|
|
|
|
|
|
ГЛАВА 2 |
В установивш емся режиме работы |
системы |
при t —> оо |
из (2.29) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
S i. р—Яis J_ S i. |
= г(s). |
|
|
lim Г (^, s) |
К |
' |
Я2 |
|
(2.30) |
t->co |
С 1 I |
С 2 |
j ___ |
|
|
|
|
Х\ |
Я.2 |
У |
|
|
|
В случае экспоненциального закона надежности, когда |
= |
Х2 = X, |
выражение (2.29) приобретает вид |
|
|
|
|
|
г<(' s> = ^ 4 x ^ + iq V ‘r<M'w')- |
|
(2'31) |
Предельное значение функции готовности на промежутке в этом случае равно произведению коэффициента готовности на вероят ность безотказной работы системы в течение времени s:
|
|
J _ |
|
|
|
lim Г (г, |
s) = |
I |
e " ?,s = |
kre~ls ■ |
(2.32) |
І-+СО |
1 |
1 |
|
|
|
X |
T |
II |
|
|
Операционный метод |
позволяет |
так ж е |
просто решить |
уравне |
ние готовности (1.35) в случае распределения длительности безотказ ной работы по закону гамма-распределения при целом значении параметра k и экспоненциальном распределении времени восста
новлений. С учетом того, что изображение |
по Л апласу плотности |
гамма-распределения равно (см. табл. |
1.3 и 2.1) |
|
А{р) |
Ао |
|
|
|
Р ”Ь |
1 |
|
|
|
|
|
из (2 . 1 1 ) получаем |
|
|
|
|
[(P + |
X)fc — Я*] (р + |
10 |
(2.33) |
Г(р ) |
Х)к (р + р) — Я*р] |
Р І(р + |
|
Известно [3 3 ], что гамма-распределение описывает закон распре деления безотказной работы резервированной системы при ненагруженном резерве и при условии, что для основной и резервных систем справедлив экспоненциальный закон распределения времени без отказной работы. Следовательно, соотношение (2.33) может быть использовано для расчета функции готовности резервированных систем при указанном выше типе резервирования.
Пример 2.1. Требуется определить вероятность того, что через 50 ч работы пункт радиосвязи судна, состоящий из двух приемопередатчиков, один из которых находится в ненагруженном резерве, будет готов к действию, если интенсивность отказов основного и резервного приемопередатчиков равна X = 0,02 ч_1, а интенсив ность восстановления р = 0,2 ч-1.
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ
Для решения воспользуемся соотношением (2.33), приняв /е = 2. Используя обратное преобразование Лапласа, из выражения (2.33) получаем
__ |
2Ді |
Р 1 - Ң 2 3 - + |
ц)Рі + |
2^ 1 |
,,,< |
w |
Х 2 + |
2Я.Ц + |
P i (2рх + |
2 Х + |х) |
|
|
|
Р~2 + |
(2 Я -} - ц ) Р-2 + |
2 Д і |
р t |
|
|
|
Pz (2р2 + |
2Я -)- р) |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
2А,-Рц |
, |
]Ді2 +4А.|.і . |
_ |
2?ъ + |
ц |
|Ді2 — 4Яц |
2 |
' |
2 |
> |
Рг — |
2 |
|
2 |
Отсюда после подстановки значении интенсивностей находим искомое значение вероятности пребывания пункта радиосвязи в состоянии готовности Г (50)= 0,8841.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ГОТОВНОСТИ |
§ 2.4 |
МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Д ля расчета функции готовности, заданной в интегральной форме (1.35), необходимо знать среднюю частоту отказов с учетом восста новления сор ( t), вероятность безотказной работы Р ( t) и плотность
распределения времени |
восстановления |
г (t). |
В качестве |
исходных |
могут |
быть заданы либо |
функции юр ( t) и г ( t), либо функции а (/) |
и г (t). |
В первом случае |
по известным |
©р (і) |
и г ( t) можно |
из инте |
грального уравнения (1.29) определить функцию а ( t), а по ней Р ( t), во втором случае по а (t) и г (£) определяю тся необходимые для рас чета функции готовности Шр (/) и Р (t). При этом нередко возникает необходимость решения интегральных уравнений вида (1.29).
