Файл: Основы автоматического управления..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 399

Скачиваний: 15

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

5 11.2. П Р И М Е Н Е Н И Е М ЕТОДА СТА ТИ СТИ ЧЕСКО Й Л И Н Е А Р И ЗА Ц И И 459

Первому из этих уравнений соответствует биссектриса коорди­ натного угла в декартовых прямоугольных координатах (ту, tj). Второму уравнению (11.2.5) соответствует семейство кривых в координатах (ту, р) с параметром оу. Построив кривые, соот­ ветствующие второму уравнению (11.2.5), для ряда значений параметра ау и определив точки пересечения их с биссектрисой координатного угла (рис. 11.2.5), мы найдем значения абсцисс ту кривой (11.2.3), соответствующие выбранным значениям орди­ наты Оу, после чего можем по найденным точкам построить кри­ вую (11.2.3) в координатах (ту, оу) (кривая 1 на рис. 11.2.6).

После этого строим в тех же координатах (ту, ау) кривую 2, соответствующую уравнению

о о

£2= j sx ((ö)

_____ Ф (ко)_____

(11.2.6)

і + кі(ту, Оу) Ф(гсо)

откладывая величину £ по оси оу и рассматривая величину оу как функцию величины ту, определяемую уравнением (11.2.3), или, что то же, кривой 1 на рис. 11.2.6. Кривая (11.2.6), очевидно, пересекает кривую (11.2.3) в той же точке, что и кривая (11.2.4). Поэтому точка пересечения кривых (11.2.3) и (11.2.6) дает решение уравнений (11.2.3) и (11.2.4).

Заметим, что кривая 1, соответствующая уравнению (11.2.3), может быть построена и другим способом. А именно, задаваясь различными значениями ту, можно определить из уравнения (11.2.3) соответствующие значения оу и по полученным таким образом точкам построить кривую 1.

Совершенно аналогично решается задача определения мате­ матического ожидания и дисперсии выходной переменной ста­ ционарной системы при других способах включения нелинейного звена. Для определения математического ожидания и дисперсии входного сигнала нелинейного звена достаточно принять за выход­ ную переменную системы входной сигнал нелинейного звена и в соответствии с этим преобразовать структурные схемы систем,

Рис. 11.2.7.

Рис. 11.2.8.

изображенные на рис. 11.2.3 и 11.2.4, в схемы, представленные на рис. 11.2.7 и 11.2.8 соответственно. Тогда, применив изложен­ ный метод, можно найти математическое ожидание и дисперсию

4ü0 гл. И . И ССЛЕДО ВА Н И Е ТО ЧН О СТИ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

входного сигнала нелинейного звена и его статистические коэффи­ циенты усиления к0 и кх. После этого, вернувшись к первоначаль­ ной структурной схеме, можно найти ее передаточные функции по полезному сигналу и по флуктуациям и по формулам (7.3.8) и (7.4.4) найти математическое ожидание и дисперсию выходной переменной исследуемой системы.

Совершенно аналогично метод статистической линеаризации применяется к одномерным стационарным системам с несколькими нелинейными звеньями и к многомерным стационарным системам. Заменив нелинейные звенья линейными усилителями с соответ­ ствующими статистическими коэффициентами усиления и выразив при помощи формул (7.3.8) и (7.4.4) математические ожидания и дисперсии входных сигналов всех нелинейных звеньев, получим соответствующее количество уравнений для определения неиз­ вестных математических ожиданий и дисперсий входных сигналов нелинейных звеньев. В результате решения этих уравнений будут определены математические ожидания и дисперсии входных сигна­ лов нелинейных звеньев и соответствующие статистические коэф­ фициенты усиления этих звеньев. После этого можно будет опре­ делить по тем же формулам (7.3.8) и (7.4.4) математическое ожида­ ние и дисперсию выходной переменной системы.

Однако в случае системы с двумя или большим количеством нелинейных звеньев графическое решение уравнений, опреде­ ляющих математические ожидания и дисперсии входных сигналов нелинейных звеньев, может стать очень громоздким. Поэтому в общем случае для системы с несколькими нелинейными звеньями системы уравнений, определяющие математические ожидания и дисперсии входных сигналов нелинейных звеньев, можно решить практически только методом последовательных приближений. И лишь в частных случаях, когда эти уравнения распадаются па независимые пары уравнений, их можно решить изложенным выше графическим методом.

Заметим, что в случае астатической следящей системы порядка к с нелинейным звеном, включенным по схеме рис. 11.2.4, установив­ шееся значение математического ожидания входного сигнала нелинейного звена будет постоянным, если математическое ожида­ ние входного сигнала системы представляет собой полином степе­ ни к относительно времени t. Поэтому изложенный метод пол­ ностью применим к астатическим следящим системам в случае, когда входной сигнал представляет собой сумму стационарной случайной функции и полинома относительно времени, степень которого не выше порядка астатизма системы.

Изложенный метод применим только к таким системам, в кото­ рых невозможны автоколебания, так как только в случае отсут­ ствия автоколебаний ту может быть постоянным при постоян­ ном тх. Поэтому перед тем, как применять этот метод, необходимо

§ 11.2. П Р И М Е Н Е Н И Е М ЕТОДА СТА ТИ СТИ ЧЕСКО Й Л И Н Е А РИ ЗА Ц И И 461

исследовать систему на автоколебания, что можно сделать с по­ мощью метода точечных отображений (§ 10.5) или метода гармо­ нической линеаризации (§ 10.6). Если исследование покажет, что в системе возможны устойчивые автоколебания, то для исследова­ ния ее точности необходимо применить метод совместной стати­ стической и гармонической линеаризации, как показано в § 10.7.

