ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 303
Скачиваний: 15
32 |
ГЛ . 1. ОСН ОВНЫ Е п он я ти я |
вѳтствиѳ между входной функцией системы х (t) и ее выходной функцией у (t) можно коротко записать в виде
у (t) = Ах (t), |
(1.4.1) |
где А — оператор системы. Буквой А |
в (1.4.1) обозначена вся |
совокупность математических действий, которые нужно произ вести, чтобы по данной входной функции х (t) найти соответствую щую выходную функцию системы у (t).
Оператор системы является полной, исчерпывающей ее ха рактеристикой. При этом понятием оператора объединяются любые математические действия: все алгебраические действия, дифференцирование, интегрирование, сдвиг во времени, решение дифференциальных, интегральных, алгебраических и любых дру гих функциональных уравнений, а также любые логические дей ствия. Задать оператор системы — это означает задать сово купность (программу) действий, которые надо осуществить над входной функцией, чтобы получить выходную функцию.
Оператор системы может быть задан в различных формах. В частности, оператор системы полностью определяется системой уравнений, описывающих работу всех элементов, из которых состоит данная система. Так, например, оператор системы управ ления полетом летательного аппарата (самолета или ракеты)
^можно задать в форме дифференциальных уравнений движения летательного аппарата и уравнений, описывающих все механи ческие, электрические, электромагнитные и другие процессы в элементах системы управления. Действительно, совокупность всех этих уравнений полностью определяет закон, по которому для любого данного входного возмущения можно найти соответствую щую выходную переменную системы. Например, по скорости дей ствующего на летательный аппарат ветра, заданной как функция времени, можно найти координаты центра массы летательного аппарата как функции времени. А это и означает, что совокуп ность дифференциальных уравнений движения летательного аппа рата и уравнений, описывающих процессы, протекающие в эле ментах системы управления, определяет оператор системы управ ления полетом.
В задачах практики поведение автоматической системы часто можно описать конечным числом обыкновенных дифференциаль ных уравнений. В таких случаях оператор системы сводится к опе рации решения дифференциальных уравнений. Это дает возмож ность применить для исследования системы методы теории диффе ренциальных уравнений. Однако на практике встречаются и такие системы, поведение которых описывается уравнениями в част ных производных или даже более сложными видами уравнений. Поэтому аппарат теории дифференциальных уравнений недоста точен для построения общей теории автоматических систем.
§ 1.5 Л И Н Е Й Н Ы Е И Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМ Ы |
33 |
Именно поэтому приходится в общем случае характеризовать автоматическую систему ее оператором и пользоваться различ ными способами задания этого оператора. Задание оператора системы в форме дифференциальных уравнений, обыкновенных или в частных производных, возможно только в частных случаях.
Заметим, что в случае, когда поведение системы описывается конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений, связывающих входную и выходную функции, задания входной функции недостаточно для полного и однозначного определения выходной функции. Необходимо задать еще начальные условия. Совокупность входной функции и начальных условий полностью
\и однозначно определяет выходную функцию системы. Таким образом, подобная система устанавливает однозначное соответ ствие между входной переменной и начальными условиями, с од ной стороны, и выходной переменной, с другой стороны. По этому для справедливости всего сказанного выше, в данном слу чае достаточно включить начальные условия в состав входного сигнала системы. В дальнейшем мы увидим, что для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, начальные условия всегда могут быть учтены путем добавления
квходной функции X (£) некоторых слагаемых. В более общем случае в состав входного сигнала системы нужно включить все величины, задание которых необходимо для однозначного опреде
ления выходного сигнала.
Вместо того чтобы вводить начальные условия в состав вход ного сигнала системы, некоторые ученые вводят еще понятие теку щего состояния системы, определяя состояние системы так, чтобы задание входной функции и начального состояния однозначно определяло выходную функцию и текущее состояние системы в любой момент времени [85].