Н аряду с у ж е рассмотренными выше методами решения инте гральных уравнений в отдельных случаях можно использовать метод последовательных приближений.
Решение интегрального уравнения вида (1.29) при использова нии метода последовательных приближений получается как резуль тат равномерной сходимости последовательности функций {сор„ (()[, образуемых по правилу:
®Ро( 0 = « ( 0 ;
о
< Ѵ ( 0 = а {I) + J Сйр„ _ 1 (г) к (і, Т) dx.
о
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА 2 |
Иногда это |
решение |
удобно представлять в виде |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
(£>p(t) = |
a(t) — |
I Н (t, |
т; |
l)a(x)dx, |
(2.34) |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
где |
H (t, т; |
1) — резольвентное |
ядро, |
определяемое |
посредством |
ряда, |
составленного |
из |
итерированных |
ядер |
Кп {t, т) |
по формуле |
|
|
|
|
|
с о |
|
|
|
|
|
|
|
H{t, |
т; 1 ) = |
- 2 |
* т ( * . |
т). |
(2.35) |
|
|
|
|
|
(=0 |
|
|
|
|
В свою очередь итерированные ядра вычисляю тся с помощью рекур рентного соотношения
t
Кп+lit. |
Т) = |
J/C(/, и)Kn{t, и) du |
( я = |
1 , 2 , 3, |
. . . ) ; |
(2.36) |
|
|
Т |
і —т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/<г (/, |
т) = К (/,. т) = |
]" а (і — |
т — Ѳ ) г (0) d0. |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
Возм ож ность |
практического |
применения |
метода |
определяется |
степенью сложности ядра уравнения, т. е. степенью сложности законов распределения времени безотказной работы и времени вос становления системы.
И спользование метода последовательных приближений проил люстрируем на примере решения частного случая уравнения (1.29), соответствующ его экспоненциальному закону распределения вре мени безотказной работы при мгновенном восстановлении. При этих
условиях уравнение (1.29) |
приобретает вид |
|
t |
и (і) = Xé~xt -j- %J © (т) e~x (*~x) dx. |
|
о |
Ядром уравнения является |
выражение |
Kdt, т) = е ' Х1‘- х).
Определим итерированные ядра по формуле (2.36):
Кг it, |
т) = \ е Х {Х~г)еХ |
= |
е* (х' п (t - т); |
|
Т |
|
|
|
|
к з (t, X) = |
J ех (Т-Ѵ (г_/) (г — т)dz = ех (т" ° |
; |
Kll+1(t, х) = \ е Х{х- 2)еХіг- п |
(z - т )" -1 |
dz=:eXix~n |
( t ~ x ) n |
|
(п — 1) ! |
п I |
4 А. Г. Варжапетя |
|
|
|
|
49 |
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ
Резольвентное ядро в соответствии с (2.35) равно
H(t, |
т; X) = - S |
Ä,nK B+1( i , x ) = |
- S |
^ Я(' - т) {L^TL - |
|
п =О |
|
|
|
и = 0 |
|
" |
1 |
|
____ |
е — я . U |
- T |
) g l |
( / - X |
) _ _ |
J |
|
|
На основании (2.34) |
получаем |
t |
|
|
|
|
|
Ир (t) = kë~xtr |
|
Ке~Хх dx = |
%. |
|
|
- f |
А, j |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
В данном случае имеем точное решение. |
|
|
|
Оценка |
погрешности |
метода |
последовательных |
приближений |
в случае /г-го приближения cop,t (t) |
определяется |
неравенством |
|
|apn( 0 - ö > p ( 9 l < M |
- £ f , |
|
(2.37) |
где о)р (t) — точное решение уравнения (1.29), А |
и с — |
постоянные, |
определяемые неравенствами |
|
|
|
|
|
|
|
|
ІЖ *. т ) | < с , |
|
I®р (I) — а (/) 1 = £ Д |
|
для всех моментов времени t |
> |
0 , |
принадлежащ их конечному про |
м еж утку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При более слож ны х ядрах |
процесс решения значительно услож |
няется, что и ограничивает возможности метода. |
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ |
