Файл: Основы автоматического управления..pdf

Скачать файл (24,30Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 400

Скачиваний: 15

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 11.3.	П РИ М Е Н Е Н И Е М ЕТОДА СТА ТИ СТИ ЧЕСКО Й Л И Н Е А РИ ЗА Ц И И 4»3
Применив	для вычисления интеграла формулу (7.4.6), получим

	1+аГ	(11.2.18)
	a\ = Dkki a + kki + aZT	(11.2.18)
	a\ = Dkki a + kki + aZT

Ha рис. 11.2.11 кривые 1 и 2 построены для следующих числовых значений параметров системы и входного сигнала: к = 2 , 1 = Т = а = Ь = 1 ,а = 10,

о х =	1 / D	=	0,5. В результате получается тпѵ =		0,378, а„ = 0,552, ко =1,324.
=	1,362	и	формулы (11.2.17) и	(11.2.18)	дают
			ту - 0,622 +	1, ou =	0,258.

§ 11.3. Применение метода статистической линеаризации для исследования точности систем, описываемых дифференциальными уравнениями

При исследовании точности нестационарных систем методом статистической линеаризации основная трудность заключается в том, что математические ожидания и дисперсии входных сигналов

нелинейных звеньев являются переменными, вследствие	чего
и статистические характеристики нелинейных звеньев ср0, к 0	и k t

представляют собой функции времени. Как было отмечено в § 11.1, эту трудность в общем случае можно преодолеть, применив к ста тистически линеаризованной системе метод канонических разло жений. Однако это связано с большим объемом вычислений. В неко торых случаях, когда поведение исследуемой нестационарной системы описывается системой дифференциальных уравнений не очень высокого порядка, целесообразно применить к статистически линеаризованной системе метод § 7.7 [1]. Применение этого метода совместно с методом статистической линеаризации удобно тем, что дает математические ожидания, дисперсии и корреляционные моменты всех выходных переменных одновременно. Поэтому нали чие в системе многих нелинейностей практически не очень сильно усложняет исследование. Кроме того, при этом вычисление стати стических характеристик нелинейных звеньев производится одно временно с интегрированием уравнений для моментов, так же как и при применении метода канонических разложений.

Рассмотрим автоматическую систему, описываемую системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого

порядка
Yr= 2фг,(*, КЛ + Кг	(г = 1.........и),	(11.3.1)
j=i

где Ѵт— белые шумы, а сргг (t, Y t) — любые заданные функции. Некоторые из этих функций могут быть, в частности, линейными, т. е. иметь вид аті (t) Y В соответствии с общим методом § 11.1 производим статистическую линеаризацию всех нелинейных

4 64 гл. И . И ССЛЕДО ВА Н И Е ТО ЧН О СТИ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

функций,					входящих в (11.3.1):
					фTi(t, У ,)« Фогг (Ü, ти o^ + kiriit, ти <тг)У?,		(Н.3.2)
где		ті =			М [Угі, Ог = Ѵ& [У/].	Если некоторые из	функций
Ф	гі (t,		У	г) являются нечетными,		то для них вместо	формулы
(11.3.2)				можно написать
				фгг(г, Y i ) t t k 0rl(t, ml, ог) пгг + kirl (t, mb at) У?.			(11.3.3)

В дальнейшем будем опускать аргумент t в выражениях для коэф фициентов статистической линеаризации, помня об их явной зави симости от времени.

Подставляя выражение (11.3.2) в (11.3.1), получаем

ПП

Уг = 2 Фогг (Щ,	<?г)+ 2 кі п {тпі, а{) Уг°+ УГ (г= 1 , ..., тг). (11.3.4)
г=і	г= 1

Для получения уравнений для математических ожиданий заме ним в уравнениях (І1.3.4) все случайные функции их математи ческими ожиданиями. Получим

П	Фогг И г , <Хг) + "Ч
тг = г2= 1	Фогг И г , <Хг) + "Ч	(г = 1, . .. , п),	(11.3.5)

где тѵ = М [VЛ. В соответствии с общим замечанием в § 11.1 эту

Г .

