Файл: Основы автоматического управления..pdf

260 г л . 7. М ЕТО ДЫ И С С Л ЕД О В А Н И Я ТО ЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

случайные колебания. Вследствие этого антенна радиолокатора принимает наряду с отраженным от самолета полезным сигналом, несущим информацию о его координатах, наложенные на полез­ ный сигнал случайные электромагнитные колебания. Полностью отделить полезный сигнал от случайных колебаний принципиально невозможно, так как случайные колебания возникают вследствие внутренних свойств того самого физического явления — отраже­ ния и распространения электромагнитных волн,— которое используется для получения информации о координатах самолета. Вследствие случайных колебаний отраженного от самолета сиг­ нала исполнительное устройство следящей системы всегда полу­ чает управляющий сигнал, искаженный помехой, что вызывает ошибку сопровождения самолета радиолокатором. Кроме того, на антенну радиолокатора действуют случайные аэродинамиче­ ские силы и моменты, которые также оказывают влияние на рабо­ ту исполнительного устройства и на ошибку сопровождения.

В качестве третьего примера можно указать любую промышлен­

в элементах любой системы, кроме связанных с ее работой элек­ тромагнитных полей и токов, работой других систем наводятся дополнительные электромагнитные поля и токи, которые являют­ ся случайными возмущениями для данной системы. Такие внеш­ ние помехи существенно влияют на работу промышленной автома­ тической системы, особенно если по соседству с ней имеются источ­ ники мощных электромагнитных полей. Наконец, в самих эле­ ментах любой автоматической системы всегда возникают посто­ ронние «шумы», т. е. случайные колебания (флуктуации) токов, вызываемые тепловым движением молекул в сопротивлениях

ибомбардировкой электронами электродов электронных ламп. Приведенные примеры показывают, что случайные возмуще­

ния, действующие на автоматические системы, могут быть внеш­ ними и внутренними. Внешние случайные возмущения связаны со средой, в которой работает система, и могут или действовать на объект управления, или поступать в систему управления через датчики информации (измерители) вместе с полезной инфор­ мацией о задачах управления и о состоянии объекта управления (результатах управления).

В системах управления военного назначения, наряду с естест­ венными внешними помехами, могут действовать и искусствен­ ные помехи, специально организованные противником с целью помешать работе систем управления и дезорганизовать управле­ ние военной техникой и войсками. Особенно уязвимы для искус­ ственных помех датчики информации, через которые и поступают в систему управления организованные противником помехи. При этом в качестве источника помех противник использует те самые

физические явления, которые заложены в основу устройства систем получения информации.

Из сказанного можно сделать вывод, что устранить влияние случайных возмущений — шумов и помех — на работу автомати­ ческих систем принципиально невозможно, так как они порож­ даются теми самыми физическими явлениями, которые исполь­ зуются для устройства автоматических систем. Можно говорить лишь о большей или меньшей степени влияния случайных возму­ щений. Но в таком случае при проектировании автоматических систем необходимо стремиться к тому, чтобы свести влияние слу­ чайных возмущений — шумов и помех — к минимуму. А для этого необходимо научиться оценивать влияние случайных возмущений на работу автоматических систем, оценивать точность их работы под действием случайных возмущений. Это особенно важно для автоматических систем военного назначения, которые должны получать и обрабатывать информацию о действиях противника на предельных дальностях действия источников информации

иуправлять при этом действиями своих войск и военной техни­ кой, когда сигналы от датчиков информации весьма слабы и вслед­ ствие этого сильно искажены шумами и помехами или когда противник применяет искусственные помехи.

Изучение работы автоматических систем под действием слу­ чайных возмущений является предметом статистической теории (статистической динамики) систем управления. После первых работ советских ученых [4, 52] (см. также библиографию в [53])

иамериканских ученых [1 2 , 18], посвященных статистической теории автоматических систем, статистические (вероятностные) методы теории автоматического управления развивались быстры­ ми темпами и в настоящее время являются одним из важнейших

инаиболее перспективных разделов общей теории процессов управления.

§ 7.2. Общие методы исследования точности линейных систем

Действующие в автоматических системах случайные возмуще­ ния обычно накладываются на полезные сигналы. В результате этого входные переменные любой системы практически всегда представляют собой случайные функции времени.

