ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 394
Скачиваний: 15
§ 6.5. П Е Р Е Х О Д Н Ы Е П РО Ц ЕССЫ В Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМАХ |
24» |
дует, что к стационарным дискретным линейным системам пол ностью применимы критерий Найквиста и изложенные в преды дущем параграфе частотные методы исследования устойчивости. При этом переменная ѵ имеет чисто мнимые значения ѵ = іКу а роль частоты играет величина к, связанная с частотой со очевид ным соотношением
Х = |
еі(лТ п —1 |
(6.4.5) |
|
. , ішТ |
|||
|
I (е |
д+ 1) ’ |
|
вытекающим из (5.3.16) при s = |
газ, ѵ = |
ік. |
|
Заметим, что критерий Найквиста и частотные методы иссле дования устойчивости применимы также и в том случае, если пользоваться непосредственно частотными характеристиками ста ционарных дискретных линейных систем и плоскостью парамет-
ра s, так как единичному кругу плоскости z = е&Тп соответствует
часть левой полуплоскости переменной s, |
лежащая между двумя |
горизонтальными прямыми Im {$} = оз0 |
и Im {s} = а 0-\~2п/Тп |
при любом оз0. При этом одному обходу единичной окружности точкой z соответствует перемещение точки s из точки гоз0 в точку
газ0 + 2я£/Гп. Следовательно, |
для устойчивости стационарной |
дискретной линейной системы |
необходимо и достаточно, чтобы |
все полюсы ее передаточной функции Ф (s) == Y (е5Гп)? рассматри ваемой как функция комплексной переменной s, лежали в левой полуплоскости. При этом вследствие периодичности передаточ ной функции достаточно брать значения частоты оз в любом интер вале длины 2п!Ти.
§ 6.5, Переходные процессы в линейных системах
Рассмотрим стационарную линейную систему, поведение кото рой описывается дифференциальным уравнением (6.2.1). Общий интеграл уравнения (6 .2 .1 ) выражается формулой
t |
|
у (t) = Clevit + с2е ^ + ... -f c„ev«f+ j w(t — x)x{x)dx, |
(6.5.1) |
to
где vj, . . ., vn — корни характеристического уравнения, пред полагаемые для простоты различными. Формула (6.5.1) показы вает, что общий интеграл уравнения (6 .2 .1 ) представляет собой сумму его частного интеграла, соответствующего действию вход ного сигнала х (t):
t |
(6.5.2) |
Ув(0 = { w{t — x)x{x)dx, |
<0
250 |
Г Л . 6. УСТОЙЧИВОСТЬ И К А ЧЕСТВ О Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
и общего интеграла соответствующего однородного уравнения:
У с ъ ( t ) = -f- c2eV3t+ . . . + с„еѵ^, (6.5.3)
где постоянные си . . ., сп определяются начальными значе
ниями у (t0), |
у' (to), |
. . ., |
z/(n-1) |
(t0) выходной переменной систе |
мы у и ее производных у’, |
. . ., |
г/<п_1>. |
||
Формула |
(6.5.2) |
определяет |
движение системы, вызываемое |
|
действием только одной функции х (t). Оно отсутствует, если вход ная функция системы х (t) тождественно равна нулю *). Мы будем называть это движение невозмущенным движением системы.
Формула (6.5.3) определяет движение системы при отсутствии входной переменной, вызываемое только начальными отклоне ниями от состояния равновесия. В теории устойчивости начальные отклонения системы от состояния равновесия обычно называются начальными возмущениями. Движение системы, определяемое формулой (6.5.3), называется переходным процессом или возмуще нием. Формула (6.5.1) определяет возмущенное движение системы, состоящее из невозмущенного движения и наложенного на него переходного процесса.
Из доказанного в § 6.2 следует, что стационарная линейная система устойчива тогда и только тогда, когда переходный про цесс затухает при £—ьоо. Иными словами, стационарная линейная система устойчива, если при любых начальных возмущениях откло нение возмущенного движения от невозмущенного стремится к нулю при t оо. При этом отклонение возмущенного движения от невозмущенного будет сколь угодно малым, если начальные возмущения достаточно малы. Эти свойства устойчивой системы были положены в основу определения устойчивости А. М. Ляпу новым, который в 1892 г. впервые создал точную и строгую теорию устойчивости любых систем, поведение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями (42]. До Ляпу нова существовали только методы исследования устойчивости стационарных линейных систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, разработанные Раусом и Гурвицем. Кроме того, классической работе Ляпунова по теории устойчивости предшествовала интересная работа Н. Е. Жуков ского [24].
А. М. Ляпунов дал следующее определение устойчивости любой системы, поведение которой описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями: система называется устойчивой, если при всех t > t 0 отклонение возмущенного движения от невоз мущенного сколь угодно мало при достаточно малых начальных
*) Мы говорим здесь не о механическом движении, а о движении в обоб щенном смысле, понимая под словом движение любой процесс изменения состояния системы.
