при t —*■оо, т. е. система не может быть устойчивой. Полу ченное противоречие доказывает необходимость условия (6 .1 .1 ).
Из (6.1.1) следует, что для непрерывной устойчивой системы
limg(£, т) = 0 |
(6 .1 .1 0 ) |
t-+oo |
|
при любом т. Однако это условие не достаточно для устойчивости непрерывной системы.
В теоретических исследованиях часто приходится рассматри вать и такие системы, у которых выходной сигнал содержит линейную комбинацию производных входного сигнала. Мы будем называть такие системы дифференцирующими. Весовая функция линейной дифференцирующей системы содержит линейную комби нацию б-функции и ее производных. Дифференцирующие системы всегда неустойчивы в смысле данного выше определения. Поэтому, говоря об устойчивости дифференцирующей линейной системы, мы всегда будем подразумевать устойчивость системы, весовая функция которой получается из весовой функции данной диффе ренцирующей системы путем отбрасывания б-функции и ее про изводных.
Можно также определить устойчивость дифференцирующей системы как свойство иметь ограниченный выходной сигнал при любых входных сигналах, ограниченных вместе со своими произ водными до соответствующего порядка.
|
§ 6.1. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е УСТОЙЧИВОСТИ |
229 |
||
J |
П р и м е р 6.1.1. Определить, |
устойчиво или неустойчиво апериодиче |
||
ское звено, весовая функция 'которого |
определяется формулой |
|||
|
|
к_ |
t-x |
|
|
|
т |
|
|
|
ë { t , т) = |
Т е |
|
|
В |
этом случае |
t-x |
_ |
|
|
|
f—tp |
||
|
|
т |
d x = | Л 111 — е |
т |. |
Таким образом, при положительной постоянной времени Т интеграл (6.1.1) при любых t0 и і не превосходит абсолютной величины коэффициента уси ления апериодического звена к. При отрицательной постоянной времени Т интеграл в (6.1.1) неограниченно возрастает. Таким образом, апериодическое звено устойчиво при положительной постоянной времени и неустойчиво при отрицательной постоянной времени.
П р и м е р 6.1.2. Определить, устойчиво или неустойчиво колебатель ное звено, поведение которого описывается дифференциальным уравнением
у" + 2ау' + Ъ2у = X, I а | < Ь.
Весовая функция колебательного звена определяется формулой (пример 4.4.2)
g (t, т) = -^ —в_а((_і:)зіпсоо(г —т).
где
І
( | «0
СОоII> |
1 N |
а2. Следовательно, в |
|
g ( t , т) ] dx = |
to |
|
|
|
U(*. *—?)И І = т г |
||
|
С |
0)0 |
|
|
|
||
|
N |
kn |
0Т| |
О)? |
Zj |
j |
Г « 1sin г] |dr]-|- |
k=i(h - 1)л
ЭТОМ случае
0)0(<—Ц) |
|
|
||
( |
|g |
|
* — 0)0 / |
|
и |
|
|
|
|
Шо(І- t o ) |
|
or) |
||
1 |
’ |
e |
Щ 1sin T] |
|
О)2 |
||||
|
|
|
||
JVrt
dr] =
II
-P
N |
a ( h - l)xc |
я |
go |
®o(t-<o) |
ат) |
|
ио |
f |
(Oq sin а da-f-- |
|
m° I Sin T) I dT], |
fe=l |
|
|
|
N n |
|
где N |
= [co0 (t — t0)lл] *). Выполняя интегрирование и суммируя геометриче |
|
скую |
прогрессию, получим |
|
|
птт |
п(TV-L-I W |
/_ 1 |
]1Ѵ- 1 |
(6.1.11) |
+ — |
---- е-а(1-<о) Ja sin Wo ((—г0)+ й>0 COS 0)0 (t — го)Ь |
При а > о правая часть этого равенства остается конечной при 1->со (при этом, очевидно, и N -*■ оо). При а < 0 правая часть равенства (6.1.11) неогра-
*) Через [г] обозначена целая часть числа х, т. е. наибольшее целое число, содержащееся в числе х.
230 ГЛ . 6. УСТОЙЧИВОСТЬ И КА ЧЕСТВО Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
ниченно возрастает при t -> оо. Если а = 0, то правая часть равенства (6.1.11) неопределенна. Раскрывая эту неопределенность по правилу Лопиталя,
убеждаемся в том, что при а = |
0 интеграл (6.1.11) также неограниченно воз |
||
растает |
при t |
оо. Таким образом, колебательное звено устойчиво, если |
|
а > 0 , |
и неустойчиво, если |
а ^ 0 . |
|
§ 6.2. Устойчивость стационарных линейных систем. Критерии Рауса и Гурвпца
Для того чтобы условие (6.1.1) было выполнено для физически возможной стационарной линейной системы, необходимо и доста точно, чтобы все особые точки передаточной функции Ф (s) этой системы лежали в левой полуплоскости комплексной переменной s. В этом случае весовая функция стационарной линейной системы w (t — т) убывает при t-*- оо быстрее, чем е-е(*-т), Где е _ некото рое положительное число, и интеграл (6 .1 .1 ) ограничен при t —>- оо. Мы не будем доказывать здесь это утверждение в общем виде, а ограничимся частным случаем физически возможных стационар ных линейных систем, поведение которых описывается обыкно венными дифференциальными уравнениями.