Всякая автоматическая система предназначена для работы с различными полезными сигналами. Множество всех полезных входных сигналов автоматической системы можно рассматривать как множество возможных реализаций некоторой случайной функции S («). Таким образом, и полезные входные сигналы авто­ матических систем можно рассматривать как случайные функции. Однако при исследовании точности автоматических систем часто важно определить зависимость точности от условий их работы,

262 г л . 7. М ЕТО ДЫ И ССЛЕДО ВА Н И Я ТОЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

т. е. от того, какой полезный сигнал действует на входе. Поэтому точность автоматической системы с известными характеристиками обычно исследуется для каждой данной реализации входного полезного сигнала. Иными словами, при анализе точности автома­ тических систем обычно учитывается только случайность ошибок измерений, шумов и всех других видов помех, а полезные сигналы считаются определенными функциями времени. При таких усло­ виях математические ожидания входных случайных функций обычно представляют собой полезные входные сигналы, если только измерительные элементы системы свободны от систематиче­ ских ошибок, которые, как правило, легко устраняются соответ­ ствующей регулировкой. Случайные колебания входных пере­ менных около их математических ожиданий, которые обычно называются флуктуациями входных переменных, представляют собой помехи, нарушающие нормальную работу системы и приво­ дящие к случайным ошибкам в выходных переменных. Вследствие случайных колебаний входных переменных системы ее выходные переменные тоже совершают случайные колебания, т. е. пред­ ставляют собой случайные функции времени. При этом матема­ тические ожидания выходных переменных представляют собой выходные полезные сигналы системы.

Разности между фактическими полезными выходными сигна­ лами системы и требуемыми выходными сигналами представляют собой систематические ошибки системы. Случайные колебания (флуктуации) выходных переменных представляют собой случай­ ные ошибки системы.

Задача исследования точности автоматической системы состоит в определении ее систематических ошибок и вероятностных харак­ теристик случайных ошибок, т. е. элементов рассеивания выход­ ных переменных. При этом обычно бывает достаточно определить дисперсии выходных переменных, а в случае системы с несколь­ кими выходами иногда и корреляционные моменты выходных переменных, характеризующие степень вероятностной связи между ними. Изложенное показывает, что для нахождения систе­ матических ошибок системы необходимо определить математиче­ ские ожидания ее выходных переменных. Следовательно, задача исследования точности. автоматической системы приводится к нахождению математических ожиданий, дисперсий и корреля­ ционных функций ее выходных переменных. Для определения этих величин необходимо знать, как данная система преобразует входные переменные, т. е. необходимо знать оператор системы.

На основании изложенного общая задача исследования точно­ сти одномерной системы формулируется следующим образом: на систему с известным оператором А действует возмущение X (t), представляющее собой случайную функцию времени; зная вероят­ ностные характеристики случайной функции X (t), требуется

найти математическое ожидание и дисперсию выходной перемен­ ной системы Y (t). Эта задача принципиально легко решается для линейных систем. При этом для определения математического ожидания и дисперсии выходной переменной линейной системы необходимо знать лишь математическое ожидание и корреляцион­ ную функцию входного случайного возмущения. Зная эти харак­ теристики, можно также определить корреляционную функцию выходной переменной линейной системы. Таким образом, мы при­ ходим к следующей задаче: зная математическое ожидание тх (t) п корреляционную функцию K x (t,t') действующего на линейную систему входного случайного возмущения и оператор этой системы, найти математическое ожидание тѵ(t), дисперсию D u (t) и кор­ реляционную функцию Ку (t, t’) выходной переменной систе­ мы Y (t).

Поставленная задача решается различными способами в зави­ симости от того, какие характеристики линейной системы заданы (т. е. как задан ее оператор). Если известна весовая функция физически возможной линейной системы g (t, т), то ее выходная переменная на основании общей формулы (2.2.5) выражается формулой

to

Для определения математического ожидания выходной пере­ менной системы заметим, что интеграл в (7.2.1) является пределом последовательности соответствующих сумм, которые представ­ ляют собой линейные комбинации значений случайной функции X (t) в дискретном ряде точек. Как известно из теории вероятно­ стей, математическое ожидание линейной функции случайных величин равно той же линейной функции математических ожида­ ний этих величин. Поэтому для вычисления математических ожиданий сумм, аппроксимирующих интеграл (7.2.1), достаточно заменить в них случайную функцию X (<) ее математическим ожи­ данием тх (t). Следовательно, и при переходе к пределу случай­ ная функция X (t) заменится в формуле (7.2.1) ее математическим ожиданием тх (і), и мы получим

Эта формула показывает, что операции математического ожида­ ния и интегрирования практически всегда можно переставлять.

Для вычисления корреляционной функции выходной перемен­ ной Y (t) найдем соответствующую центрированную случайную Функцию У0 (t). Вычитая формулу (7.2.2) почленно из (7.2.1),