§ 6.5. П Е Р Е Х О Д Н Ы Е П РО Ц Е С С Ы В Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМАХ |
251 |
возмущениях в момент t0; система называется асимптотически устойчивой, если отклонение возмущенного движения от невоз мущенного стремится к нулю при t —ѵоо.
Таким образом, стационарная линейная система устойчива в смысле определения § 6 . 1 тогда и только тогда, когда она асимп тотически устойчива по Ляпунову. Это распространяется на любые линейные системы и, как мы увидим в § 1 0 .1 , и на нелинейные системы, описываемые обыкновенными дифференциальными урав нениями. Таким образом, определение устойчивости, данное в § 6 .1 , равноценно определению асимптотической устойчивости по Ляпунову.
Так как практически устойчивыми можно считать только асимп тотически устойчивые системы, то в дальнейшем, говоря об устой чивости, мы всегда будем иметь в виду асимптотическую устойчи вость по Ляпунову или устойчивость в смысле определения, дан ного в § 6 .1 .
За невозмущенное движение системы можно взять любое ее движение, т. е. интеграл (6.5.1) уравнения (6.2.1), соответст
вующий |
любым фиксированным значениям постоянных си . . . |
. . ., сп. |
Тогда возмущенным будет любое движение системы, соот |
ветствующее другим значениям постоянных сІ 5 . . ., сп. Очевидно, что для устойчивой линейной системы при любом
выборе невозмущенного движения возмущенное движение всегда стремится к невозмущенному при t —>-оо.
С практической точки зрения важна не только устойчивость системы, но и характер затухания ее переходных процессов. Если переходный процесс длится долго и система совершает большие колебания, то такая система хотя и устойчива, но не может считаться хорошей. Поэтому кроме устойчивости необхо димо исследовать также и качество системы.
NКачество линейной системы принято оценивать по виду пере ходного процесса. При этом за стандартный переходный процесс
для |
стационарной линейной |
системы |
принимают |
ее |
реакцию |
||||
на единичную ступенчатую функцию 1 |
(t — т), |
называемую обыч |
|||||||
но |
переходной |
функцией. |
Так |
как |
1 (t — т) |
есть |
интеграл от |
||
8 (t — т), то |
переходную |
функцию |
данной |
линейной |
системы |
||||
можно определить как весовую функцию последовательного соеди нения интегрирующего звена и данной системы. Тогда, пользуясь формулой (4.2.5) и имея в виду, что весовой функцией интегрирую
щего звена |
является |
1 (£ — т), |
получим следующее выражение |
переходной |
функции |
h (t — т) |
стационарной линейной системы |
через ее весовую функцию w (t — т): |
|||
|
t |
|
da = Iw(t — а) da |
h(t — т) = |
j w (г— а) 1 (о — т) |
||
|
т |
|
|
|
|
|
(6.5.4) |
252 |
Г Л . 6. УСТОЙЧИВОСТЬ И КА ЧЕСТВО Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
Полагая здесь т = 0 и дифференцируя по t, получим выражение весовой функции стационарной линейной системы через ее пере ходную функцию:
I w (t) = h' (t). |
(6.5.5) |
Подставляя выражение (6.2.2) весовой функции стационарной линейной системы в (6.5.4), придем к заключению, что разность между переходной функцией устойчивой стационарной линейной системы и ее установившимся значением при t -> сю выражается формулой (6.5.3) при некоторых значениях постоянных си . . ., сп,
т. е. является одним из возможных переходных процессов системы. Поэтому она и может служить стандартом переходного процесса.
Подставляя в (6.5.4) выражение (2.4.32) весовой функции ста ционарной линейной системы через ее действительную частотную характеристику Р (со), выполняя интегрирование по | и принимая во внимание, что для всех систем с действительными весовыми функциями Р (со) является четной функцией, получим
ѵ ' |
Я J |
СО |
л J |
Р (со) sin at |
da. (6.5.6) |
а |
|
Этой формулой обычно пользуются для приближенного определе ния переходной функции системы по ее частотной характеристике. При этом для вычисления интеграла удобно аппроксимировать кривую Р (со)/со ломаной по возможности с небольшим числом отрезков, начиная от некоторого достаточно малого значения со0. В интервале же 0 <1 со < со0 следует вынести Р (со) за знак инте грала средним значением и положить sin сat ä (at.
Типичный характер переходных функций стационарных линей ных систем показан на рис. 6.5.1 и 6.5.2. Значение h (оо) переход ной функции представляет собой ее установившееся значение. Время tn от начала переходного процесса до момента, когда раз ность h (t) — h (оо) становится по абсолютной величине меньше,
чем 0,05/і (оо), обычно называется временем переходного процесса.