Рассмотрим стационарную линейную систему, поведение кото рой описывается обыкновенным линейным дифференциальным
уравнением с постоянными коэффициентами |
|
F (D) у = Н (D) X . |
(6.2.1) |
Если все корни характеристического уравнения vlt . . ., ѵ„ раз личны, то весовая функция стационарной линейной системы определяется формулой (4.5.50):
71
е (*, т) = w ( t - т)= 2 - Р щ -еѴг('"т)- |
<6-2-2) |
Г~51 |
|
Обозначим через аг, ßr соответственно действительную и мнимую части корня ѵг характеристического уравнения. Так как нумера ция корней характеристического уравнения безразлична, то мы предположим, что — наибольшее из чисел аи . . ., аг. Тогда будет аг — сц <1 0 (г = 1, . . ., п). Представим весовую функ цию системы формулой
ix(t — т) = е(“і+8К(- т) ф (t — т),- |
(6.2.3) |
|
где согласно (6 .2 .2 ) |
|
|
П |
|
|
ф(г — Т ) = 2 |
Г"(уГ) ' e^r-ai-e-H ßrX t-T ), |
|
г = 1 |
Г |
|
а e — произвольно малое положительное число. Так как пока зательные функции в выражении функции ф все по модулю меньше
§ 6.2. К Р И Т Е Р И И РАУСА И ГУ РВИ Ц А |
231 |
единицы, то |
|
|
іф (*—т) І < 2 |
I I (ѵг) <С , |
(6.2.4) |
Г — 1 |
*"(Ѵг) |
|
где с — некоторая постоянная. |
Если характеристическое |
урав |
нение имеет кратные корни, то весовая функция системы пред ставляет собой линейную комбинацию произведений показатель ных функций на полиномы. Обозначая и в этом случае через наибольшую из действительных частей корней характеристиче ского уравнения, выразим весовую функцию системы форму лой (6.2.3). При этом функция ср будет представлять собой сумму произведений полиномов на показательные функции с отрица тельными действительными частями показателей и, следователь но, будет непрерывной ограниченной функцией. Таким образом, весовая функция стационарной линейной системы, поведение кото рой описывается дифференциальным уравнением, всегда может
быть выражена формулой (6.2.3), где |
е — произвольно |
малое |
||
положительное число, |
а функция <р непрерывна н ограничена: |
|||
|
|
|<р (£ — т ) |< с . |
|
(6.2.5) |
На основании (6.2.3) |
имеем |
|
|
|
t |
t-t0 |
t-to |
|
|
j|u?(£ — T )|d t= |
j |
|u7(g)|d|= j |
g(®i+e)61 ф (£) I |
(6.2.6) |
to |
о |
t) |
|
|
Пользуясь теоремой о среднем и выполняя интегрирование, получим
|
f |
, |
, |
. |
g(ai+e)(t-to)_< |
• |
(6.2.7) |
|
|
J |
I w (* - |
x) I dx '-=I Ф (?) Icp----- — |
------ |
||||
|
to |
|
|
|
1 |
' |
|
|
При любом сц < |
0 положительную величину e можно выбрать |
|||||||
меньшей, |
чем | cxj |, |
чтобы былооц + е < 0. Тогда интеграл (6.2.7) |
||||||
не будет |
превосходить |
величину |
ci\ a t + е | при |
любых значе |
||||
ниях t0 и t. |
|
|
|
0 положим е = |
0. |
В этом слу |
||
Для исследования случая а 1 ^ |
||||||||
чае функция ф (Е) стремится к постоянной при | ->• со, |
если харак |
|||||||
теристическое уравнение не имеет ни одного кратного корня с дей ствительной частью ccj, н неограниченно возрастает при Е —>-оо, если характеристическое уравнение имеет кратные корни с дей
ствительной частью |
a t. Следовательно, при е = |
0 |
величина |
|
I |
ф (Е) |ср в формуле (6.2.7) не может неограниченно убывать при |
|||
t |
—>-оо. Но в таком случае из формулы (6.2.7) при е = |
0 следует, |
||
что при любом oij 5 s 0 |
интеграл от абсолютной величины весовой |
|||
функции системы неограниченно возрастает при t |
оо *). |
|||
|
*) При ccj = е = 0 дробь в правой части равенства (6.2.7) равна t — fo |
|||
il атом можно убедиться, выполнив интегрирование в (6.2.6) при а ( = е = 0, после выноса функции <р (|) за знак интеграла сродним значением.