ГЛАВА 2
П осле преобразований последнее равенство приобретает вид
о |
(п\ — |
(сі^і Н- с2 |
^2 ) Р: 4~ (А-іЯд -р М-Сі ~г РСА А р -|- |
(2.16) |
р |
|
Р [р2 + (Яі + Я2 + |
(х) р + (}іАіС2 + |
-f Я,іХ2)] |
|
|
П равая |
часть выражения (2.16) представляет собой дробно- |
рациональную |
функцию |
вида |
|
|
|
|
|
|
С !„\ |
А (Р) |
|
(2.17) |
|
|
|
F ^ - ~ w w |
|
|
|
|
|
|
задача обращения для которой реш ается просто. Если степень мно гочлена А (р) не превосходит степени многочлена В (р) и В (р) имеет простые отличные от нуля корни рь, то оригинал выражения (2.17) равен
|
|
Л (0 ) |
I |
|
|
F( t ) = |
А ІРк) aPbt |
(2.18) |
|
В ( 0 ) |
PkB' (Pk) |
|
|
|
k=l
где сумма берется по всем корням многочлена В (р). На основании данной формулы из соотношения (2.16) получаем решение для сред ней частоты отказов с учетом восстановления:
|
|
|
со, (О |
_____ ________ |
|
|
|
|
|
|А(Я.1^2 |
^-2сі) “Ь |
- + |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
(С]?ч -ф с2Я2) р | + (Я,я2 + |
ЩдА-і + рс2А,2) рк + |
с„,і |
/ 2 \Q\ |
|
|
|
|
|
|
2РІ + |
(^i + |
+ |
P) Pk |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pk = — |
|
4~ M- __( 1)k у |
f a + b± |
J»)± |
_ ^ {%iC2 + |
X2Cj)- |
|
|
2 |
{ |
|
|
|
|
|
|
( 2. 20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k |
= 1 , 2 ). |
|
|
|
сор ( t) |
|
Из (2.19) |
|
можно получить |
предельное |
значение функции |
для рассматриваемых законов распределения времени безотказной
работы |
и восстановления: |
|
|
|
|
І І Ш СОр ( t ) |
|
1 |
|
|
Cl I |
c2 |
1 |
|
t-> СО |
Но так |
как |
%\ |
%2 |
p |
|
T |
|
|
BL , _ ъ _ |
(2.21) |
|
h |
+ I 2 |
cp |
|
и |
|
|
|
|
|
|
4Г - + Г». |
(2 .2 2 ) |
то предельное значение функции сор ( t) совпадает с предельным значением, определяемым формулой (1.47).
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ
Вслучае закона суперпозиции п экспонент, когда плотность
распределения |
времени |
безотказной |
работы задается выражением |
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = 1 |
|
|
|
|
|
|
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
QP (р) |
|
Л П(Р) |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рВ„(р) |
|
|
|
или |
во временной |
|
области |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“ р |
( О |
|
|
|
■ |
|
I Ѵ Ч |
A n ( P t ) |
r p , t |
|
|
|
|
|
V ü x i |
|
b J j P Â ( p , ) |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2mJ |
Ä.J |
^ |
P |
|
1— 1 |
|
|
|
|
где |
pc — корни |
полинома |
Вп (р), |
Bh (р) — производная |
от поли |
нома |
Вп (р). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предельное значение средней частоты отказов с учетом восста |
новления равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н т юр (О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/-*■ CD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П редставляет |
такж е |
интерес |
частный случай формулы (2.19) |
при |
= Х2 = |
X. |
|
Тогда |
выражение |
для функции |
юр (і) |
приобре |
тает |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0 |
|
|
Р |
I |
|
х |
,,-а+ м ) |
I |
|
(2.23) |
|
|
юр |
= X - X+ ц 1 * + р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предельное значение |
в этом случае равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim Юр (t) = |
—— -— j— . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(-УОЭ |
|
|
_ L |
I J _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X T |
P |
|
|
|
Вы раж ение для функции готовности получим с помощью соот ношения (2.9). С учетом выражений (2.12) и (2.15) изображение
функции Г (t) |
запишем |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
I _ ( |
СіЛі |
I___ ^ 2 __\ |
|
р |
/ _ \ _ _ |
_____________ V |
р |
Р |
X2 ) |
|
|
Р |
] _ ( |
С і Л і I |
с 2^2 |
\ |
Р |
’ |
|
|
\ р + Я і |
р я 2 / р - т р |
|
или после преобразований |
|
|
|
|
|
|
Р |
Р 2~Ь (^1с 2+ |
^2С 1Т~ р ) Р4~ (Х]р2+ |
^2с і) р |
|
Р [р2 Н- (^1 + Х 2 + |
р) Р "Т Р (^1с2 + |
Я.2сі) + |
ЯДг] |
ГЛАВА 2
И спользуя формулу (2.18), получаем искомое решение
|
|
|
Г(/) = |
|
(^ісаЧ~ X2ct) Р |
|
|
|
|
|
(.1 (/-1^2 “Ь ?ѵ2^і) "Ь |
+ |
|
|
|
|
|
L |
|