Г
§ 1.5. Линейные и нелинейные системы. Принцип суперпозиции
Оператор А называется линейным, если при любых числах п, Cj, . . ., сп и при любых функциях Xi(t), . . ., х„ (t)
Пп
А { 2 |
cvxv(t)} = 2 cvAxv (t), |
(1.5.1) |
V=1 |
V=1 |
|
т. e. результат действия этого оператора на любую линейную комбинацию данных функций является линейной комбинацией результатов его действия на каждую функцию в отдельности с теми же коэффициентами.
Динамическая система называется линейной, если ее оператор линеен. Иными словами, динамическая система линейна тогда
3 Под ред. В. С. Пугачева
34 |
ГЛ . 1. ОСН ОВНЫ Е п о н я т и я |
и только тогда, когда линейной комбинации любых входных воз мущений соответствует та же линейная комбинация соответствую щих выходных функций. Это свойство линейных систем, выра женное формулой (1.5.1), обычно называется принципом супер позиции. Поэтому линейные системы можно определить как такие системы, для которых справедлив принцип суперпозиции.
Для того чтобы система была линейной, необходимо и доста точно выполнение следующих двух условий:
1)сумме любых двух входных возмущений соответствует сумма соответствующих двух выходных переменных;
2)при любом усилении входного возмущения без изменения его формы выходная переменная претерпевает точно такое же
усиление, также не изменяя своей формы.
Необходимость этих условий очевидна. Так как формула
(1.5.1) справедлива для любого п и любых чисел clt |
. . ., сп, то, |
||
полагая п = |
2, с1 = с2 |
= 1, получаем |
|
|
А f a (t) + |
х 2 (£)} = А хі (t) 4- А х2 (t). |
(1.5.2) |
Полагая п = |
1, получим при произвольных с и х (t) |
|
|
|
А |
{сх (£)} = сАх (<). |
(1.5.3) |
Для доказательства достаточности условий (1.5.2) и (1.5.3) заме тим, что из этих условий вытекают формулы
А (с^! (t) + с2х2 (<)} = А |
{с&і (0) + |
А |
{с2х2 (t)} = |
|
|
А { П |
П—1 |
= с^Ахі (t) + с2А х2 (t), |
(1.5.4) |
||
(^) 4“('П'Х'п (О) = |
|
|
|||
2 |
(О) — А { 2 |
|
|
||
v—171—1 |
v = l |
П-1 |
cvxv (t)} + c nAxn (t), |
(1.5.5) |
|
= |
Cvxv (t)} + А {cnxn(t)} = A{ 2 |
||||
v = l |
|
V=1 |
|
|
|
справедливые для любых чисел п, с1, |
. . |
., сп и для любых функ |
|||
ций Хі (t), . . ., хп (t). Формула (1.5.4) показывает, что из усло вий (1.5.2) и (1.5.3) следует справедливость принципа суперпози ции для случая двух слагаемых. Формула (1.5.5) показывает, что принцип суперпозиции выполняется для п слагаемых, если он выполняется для п — 1 слагаемых. Из этой формулы по индук ции следует справедливость принципа суперпозиции при любом числе п слагаемых, поскольку он справедлив для случая двух слагаемых. Таким образом, принцип суперпозиции является след ствием условий (1.5.2) и (1.5.3), что и доказывает достаточность этих условий.
Подчеркнем, что для линейности системы необходимо, чтобы принцип суперпозиции соблюдался при любом числе слагаемых, при любом выборе постоянных сѵ и функций х ѵ (t).