систему уравнений нельзя проинтегрировать, так как в нее входят, кроме неизвестных математических ожиданий ти • . ., тп, еще неизвестные средние квадратические отклонения щ, . . ., а„. Поэтому к уравнениям (11.3.5) необходимо добавить уравнения, определяющие дисперсии и корреляционные моменты переменных. Для составления этих уравнений воспользуемся методом § 7.7.

Тогда, принимая во внимание, что аѵ = ]/гѲѵѵ (ѵ = 1, . . ., п), получим

bij = 2 [kiii{mhV^n)^}i~\~^iji (ті, УѲц) б»!

(11.3.6)

г=і

(i, 7 = 1, . • n).

Уравнения (11.3.5) и (11.3.6) образуют замкнутую систему совместных уравнений, определяющую неизвестные функции вре мени т ѵ, ѲѴ|Л(ѵ, р = 1, . . ., п). Эта система содержит п уравне ний первого порядка (11.3.5) и п (п + 1)/2 уравнений первого порядка (11.3.6). Следовательно, порядок полной системы уравне ний, подлежащей интегрированию, равен N = п + п (п + 1)/2 = = п (п + 3)/2. В таблице 11.3.1 показана зависимость порядка системы уравнений, определяющей моменты первого и второго порядков, от порядка исходной системы уравнений.

Рис. 11.3.1.

§	11.3. П РИ М Е Н Е Н И Е					М ЕТОДА		СТА ТИ СТИ ЧЕСКО Й				Л И Н Е А Р И ЗА Ц И И 465
													ТАБЛИЦА		11.3.1
п	1	2 3		4	5	6	7	8	9 10 И 12				13	14	15
N	2	5	9	14	20	27	35	44	54	65	77	90	104	119	135

Мы видим, что порядок системы уравнений, определяющей моменты выходных сигналов, быстро растет с увеличением порядка системы уравнений, описывающей поведение исследуемой системы. Вследствие этого изложенный метод, так же как и метод § 7.7, можно практически применять только в случаях, когда поведение исследуемой системы описывается системой дифференциальных уравнений невысокого порядка.

Интересно отметить, что при применении более общего метода канонических разложений (см. конец § 11.1) порядок системы уравнений, определяющей моменты первого и второго порядков выходных сигналов, растет не так быстро с увеличением порядка п исходной системы уравнений. Действительно, если ограничиться в канонических разложениях р первыми членами, то система уравнений, определяющих математические ожидания и коорди натные функции всех переменных, будет иметь порядок (р + 1) п. Таким образом, при применении метода канонических разложе ний порядок системы уравнений, определяющей моменты первого и второго порядков выходных сигналов, растет линейно с увели чением порядка исходной системы уравнений п, в то время как при применении только что изложенного метода порядок системы уравнений для моментов растет как п2. Вследствие этого для систем, описываемых системами диффе ренциальных уравнений высоко го порядка, метод канонических разложений оказывается более выгодным, чем метод этого па раграфа.

П р и м е р 11.3.1. Рассмотрим систему, состоящую из последова тельного соединения усилителя с пе ременным коэффициентом усиления и

интегратора, охваченного отрицательной обратной связью, в цепь которой включено нелинейное звено с релейной характеристикой. Из рис. 11.3.1 следует, что поведение этой системы описывается дифференциальным уравне нием

У = —а (t) sgn Y + а (<) V.

(Н.3.7

Пусть V представляет собой белый шум интенсивности G (t). Так как нели нейность, входящая в уравнение (11.3.7), является нечетной, то уравнения для математического ожидания и случайной составляющей можно взять03

30 Под ред. В. С. Пугачева

466	гл. 11. ИССЛЕДО ВА Н И Е Т О Ч Н О С Т И Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х	СИСТЕМ
в виде
	ту— —а (г) fco {ту, ау) my -\-a(t) тѵ,	(11.3.8)
	У0= - а (t) fcj (ту, ву) y° + a (t) V°.	[(11.3.9)

Напишем дифференциальное уравнение для дисперсии. Полагая в (11.3.6) п = 1, Ga = a («) G (<), 0И = Dy и имея в виду, что Аш (гоь а,) = А4 (ту , ау), получаем

D y = — 2a(t)k1(my, оу) Dy + a? (t) G(t).

