ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 307
Скачиваний: 15
42 |
ГЛ . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
Функцию, |
обладающую такими свойствами, можно получить, |
например, как предел положительного прямоугольного импульса, имеющего единичную площадь, когда длительность этого импульса
стремится к нулю (рис. |
2.1.1). Еще удобнее определить |
6-функ |
цию как предел при h |
оо функции |
|
6ft(i) = - ^ e - ^ 2. |
(2.1.3) |
|
|
у п |
|
График этой функции представлен на рис. 2.1.2. Очевидно, что при любом t Ф 0 функция 6ft it) стремится к нулю при h -ѵ оо *).
При t = 0 эта функция |
неограниченно |
возрастает при h |
оо. |
||
Наконец, при любом е > 0 |
|
|
|
||
е |
е |
|
|
he |
|
j |
8h(t)dt = — |
j |
e~h2t*dt = —^=- j e- “2du. |
(2.1.4) |
|
- e |
' |
—e |
^ |
-he |
|
При h ->■ оо это выражение стремится к единице (см. [63], |
т. II, |
||||
§ 8 или [54]). |
|
|
|
|
|
Практически удобно еще потребовать, чтобы 6-функция была четной. В этом случае, кроме (2.1.2), имеют место равенства
0 |
е |
|
|
|
|
|
j |
ö ( t) d t= j |
ö(tydt = -^~ |
при любом |
е > 0 . |
(2.1.5) |
|
- й |
о |
|
|
|
|
|
*) Действительно, раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, |
||||||
получаем |
|
h |
|
___1_____ |
|
|
|
|
= |
|
|||
|
lim he~т2 = lim |
lim |
0. |
|
||
|
h-*oo |
Л—►<» ет % |
: |
h-+oo 2h f i e h m' |
= |
|
§ 2.1. Е Д И Н И Ч Н А Я ИМ П У ЛЬС Н А Я Ф У Н К Ц И Я |
43 |
Докажем, что для любой непрерывной функции х (t) и для
любого е > 0 |
справедлива формула |
|
1 + 8 |
1 + 8 |
|
j |
x(x)8(t — x)dx = j x{x)8(x — t)dx = x{t). |
(2.1.6) |
1 - 8 |
1 - 8 |
|
Для доказательства заметим, что подынтегральная функция в этой формуле на основании (2.1.1) равна нулю всюду, кроме одной точки X — t, причем функция х (т) равна в этой точке х (t). По этому интегралы в (2.1.6) не изменятся, если заменить в них функцию X (х) ее значением х (t) в фиксированной точке х = t. Тогда можно будет вынести величину х (t) за знак интеграла, а интеграл будет равен единице вследствие (2.1.2):
1 + 8 |
1 + 8 |
|
j X(т) б (t — т) dx = |
j X (t) б (t — г) dx = |
|
t —8 |
t - г |
8 |
|
1 + 8 |
|
|
= x(t) j б (t — x)dx — x(t) |
j 6 (a) da = x (t). |
|
1 - 8 |
- 8 |
Таким образом, интеграл от произведения б-функции на лю бую непрерывную функцию равен значению этой функции при том значении переменной интегрирования, при котором аргу мент б-функции обращается в нуль.
Так как подынтегральная функция в формуле (2.1.6) равна нулю при всех значениях т, кроме т = t, то пределы интегриро вания в (2.1.6) можно произвольно расширить. В результате для любого интервала (а, Ь), содержащего точку t, а < t < b, получим
ь |
ъ |
|
I |
x(x)8(t — x)dx= j £ ( t ) ö ( t — t)dx — x(t). |
(2.1.7) |
a |
a |
|
Заметим, что формулы (2.1.6) и (2.1.7) справедливы и в слу чае, когда точка t является точкой разрыва первого рода функции X (т), если ее значение в точке разрыва определить как среднее арифметическое ее значений справа и слева в этой точке:
x(t) — ^ —ty+ ^ |
+ O) _ Hm x (t— e)+ x (t + e') |
|
2 |
e->0 |
2 |
Действительно, рассуждая так же, как и раньше, получим в силу (2.1.5)
1+е |
1 |
t+ e |
j |
x(x)8(t — т) dx = j |
X (т) б (t — т) dx + j x (т) б (t — x)dx = |
1 -8 |
t —8 |
i |
|
0 |
8 |
= |
x(t — 0) j 6 (a) da + x (t + 0) j 6 (a) da = ^ x (t — 0) + x(t + 0), |
|
- e |
0 |
44 ГЛ . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
что и доказывает высказанное утверждение. Таким образом,
формула (2.1.7) |
может быть переписана в более общем виде: |
|
ь |
ъ |
|
j х (т) б (t — x)dx — j X (х) 8 (т — t)dx = |
(2.1.8) |
|
а |
а |
|
при а <С. t < Ь. |
|
|
В практических приложениях удобно бывает пользоваться также производными импульсной б-функции. Их можно опреде лить, например, как пределы при h — оо соответствующих произ водных функции б/, (t), которая выражается формулой (2.1.3). Пользуясь производными б-функции, мы можем формально диф ференцировать равенства (2.1.7), являющиеся тождествами отно сительно t при изменении t в интервале (а, Ь). В результате, пред
полагая, что функция X (t) |
имеет непрерывные производные до |
|
п-го порядка, получим |
|
|
ь |
ь |
|
j X (т) б' (t — x)dx= |
— j х(т) б' (т—t) dx = x' (t) |
(2.1.9) |
а |
а |
|
и вообще |
|
|
ь |
ь |
|
j X (т) б<ь> (t - т) dx = ( - 1)Ä j х (т) 6<ft>(т - 1) dx = x« (t) (2.1.10)
а |
а |
(k = 1, 2, . .. , n).
