Файл: Оптимизация процессов грузовой работы..pdf

кой Р; (L — 1, 2,

. . п), где п —

количество элементов множества U,

причем

Р (U) =

PI

— 1- Состоянию

готовности соответствует

не-

І

А а

U,

которое подмножество

состояний

при

которых система

спо­

собна выполнять

свои функции,

т. е.

т

Г (t) =

^

P i = P

( A

) .

І=\

Задача

состоит в

том,

чтобы

сформулировать

множество

состояний

U я А

я определить

Р (А).

Следует заметить,

что большинство

потоков событий,

изучаемых

можно

считать

простейшими,

т. е. интенсивности

X (t) = const и

(д. ( t) =

const. В

этом случае

определение функции

готовности зн а­

судовой автоматики. Если отказы аппаратуры в

результате износа

и старения отсутствую т, то в условиях плавания

могут иметь место

в этом ж е

состоянии,

определится

как

1 —

(^ і +

Я,2) Д^- И, нако­

нец,

вероятности

переходов 1— 1

и

2 — 2

равны

соответственно

1 —

р,]Д і

и 1 —

р аД t.

Вероятность

ж е

одновременного появления

Обозначим

вероятности

нахождения

системы в

состояниях

0,

1

и 2 соответственно

через

P 0 {t),

Р х (I)

и

Р 2

(t).

И спользуя

теоремы

о

сложении

и

умножении

вероятностей,

составим на основании матрицы (2 . 1 ) систему конечно-разностных

уравнений,

описывающих

поведение

рассматриваемой

системы:

Р 0 (t +

At)

=

Р 0 (t)

[1 —

(Хх +

Я 2) At] +

+

Р 1

(t)

H i А* + Р 2

(t) ц 2Д t\

Р х (t +

At)

=

Р о

(0

ХхА t +

Р х (t) (1 -

іх ^ О ;

Р 2 {t +

At)

=

Р й (і) ХгА t +

Р 2 (t)

(1 —

ц 2 Д*).

Предельный переход At —> 0 с учетом определения производной дает

возможность получить систему дифференциальных уравнений

Ро (I) = — Ро (0 ( h +

м

+

р 1(0 И1 +

р 2(0 И2!

Pi(t) = P o ( t ) h - P l (t)vi;

(2 .2 )

Pi (t) — Po ( 0 ^ 2 — Pi (t) Ц2.

Д ля

определения

функции

готовности

необходимо

решить

си­

стему

(2 .2 ) относительно Р 0 ( і) при начальных условиях

Р 0 (0 ) =

1 ;

Р х (0)

= 0;

Р 2 (0)

=

0, означающих

исправность системы в момент

ее включения. Решение системы (2.2) удобно выполнить с помощью

преобразования

Л апласа:

рРо (р) —

1

=

— Р о

(р)

(^і

+

Ь 2) + р і (Р) Иі

+ Р 2

(Р)

На!

Рр 1 (Р) =

Р о

(Р)

—

-Рі

(р)

На'.

р Р 2

(р)

=

Р о

(р

) 1 2 —

Р 2

(р)

(Х2.

Отсюда после

элементарных

преобразований

получаем

р

( п \

___________________ Р 2 +

Р (H i Ч~ П а)

+ Н іН а____________________

/П

о \

о\Р)

р[р2+ р (Кг +

Я2 +

Иі +

На) +

Ящ2 -f Я2Щ +

цці2]

’

'

>

а во временной

области будем иметь

ИіНа

РІ

-

1Pi-

( H

l

н

-

Н

г )

+

Л > (9

= Г(/) =

Я.і(і2 - |- Я2(.ц -|- цці2 +

t=

і

Рі

(Рі

+

Ях - г

Я2 - г И і +

Ц2)

ері‘ ,

(2.4)

где р1і2 —

корни знаменателя

соотношения

(2.3).

К

РИЧ

Ц1 Ц2

I-Я2 Ц1

(2.5)

Po(t) = Pa; P i (t )= Pi \ P2(t) = Pü

P 6 ( t ) = P t ( t ) = P i(t) = 0.

При этом система (2.2) с учетом свойства

эргодичности принимает-

вид

4“РчРй = 0;

— Po (^і4~^2 )4"

Р о^і

=

0;

Р 0Х2— Р .2р. 2

= 0;

Р 0 + Р г +

Р,

-

1,

вопросу

[40, 4 6 ] ограничимся здесь лишь общей

формулировкой

задачи

и приведенным примером расчета функции

готовности.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА

§ 2.3

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ДЛЯ

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГОТОВНОСТИ

'Т а к как интегральное уравнение средней частоты

отказов с учетом

ления, а такж е с применением теоремы

обращения.

В табл. 2.1 приводится набор часто

встречаю щ ихся в

теории

надежности функций и их изображений

по

Л апласу.

Выражение для средней частоты отказов с учетом восстановле­

ния, представляющ ее собой решение уравнения

(1.29) в операторной

форме, было приведено выше [см. (1 .4 4 )].

В

случае, когда

функ-

/

U)

и > 0)

F ( P )

I

1

P

ta ( a > -

1)

Г ( а + 1)

ра+'

е~и

1

p-\-X

<ru t a

Г ( а + 1 )

(p + X f + '

1

( -

X I

- Ц П

1

Л - ц

U

С '

(P+

P) (P +

P)

X I

sin

(со/ -f- а)

со cos а -|- (p + X) sin а

е—

(Р +

Ь)* +

ш*

e — X i

cos

а)

(p -|- X.) cos а — со sin а

(P+

*)* +

“ *

ние в операторной форме относительно

частоты отказов:

А { р )

(Р)____

1 Яр (р) R

( 2. 6)

(р )

(1.35),

получим

Г (р) = Р (р) +

Пр (р) Р (р) R

(Р)

или с

учетом соотношения (1.44)

T M ^ P i p )

, _ л 'р)[, ( р у

(2.7)

Р(р) = 1 - А ( р )

( 2.8)

Р

П одставляя значение Р (р) в

(2.7), получаем

Г

1 - л (р)

(2.9)

1 —A(P)R (р)

A(ß)

(Р) — 1 - А ( р - Т а) •

Применив к величине А

(р — Та) теорему смещения, будем иметь

О р ( р )

= ------- (2.10)

1 -

А (р) е р в

При этих

ж е условиях, применяя

к соотношению (1.33) преобразо­

вание Л апласа и учитывая

выражения (2.9) и (2.10), получаем опе­

раторное

выражение для функции

готовности

Г (Р) =

І - А ( р )

(2.11)

становлении. Решим сначала

интегральное уравнение (1.29).

П лотность вероятности отказов для закона суперпозиции двух

экспонент задается формулой

a ( l ) - ClV _ l ' 4

c äV " W -

(2 . 1 2 )

где

и /Ц — параметры

распределения,

сі +

с 2 =

1.

(2.13)

Вероятность безотказной работы при этом равна

Р(/) =

СіГ м

+ ¥

" М .

(2.14)

П лотность распределения

времени

восстановления

имеет вид

г (t) =

pe~pt.

(2.15)

С

учетом изображений

по Л апласу

выражений

(2.12) и (2.15)

равенство (1.44) перепишется

как

С - ± к \

I

Г2Я 2

(Р) =

(

P+ Ä-1

Р+ ^2______

CjXx

,

\