(11.3.10)

Подставляя в уравнения (11.3.8) и (11.3.10) выражения к0 (ту , аи) и fct (ту, аѵ) для релейной характеристики нелинейного звена в случае аппроксимации нелинейности по второму способу (приложения 4 и 5, нелинейность _4), получаем

ту = — 21а(і)Ф ^ —		+a(t) mv,
		(11.3.11)
Dy = -	ila (t)	2 D„
Dy = -	~і/2я	+ a2 (i)G(t).
	~і/2я

Эту систему уравнений следует интегрировать при начальных значениях т„ и Dy, равных соответственно математическому ожиданию и дисперсии случай ного начального значения выходного сигнала системы.

Если а (t) = а = const, белый шум V стационарен: G (і) = G = const, и требуется найти установившиеся значения т иДу, то в уравнениях (11.3.11)

следует положить ту = Dy = 0:

21Ф	mOf	Ы	у D y e	2Dy — clG ,	(11.3.12)
		1/ 2я
Эта система уравнений	решается очень легко. Из первого уравнения опре-
деляется значение функции Ф (туі У о у) =			т/21. Затем, пользуясь таблицей

функции Ф (и) (приложение 6), можно определить значение аргумента z = = ту!У Dy, после чего дисперсия ^(находится из второго уравнения (И .3.12):

\D„	na2G2	22	(11.3.13)
	8Z2	е

Наконец, математическое ожидание ту находится по формуле

'і* .

(11.3.14)

§ 11.4. Исследование точности автоматических систем методом статистических испытаний

Изложенные способы исследования нелинейных систем, осно ванные на линеаризации уравнений, оказываю тся неприменимыми к некоторым системам. Кроме того, применяя эти методы, мы не имеем возможности оценивать степень точности получаемых ре

§ 11.4. М ЕТОД СТА ТИ СТИ ЧЕСКИ Х И СП Ы ТА Н И Й

467

зультатов, оценивать, насколько найденные значения характери стик точности близки к их истинным значениям. Вследствие этого возникает необходимость в непосредственном моделировании иссле дуемых систем и действия на них случайных возмущений. Это необходимо как для непосредственного исследования некоторых сложных систем, к которым трудно применить изложенные в пре дыдущих параграфах методы, так и для контрольных исследова ний с целью оценить точность и надежность результатов, полу чаемых с помощью этих методов.

Метод непосредственного моделирования систем под действием случайных возмущений обычно называется методом статисти ческих испытаний *). Этот метод применяется как для непосред ственного исследования различных систем, так и для исследования вероятностных моделей различных математических задач, напри мер задач вычисления определенных интегралов, особенно много кратных [9]. При исследовании системы методом статистических испытаний ее работа моделируется в условиях, близких к реаль ным. При этом на входы системы или ее модели подаются реализа ции случайных возмущений. В качестве модели системы могут быть использованы ее дифференциальные уравнения, решаемые на математической машине. Точность работы системы определяется путем статистической обработки результатов испытаний.

Предположим, что на вход системы в каждом опыте подается реализация хТ (t) случайной функции X (t) и в результате с выхода снимается соответствующая реализация уг (t) случайной функции Y (t). Проделав п опытов, можно получить оценки ml (t) и Dl (t), математического ожидания mv (t) и дисперсии Dy (t) выходной переменной системы Y (t), пользуясь известными формулами

математической	статистики:
П	П
=	0 И 0 = -7ГГГ 2 [Jfr() —”(<)]• ( И -4.1)

Точность получаемых результатов можно оценивать средними квадратическими отклонениями оценок m*y (t) и Dl (t). Из теории вероятностей известно, что дисперсии оценок (И .4.1) определяют ся формулами (см. [53], § 111)

Соответственно средние квадратические отклонения оценок опре деляются формулами

(11.4.3)

*) Этот метод называется также методом Монте-Карло.

30*