^1^-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рк + |
(X] с2 + ^2С14“ I1) Рк + |
(^1С2 + ^2сі) Iх |
Рк* |
(2.24) |
|
|
L |
|
|
2Рк + (Ч |
+ |
Х2 + I1) Рк |
|
|
|
|
к= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где корни pk определяю тся выражением |
(2 .2 0 ). |
t —>оо полу |
|
Асимптотическое значение функции готовности при |
чаем |
из (2.24): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
-5L |
|
|
|
|
|
|
Пш Г(^) = |
^ 1 |
|
1. |
|
|
(2.25) |
|
|
|
С1 |
1 |
С2 |
I__ Д |
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^>1 |
|
Яд |
|
(X |
|
|
Д л я |
закона суперпозиции |
п экспонент имеем |
|
|
|
|
|
|
|
г(р)= |
Сп(р) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рВп (р) ■ |
|
|
В о |
временной области получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сп (Рі) СР,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РіВ'п{Pt) |
|
|
где |
Рі — корни |
полинома |
Вп (/?,-). |
|
|
|
|
|
|
|
Асимптотическое значение |
равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
-£L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z J |
и |
|
|
|
|
|
|
|
Г (сю) |
|
1 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
i L |
+ _L |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z -1 |
Хі |
~ |
ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = 1 |
|
|
|
|
|
|
При экспоненциальном распределении времени безотказной ра |
боты, |
т. е. при |
= |
Х2 = X, |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г ( і ) : |
|
|
|
X |
е—(М-И) t |
|
(2.26) |
|
|
|
X—в ц |
X *4~ р, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда в предельном |
случае |
при |
t —>оо |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ІГПГ( 0 : |
|
X |
|
— ^Г- |
|
(2.27) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t->оэ |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
х + т
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ
Следует заметить, что на практике с экспоненциальным законом распределения приходится встречаться чаще, чем с другими. Это объясняется тем, что закон распределения интервалов между соседними событиями в потоке редких случайных событии, состав ленном из многих независимых потоков с любыми характеристи ками, теоретически сходится к экспоненциальному, если слагаемы х потоков много и каждый из них в отдельности оказы вает слабое влияние на суммарный поток. Подобную модель представляет сл о ж ная техническая система, состоящ ая из разнообразных элементов. Практически экспоненциальный закон можно считать справедливым на участке установивш егося режима работы аппаратуры.
Д л я рассматриваемых законов распределения времени безотказ- ■ ной работы и времени восстановления получим выражение функции готовности на промежутке Г (t, s).
Вероятность безотказной работы задается соотношением |
|
Р (f + s) = с ^ ' {i+s) + с2е_Яз (/+s). |
(2.28) |
Напомним, что промежуток времени s, в течение которого оцени вается готовность системы, является величиной постоянной.
В операторной форме записи функция готовности на промежутке может быть представлена на основании (1.41) и (2.7) в виде
Г (р, s) = P(p, s) i _ Al U ( p y
С учетом соотношений (2.12), (2.15) и (2.28) получаем
Т (Р> |
s) = |
* 1S + |
P -+ T 2e |
) |
, |
/ |
Ц д , |
V |
, \ |
ц '• |
|
|
|
|
|
|
|
|
\Р + Яі |
р + Хг) Р-f- |
П осле |
преобразований |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(c1e_ilS + |
р1+ |
|
|
-]- с2 |
|
+ |
|
|
Ѵ ( |
\ |
+ с2[ле~^г!; + е щ е -*-5) р -|—и {cl Xie~x's+ |
саѴ |
~ Я;!І) |
|
|
|
’ |
Р [р24 “ (^-1 4~ ^ 2 4“ fl) Р+ |
,u (^1е 2 "l“ ^2cl) H“ Ä.1A2] |
’ |
откуда |
в |
соответствии |
с формулой |
(2.18) находим |
|
|
|
|
|
|
Ѵ(1 |
V |
ц(сгя2е |
+ |
С 2к |
х е |
x=s) |
■ |
|
|
|
|
|
’ |
|
И (^-1С 2 4" 72Сі ) 4" 7з4-2 |
|
|
|
9 |
(Cle~XlS4 - c2e~'x-s) pi 4- (с^е-*-'5 + c2V ~ ?':S 4 |
- |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
4-c1fia~:>,lS4 -c2(.ie~?“-s)pk4- |x{с{к.хе - Хіѣ 4 - c2Xxe ~ U s) |
epk‘ |
, (2.29) |
|
|
|
2p\ + (^ i + 2 |
+ H-) Pk |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
£ = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где корни |
pk |
определены |
выражением |
(2 .2 0 ). |
|
|
|