|
§ 1.5. |
Л И Н Е Й Н Ы Е |
И Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е СИСТЕМЫ |
35 |
|
Примерами линейных операторов могут служить оператор |
|||||
дифференцирования |
|
|
|
||
|
|
I/[(t) = Dx(t)=‘-fcX(t), |
(1.5.6) |
||
линейный |
интегральный |
оператор |
|
||
|
|
|
|
t |
|
|
|
У(0 = |
j g (С х) х М dx |
(1.5.7) |
|
|
|
|
|
to |
|
и более |
общий |
линейный |
интегро-дифференциальный |
оператор |
|
|
|
N |
t |
|
|
|
|
y ( t ) = ' Z j |
Sv (C T) x{v) (T) dx■ |
(1-5.8) |
|
|
|
p=0 to |
|
|
|
К линейному интегральному оператору или к линейному интегродпфференциальному оператору приводится оператор решения произвольного обыкновенного линейного дифференциального уравнения
On (t) y(fl>(t) -f- a„_! (t) |
(t) + |
. . . + at (t) y' (t) |
+ |
|
+ « 0 (t) у (t) = bm (t) *<m>(t) |
+ &m_, (0 |
(t) |
+ . . .+ |
|
|
+ |
bi (t) x’ (t) + |
b0 (t) af(£). (1.5.9) |
|
Нелинейным называется любой оператор, для которого прин цип суперпозиции не имеет места или справедлив только при
некоторых |
вполне определенных |
функциях |
x^ (t), . . ., хп (t) |
|||
и числах Cjj |
. . |
сп* |
оператором |
называется нелинейной. |
||
Система |
с |
нелинейным |
||||
В качестве примеров нелинейных операторов можно привести |
||||||
нелинейный интегральный оператор |
|
|
|
|||
|
|
y(t)= |
t |
|
t)dx, |
|
|
|
j ф(я(т), |
т, |
(1.5.10) |
||
to
где ф (х, т, t) — данная функция, нелинейная относительно пере менной X, и оператор решения нелинейного дифференциального уравнения
у" (t) + к sin у (t) = X (t). |
(1.5.11) |
Принцип суперпозиции значительно облегчает исследование линейных систем по сравнению с нелинейными. Благодаря прин ципу суперпозиции теория линейных дифференциальных уравне ний разработана в самом общем виде для уравнений любого по рядка, в то время как теория нелинейных дифференциальных уравнений по существу отсутствует, и мы можем решать в анали-
3*
36 ГЛ. 1. ОСН О ВН Ы Е п он я ти я
тической форме только нелинейные дифференциальные уравнения частных видов невысокого порядка. Вот почему для решения всех математических вопросов, возникающих в приложениях, обращаются в первую очередь к линейным методам. При этом даже нелинейные системы стараются приближенно рассматривать как линейные. В результате появились различные методы линеа ризации нелинейных систем, т. е. приближенной замены нелиней ных систем практически равноценными линейными.
Из справедливости принципа суперпозиции для линейных систем при любом числе слагаемых и любом выборе функций х ѵ (t) и чисел сѵ следует, что он применим не только к суммам, но и к ин тегралам. Другими словами, если входное возмущение системы представляет собой сумму бесконечно большого числа бесконечно малых элементарных возмущений, то выходная переменная линей ной системы представляет собой сумму соответствующих беско нечно малых реакций на эти элементарные возмущения. Матема
тически это выражается |
формулой |
|
A t I j с (Я) X (t, |
X) dA,I = j с (X) Atx (t, X) dX, |
(1.5.12) |
Х.І |
Ä.1 |
|
где индекс t у оператора А показывает, что этот оператор дейст вует над функцией аргумента t, а X при этом рассматривается как фиксированный параметр. Эта формула выражает принцип супер позиции в интегральной форме. Для доказательства достаточно представить интеграл в виде предела последовательности сумм. Для каждой суммы принцип суперпозиции справедлив. Таким образом, для любого члена этой последовательности справедлива формула (1.5.1). Следовательно, при переходе к пределу полу чится формула (1.5.12), если интеграл в правой части существует.
Принцип суперпозиции дает возможность выразить реакцию линейной системы на любое возмущение через ее реакцию на опре деленный вид элементарных возмущений. Для этого достаточно разложить произвольное возмущение х (t) на элементарные воз мущения выбранного типа. Тогда, зная реакцию линейной системы на элементарные возмущения этого типа, мы можем при помощи принципа суперпозиции определить ее реакцию на произвольное возмущение х (t). Таким образом, для определения реакции линей ной системы на произвольное возмущение достаточно знать ее реакцию на выбранный стандартный тип элементарных возмуще ний. Иными словами, любая линейная система полностью харак теризуется ее реакцией на какой-нибудь стандартный тип возму щений. В зависимости от выбора стандартного типа возмущений мы получим разные характеристики линейной системы. Каждая такая характеристика будет исчерпывающей, так как знания ее