Эти равенства имеют место при любом значении t, заключенном в интервале интегрирования а < t < Ъ.
Формулы (2.1.7) и (2.1.10) можно вывести совершенно строго путем предельного перехода при h -*■оо в соответствующих фор мулах, содержащих функцию 6ft (t), определяемую формулой (2.1.3), вместо б-функции.
Формулы (2.1.7) и (2.1.10) дают возможность компактно запи сывать в форме интегралов сложные выражения, содержащие интегралы и суммы. Пусть, например, мы имеем выражение
Ь |
N |
п |
|
1= j |
g(t)x(t)dt+ 2 |
2 cPk^p)(th), |
(2.1.11) |
ар —0 h—1
где tu . . ., tn — произвольные значения t в интервале интегриро вания (а, Ь). Вводя функцию
ft (<) = * ( * ) + 2 2 cpk6P>(th- t ) |
( 2. 1. 12) |
$ 2.1. Е Д И Н И Ч Н А Я ИМ П У ЛЬС Н А Я Ф У Н К Ц И Я |
45 |
и пользуясь формулами (2.1.7) и (2.1.10), можно написать фор
мулу (2.1.11) в виде
ь
1 = j |
(2.1.13) |
а
Заметим еще, что б-функцию можно рассматривать как произ водную единичной ступенчатой функции 1 (t), определяемой равен ствами
1 |
0 |
при |
t < |
0, |
(2.1.14) |
|
1 |
при |
t > |
0. |
|||
|
|
Действительно, на основании (2.1.1) и (2.1.2)
f |
б(т)dx = ( |
0 |
“ри |
< < 0 ' |
j L |
1 |
1 |
при |
* > 0, |
или |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j б (т) dx = 1 (t). |
(2.1.15) |
||
Дифференцируя эту формулу, получим |
|
|||
|
б (t) |
= |
1' (t). |
(2.1.16) |
Таким образом, используя б-функцию, мы получаем возможность дифференцировать разрывные функции.
Формула (2.1.7) показывает, что любая функция в любом ин тервале (а, Ь) может быть разложена на элементарные импульсы. Действительно, формула (2.1.7) представляет функцию х (t) в виде суммы бесконечно большого числа бесконечно малых сла
гаемых вида X (т) б (t — |
т) dx. Каждое такое слагаемое представ |
||
ляет собой бесконечно |
малый |
мгновенный |
импульс величины |
X (т) dx, действующий в момент |
времени t = |
х, так как б (t — т) |
|
по определению является единичным мгновенным импульсом, действующим в момент t — х.
Если функция X (t) задана при всех значениях t и мы хотим представить ее разложением на элементарные импульсы (2.1.7) на всей числовой оси, то мы должны положить в (2.1.7) а = — оо, Ъ = оо. Тогда получим, ограничиваясь только первым интегра
лом, |
|
|
ОО |
|
|
x(t)= j x(x)8(t — т) dx |
( — ОО < < < оо). |
(2.1.17) |
—оо
Ввиду большой важности этой формулы для всей теории авто матического управления, мы дадим еще один ее . вывод, более
46 |
ГЛ . 2. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ |
наглядный и связанный с физическими представлениями. Для этого введем единичный прямоугольный импульс конечной дли тельности А (рис. 2.1.1):
J '-І- при |*| < ‘4 - .
(2.1.18)
^ 0 при I * I > 4 •
Разобьем ось времени на равные интервалы длительности Д и обо значим середину к-то интервала через xh (к — 0, ± 1, ± 2, . . .).
Значение функции х (t) в точ ке xh, равное(xh) (рис. 2.1.3). Построим прямоугольный им пульс длительности Д, имею щий высоту X (tft), действую щий в промежутке времени
|
|
(tfe— 4 ть + т ) ‘ 0чевиД- |
||
|
|
но, что единичный прямо |
||
|
|
угольный импульс, действую |
||
|
|
щий в этом промежутке вре |
||
|
|
мени, выражается функцией |
||
бд {t |
xh). Высота этого |
импульса |
1 |
Чтобы получить |
равна д-. |
||||
импульс высоты X (Tfc), |
необходимо |
функцию |
бд (t — xh) раз- |
|
делить |
1 |
|
|
|
на -д и умножить |
|
|
|
|
на X (хк). Таким образом, один прямоугольный им пульс, имеющий ту же ор динату X (tfe), что и данная функция X (і) в точке t = = Th, действующий в интер-
|
/ |
Д |
|
|
вале времени I |
xk — — , |
|
|
|
математически |
|
|
||
выражается |
функцией |
таких импульсов, |
соответствующих |
|
X (th) бд (t — |
xh) Д. Сумма |
|||
интервалам, |
на |
которые |
мы разбили ось t, |
представляет сту |
пенчатую функцию хА (t), имеющую в каждом интервале постоян ное значение, равное значению функции x(t) в середине этого интервала (рис. 2.1.4):
оо
жд(*)= 2 x{%h)bA{t— %h)b. |
(2.1.19) |
k = — oo
