Файл: Основы автоматического управления..pdf

Лішеаризуя второе уравнение путем разложения нелинейной функции в ряд Тейлора в окрестности точки ту , получим следующие уравнения для мате­ матического ожидания выходной переменной системы и центрированных случайных функций:

Tmy + my = k(mx —aml), r ^° + (1 +3/cam£) У0 = *Х0.

Проинтегрировав первое уравнение при заданных начальных условиях, найдем ту как функцию t. После этого коэффициент во втором уравнении станет известной функцией времени

Заменяя случайные функция и / их математическими ожидания­

ми в (11.1.3), получим

ту & фо (тх, о*). (11.1.6)

Таким образом, при применении метода статистической линеари­ зации сама'форма зависимости между математическими ожиданиями

входного и выходного сигналов нелинейного звена зависит от дисперсии входного сигнала и не совпадает с характеристикой нелинейного звена. Вследствие этого уравнения для математи­ ческих ожиданий переменных не совпадают с уравнениями, описы­ вающими поведение системы, и не могут быть решены отдельно от уравнений, определяющих случайные отклонения переменных от их математических ожиданий, так как все функции вида (11.1.6) остаются неопределенными, пока не найдены дисперсии входных сигналов всех нелинейных звеньев системы.

Для получения уравнений для центрированных случайных функций следует вычесть равенство (11.1.6) из (11.1.3). Тогда получим

Добавляя к таким зависимостям для всех нелинейных звеньев системы уравнения входящих в данную систему линейных систем, получим полную систему уравнений, линейных относительно центрированных случайных функций. Коэффициенты уравнений вида (11.1.7) остаются неизвестными до тех пор, пока не определе­ ны математические ожидания и дисперсии входных сигналов всех нелинейных звеньев. Поэтому методы главы 7 не могут быть непосредственно применены для определения дисперсий пере­ менных.

Таким образом, для систем, содержащих существенно нели­ нейные звенья, необходимо совместно решать уравнения, опре­ деляющие математические ожидания, и уравнения, определяющие дисперсии переменных.

Для решения этой задачи в общем случае можно применить метод канонических разложений (§ 7.2). Применив этот метод к линеаризованным уравнениям системы, получим для коорди­ натных функций переменных линейные уравнения с коэффи­ циентами, зависящими от неизвестных математических ожиданий и дисперсий входных сигналов нелинейных звеньев. Добавив к уравнениям, определяющим математические ожидания и коор­ динатные функции, формулы вида (7.2.20) для дисперсий входных сигналов нелинейных звеньев, получим полную бесконечную систе­ му уравнений для математических ожиданий, координатных функций и дисперсий всех переменных, описывающих поведение исследуемой системы (координат системы). Ограничиваясь конеч­ ными отрезками канонических разложений, получим конечную систему уравнений для приближенного определения математи­ ческих ожиданий, координатных функций и дисперсий координат системы. Эта система уравнений может быть решена любым числен­ ным методом на цифровой вычислительной машине или с помощью моделирующих устройств.

В некоторых частных случаях задачу совместного определения математических ожиданий и дисперсий входных сигналов нелиней­ ных звеньев удается свести к применению графических методов решения уравнений или даже решить ее аналитически. Один такой частный случай будет рассмотрен в следующем параграфе.

П р и м е р 11.1.2. Рассмотрим систему, состоящую из последовательно соединенных релейного элемента и апериодического звена, охваченных отри­ цательной обратной связью (рис.

Коэффициенты ф0 = к0тѵ и Ä, для релейного элемента определяются форму­ лами, приведенными в приложении 5 (нелинейность 5). Первое из этих урав­ нений не может быть проинтегрировано, пока не известна величина ст„. С другой стороны, аѵ нельзя определить из второго уравнения методами главы 7, пока не известен коэффициент /сь зависящий от неизвестных тѵ и а„.

Применив метод канонических разложений, получим для координатных функций переменных У и V уравнения

определяющую дисперсию входного сигнала V нелинейного звена. Ограни­ чиваясь в канонических разложениях п первыми членами, получим систему 2п + 3 совместных уравнений (11.1.9), (11.1.11) и (11.1.12), приближенно определяющую 2ге+ 3 неизвестных функций времени m„, mv, уі, ѵь . . ., уп, ѵп , ое. После нахождения этих функций дисперсия выходной переменной У определится по формуле (7.2.20).

При применении изложенного метода к автоколебательным системам, т. е. к таким системам, в которых возможны устойчивые автоколебания, математические ожидания переменных получаются в виде колеблющихся функций времени, стремящихся к некоторым периодическим функциям. Если частота колебаний математических ожиданий сравнима со средней частотой колебаний случайных составляющих входных сигналов нелинейных звеньев, то изло­ женный метод может оказаться неточным. В подобных случаях можно получить более точные результаты, применяя совместную статистическую и гармоническую линеаризацию, как было изло­ жено в § 10.7.

§ 11.2. Применение метода статистической линеаризации для исследования точности стационарных систем

Рассмотрим сначала стационарную систему с одним нелиней­ ным звеном, работающую в установившемся режиме под действием

выходной переменной системы может быть вычислена точно. Для этого достаточно определить корреляционную функцию выход­ ного сигнала нелинейного звена по данной двумерной плотности вероятности входного сигнала X, пользуясь обычными методами теории функциональных зависимостей между случайными вели-

где мы теперь показываем в явной форме, что коэффициент к0 является известной функцией величин ту и ау. Уравнение (11.2.3) содержит две неизвестные величины ту т оу ѵі поэтому может быть решено только совместно с уравнением, определяющим дисперсию выходной переменной системы <з\.

Для определения дисперсии выходной переменной системы У применим формулу (7.4.4). В результате получим

где также показана явно зависимость к4 от ту и ау.

Решив уравнения (11.2.3) и (11.2.4) относительно неизвестных величин ту и ау, мы и найдем математическое ожидание и диспер­ сию выходной переменной рассматриваемой системы. Эти уравне­ ния могут быть решены любым приближенным методом. В частно­ сти, можно применить метод последовательных приближений или графический метод.

Для решения уравнений (11.2.3) и (11.2.4) методом последова­ тельных приближений необходимо задать исходные грубо при­ ближенные значения к0и kt и вычислить в первом приближении тпу и ау по формулам (11.2.3) и (11.2.4). После этого можно уточнить значения к0 и kt и вычислить тпу и ау во втором приближении. И так далее. Процесс заканчивается, когда два последовательных приближения совпадут в пределах принятой точности вычислений. Обычно практически бывает достаточно двух или трех прибли­ жений.

Для решения уравнений (11.2.3) и (11.2.4) графическим мето­ дом заменим уравнение (11.2.3) равноценной системой уравнений