П р и м е р 11.2.1. Рассмотрим следящую систему примера 10.4.1, ■состоящую из исполнительного устройства с передаточной функцией

ф « -7 (7 Г н У

(И'2'7»-

■и управляющего им реле с идеальной релейной характеристикой в прямой цепи (рпс. 11.2.9), предполагая, что входной полезный сигнал представляет

Рис. 11.2.9.

Рис. 11.2.10.

•собой’линейную функцию времени а + bt, а помеха является стационарной случайной функцией с нулевым математическим ожиданием, корреляционная ^функция и спектральная плотность которой определяются формулами

кх (х) = Ре

“ | т | , sx (со) =

D

(11.2.8)

л а2+ со2

В примере 10.4.1 мы видели, что автоколебания в рассматриваемой системе

невозможны. Поэтому для исследования ее точности можно применить изло­ женный метод.

Согласно изложенному перестраиваем структурную схему данной системы так, чтобы выходной переменной системы служил входной сигнал нелиней­ ного звена V (рис. 11.2.10). Тогда, применяя формулы (4.6.1) и (4.6.7), находим передаточные функции линеаризованной системы по полезному сиг­ налу Ф«»(*) и по помехе Ф^> (s):

Ф ;о> ( ,) =

s (jTs-J-1)-{-/с/е0

 

ф<1> (s) = __ *

__

(11.2.9)

® К> s(Ts + i) + kk!

 

Принимая во внимание, что в данном случае тх (t) = а +

bt, -----находим„— -по

■формуле (7.3.8) математическое ожидание входного сигнала нелинейного звена:

Ь

( 11.2.10)

т ° = кк0 (т„, о0)

 

Формула (7.4.4) дает следующее выражение’для дисперсии входного сигнала

нелинейного звена:

 

а2 Ра

Г

_________ У2 (ісо)4 —(ісо)2_________

V

л

J

I (ос + гм) {ісо (rico+ lj + fcfci (то* СТ»)І I2

 

 

 

462 г л . 11. ИССЛЕДО ВА Н И Е ТО ЧН О СТИ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

Применив для вычисления интеграла формулу (7.4.6), получим

al = Da

\-\-\fX-\-kk\ (тв, Op)] Т

(11.2.11)

а -\-kki(mv, aD)-|-a2Т

В уравнениях (11.2.10) и (11.2.11) статистические коэффициенты

усиления

звена с идеальной релейной характеристикой к0 и кі определяются форму­ лами (приложение 6, нелинейность 5)

кц(тв, аѵ) = ^ - ф і ^ ~

\ ,

кі(тв, сг„) = -^ -ф

( - ^ ) , (11.2.12)

•"’V '

/

Of?

\ ö p /

где

 

 

 

 

Ф(2)= у Ѵ 1~ 4ф2 (2) + ф' (*)•

 

(11.2.13)

Подставляя выражение к0 из (11.2.12)

в уравнение (11.2.10),

приведем его

к виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф ( - г г ) - 2 і г -

 

 

і“ -2“ »

Таким

образом, в данном случае

кривая

1 представляет собой прямую

лір/сг0 =

z, где z — значение аргумента функции Ф (z), при котором она равна

 

Ь/2кІ.

Определив z по таблице функции Ф (и)

 

(приложение 6), строим прямую 1 (рис. 11.2.11).

 

Для построения кривой 2 подставим в уравне­

 

ние (11.2.11) выражение кі из (11.2.12), заме­

 

нив в нем величину ав ее выражением mjz,

 

соответствующим уравнению (11.2.14). В ре-

 

ультате

получим

уравнение

 

 

 

 

Г>.

n

{l+ aT )m v + klT^(z)z

,

,

 

6

 

a { l + a T ) m D+ k iy (z)z

'

 

 

Задаваясь рядом значений тѵ,

 

определяем

 

по уравнению

(11.2.15) соответствующие зна­

 

чения £ и, откладывая их по оси а0, строим

 

кривую 2 (рис. 11.2.11). Точка пересечения

 

кривых 1 и 2

определяет значения тѵ и а„,

 

удовлетворяющие

уравнениям

 

(11.2.10)

и

 

(11.2.11).

Определив тв и ав,

находим

по

формулам (11.2.12) и (11.2.13) статистические коэффициенты усиления нели­ нейного звена к0 и кі.

Для определения математического ожидания и дисперсии выходной пере­ менной рассматриваемой системы возвращаемся к первоначальной струк­ турной схеме системы (рис. 11.2.9) и, пользуясь формулой (4.6.8), находим передаточные функции линеаризованной системы по полезному сигналу

ФТ (*) и по помехе Фи1’ (*):

кк,

фу м = Г(г.+ ? ;+ д і - (11-2Лв)

После этого по формулам (7.3.8) и (7.4.4) находим математическое ожидание

и дисперсию выходной переменной У

системы:

 

ту (і) = а -J-Ьі

Ь

(11.2.17)

кк0

 

 

_ ü a k zk\

dot

 

I (a-fico) {іо (Tico-f l)-f ää-,} (г

 

Смотрите также файлы