|
|
§ 2.5 |
ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Операционный метод, а |
такж е |
метод |
последовательных приближе |
ний обеспечивают, как отмечалось ранее, вычисление функции готовности, заданной выражениями (1.35) и (1.41), или средней частоты отказов с учетом восстановления лишь для ограниченного класса законов распределения времени безотказной работы и вре мени восстановления систем. В больш инстве случаев в силу сл о ж ности этих законов аналитическое решение выражений (1.29), (1.35), (1.41) в удобном для практики виде получить либо чрезвычайно трудно, либо вообще невозможно и приходится использовать при ближенные, чаще всего численные методы. При этом функция готов ности вычисляется в конечном множестве точек временного интер вала, на котором исследуется надежность системы. Полученная
таким |
образом последовательность значений функции готовности |
{Г„} является аппроксимацией функции Г (t). |
Д ля |
определения элементов последовательности )Г Я) необхо |
димо найти значения средней частоты отказов с учетом восстановле ния в точках вычисления функции готовности. Эти значения могут
ГЛАВА 2
быть получены либо в результате обработки статистических данных об отказах системы, либо — при известных функциях а (t) и г (/) — в результате численного решения уравнения (1.29). Рассмотрим второй случай.
Д ля численного решения уравнений (1.29) и (1.35) заменим внеш ний и внутренний интегралы конечными суммами, применив обоб щенную формулу трапеций. И спользование более точных, а следо вательно, более слож ны х квадратурных формул в рассматриваемом случае сопряжено со значительными трудностями и поэтому неце лесообразно. Необходимую точность вычисления можно обеспечить
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
за счет надлежащ его выбора шага интегрирования. |
|
|
|
|
И так, |
разбивая в (1.29) и (1.35) интервал интегрирования внеш |
него |
интеграла |
[0 , /] на п частей |
точками |
t0 — О, |
tx = |
/г, |
t2 — 2 /г, |
. . ., |
tn = |
nh |
= |
t |
и внутреннего |
интеграла |
[0 , t — |
т ] |
на т частей |
точками |
t о = |
0 , |
t x — /г, |
іг — 2h, |
. . ., |
tm = mh = |
t — т |
соответ |
ственно, |
получим |
рабочие |
формулы |
для |
вычисления |
{cop)lJ |
и {Г Д : |
(2.38)
и
|
|
|
(2.39) |
Произвести точную |
оценку погрешностей вычисления |
по |
(2.38) |
и (2.39) известными |
методами, например приведенными |
в |
121 ], |
весьма трудно. Наиболее целесообразно применить в данном случае двойной просчет с шагами Іг и 2h. После того как десятичные знаки в обоих случаях начнут совпадать, полученное значение прини мается за точное значение анализируемых функций. Кроме того, следует иметь в виду, что величина ш ага интегрирования должна выбираться так, чтобы выполнялось условие устойчивости решения в смысле сходимости результата с ростом а к асимптотическому зна чению вычисляемой функции, которое при известных параметрах потоков отказов и восстановлений системы известно (см. табл. 1.4).
Уравнения (1.29) и (1.35) и формулы их численного решения
(2.38), |
(2.39) являю тся универсальными в том отношении, что позво |
ляю т |
вычислять среднюю частоту отказов с учетом восстановления |
и функцию готовности при произвольных законах распределения времени безотказной работы и времени восстановления. В прило жении I приводится А ЛГО Л -программа вычисления этих функций.
